1、在职硕士学位入学资格考试 GCT 数学真题 2011 年及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.若 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 S=3-32+33-34+35-36+37，则 S 被 4 除所得的余数是( )（分数：4.00）A.0B.1C.2D.33.如图所示，MNP 是正ABC 的内切圆中的一个内接正三角形，已知阴影部分的面积为：1500 平方厘米，则正三角ABC 的面积等于( )平方厘米（分数：4.00）A.B.C.D.4.已知数列 a1，a 2，a 3，a n，的通项是 （分数：4.00）A.
2、B.C.D.5.三边长为 1 的正方形拼成如图所示的图形，图中有两条线段相交得锐角为 ，tan=( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.若 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A、B 两车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车第一次相遇于距甲地 20 公里处仍继续前行，当分别到达乙、甲两地后立即按原路返回，途中第二次相遇于距乙地 10 公里处，则甲、乙两地相距( )公里（分数：4.00）A.35B.40C.45D.508.设 O 为坐标轴的原点，abc 的大小关系的如图所示，则 的值是( )（分数：4.00）A.B.C.D.9.若函数 f(x)是周期为 6 的奇函数，
3、则 的值等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.10.若复数 则|z 1-z2|=( )（分数：4.00）A.B.C.D.11.如图，面积为 9 平方厘米的正方形 EFGH 在面积为 25 平方厘米的正方形 ABCD 所在平面上移动，始终保持 EF/AB，记线 CF 的中点为 M，DH 的中点为 N，则线段 MN 的长度是( )厘米（分数：4.00）A.B.C.D.12.有长为 1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm 的六根细木条，任取其中 3 根为边能构成一个三角形的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D.13.某股民用 30000 元买进甲乙两种股票，在甲股票下跌 10%
4、，乙股票升值 8%时全部卖出，赚得 1500 元，则该股民原来购买的甲乙两种股票所用钱数的比例为( )（分数：4.00）A.2:3B.3:2C.1:5D.5:114.参数方程 （分数：4.00）A.B.C.D.15.一个盛满水德圆柱形容器，其底面半径为 1，母线长为 3将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出，当容器中剩下的水为原来的 （分数：4.00）A.B.C.D.16.当 x3 -时，下述选项中为无穷小量的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.17.若 f(x)在 x0处可导，且 f(x0)=a，f(x 0)=b，而|f(x)|在 x0处不可导，则( )（分数：4.00）A.a=
5、0，b=0B.a=0，b0C.a0，b=0D.a0，b018.若方程 x-elnx-k=0 在(0，1有解，则 k 的最小取值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.19.若函数 （分数：4.00）A.B.C.D.20.若 是 xf(x)的一个原函数，则（分数：4.00）A.B.C.D.21.设 xf(x)在0，2上单调连续，f(0)=1,f(2)=2，且对任意 x1，x 20，2总有 ，g(x)是 f(x)的反函数， （分数：4.00）A.B.C.D.22.在 （分数：4.00）A.B.C.D.23.对任意的 n 阶矩阵 A，B，C，若 ABC=E(E 是单位矩阵)，则下列 5 式中：(1
6、)ACB=E；(2)BCA=E；(3)BAC=E；(4)CBA=E；(5)CAB=E 恒成立的有( )个（分数：4.00）A.1B.2C.3D.424.若方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.25.若 （分数：4.00）A.B.C.D.在职硕士学位入学资格考试 GCT 数学真题 2011 年答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.若 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 可用特殊值法，令 c=1，则 b=10，a=200，从而可得结论。故选 D。2.设 S=3-32+33-34+35-36+37，则 S
7、 被 4 除所得的余数是( )（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 因*而(-4+1) k被 4 除所得余数都是 1(由二项式定理可知)，故 S 被 4 除的余数和-7 被 4 除得的余数一样，都是 1。故选 B。3.如图所示，MNP 是正ABC 的内切圆中的一个内接正三角形，已知阴影部分的面积为：1500 平方厘米，则正三角ABC 的面积等于( )平方厘米（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 可将MNP 旋转，使其顶点和切点重合，从而可看到MNP 与ABC 的各边中点连线形成的三角形一样，其面积是ABC 面积的四分之一，从而阴影部分面积是ABC 面积的四分之三，故
8、选 B。4.已知数列 a1，a 2，a 3，a n，的通项是 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 前 101 项的和*5.三边长为 1 的正方形拼成如图所示的图形，图中有两条线段相交得锐角为 ，tan=( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如图所示，=1+2，而从图形可以看出，*故*，故选 D。6.若 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *所以选 A。7.设 A、B 两车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车第一次相遇于距甲地 20 公里处仍继续前行，当分别到达乙、甲两地后立即按原路返回，途中第二次相遇于距乙地 10 公里处，则甲、乙两地
9、相距( )公里（分数：4.00）A.35B.40C.45D.50 解析：解析 设两地相距 x 公里，则根据两次相遇的路程比都等于二者速度之比可得方程*，解之得x=50。故选 D。8.设 O 为坐标轴的原点，abc 的大小关系的如图所示，则 的值是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据三个数在坐标轴上的位置关系可以看出，*，于是*，故选 B。9.若函数 f(x)是周期为 6 的奇函数，则 的值等于( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据周期性以及奇函数特点有 f(-7)=f(-1)=-f(1)，f(6)=f(0)=0，于是*。故选 A。10.若复数 则|z
10、1-z2|=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 可直接计算*11.如图，面积为 9 平方厘米的正方形 EFGH 在面积为 25 平方厘米的正方形 ABCD 所在平面上移动，始终保持 EF/AB，记线 CF 的中点为 M，DH 的中点为 N，则线段 MN 的长度是( )厘米（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 可考虑特殊情形法(如图)，将小正方形平行移动让 G 和 C 重合*则*从而*。故选 C。12.有长为 1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm 的六根细木条，任取其中 3 根为边能构成一个三角形的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析
11、古典概型问题。总取法数为*种，能构成三角形的取法可一一数出，具体数法：最短边至少为 2(任何两边之差都会大于等于 1，故最短边不能为 1)，至多为 4，(1)当最短边为 2 时，(2，3，4)，(2，4，5)，(2，5，6)三种情形均可构成三角形，其他不能；(2)当最短边为 3 时，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)三种情形均可构成三角形；(3)当最短边为 4 时，(4，5，6)可构成三角形。共 7 种情形能构成三角形，所以选 D。13.某股民用 30000 元买进甲乙两种股票，在甲股票下跌 10%，乙股票升值 8%时全部卖出，赚得 1500 元，则该股民原来购买的甲乙两种股票所用
12、钱数的比例为( )（分数：4.00）A.2:3B.3:2C.1:5 D.5:1解析：解析 设甲乙两股票所用钱数分别为 a，b，则*解得*故选 C。14.参数方程 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因*故*15.一个盛满水德圆柱形容器，其底面半径为 1，母线长为 3将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出，当容器中剩下的水为原来的 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 考虑圆柱体容器的轴截面(如图)，BC 为容器口，AC 为倾倒后容器内的水平面，AD 为平行于容器口的平面，则易知 ABC 部分与 ADC 部分的容积相同，而 ABC 部分是总容积的三分之一，故 ABCD
13、 部分是总容积的三分之二，ADEF 部分是总容积的三分之一，因此*又 BF=3，BC=2，故 AB=2=BC，从而BAC=45。故选 B。*16.当 x3 -时，下述选项中为无穷小量的是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因*从而选 D。17.若 f(x)在 x0处可导，且 f(x0)=a，f(x 0)=b，而|f(x)|在 x0处不可导，则( )（分数：4.00）A.a=0，b=0B.a=0，b0 C.a0，b=0D.a0，b0解析：解析 因 f(x)在 x0处可导，故也连续。假若 f(x0)=a0，不妨设 a0，则在 x0的某领域中 f(x)0，从而在此领域内|f(x)|
14、=f(x)，它在 x0处也可导，矛盾。即 a=0。另一方面若 f(x0)=b=0，则*从而|f(x)|在处导数为 0，同样矛盾。所以选 B。18.若方程 x-elnx-k=0 在(0，1有解，则 k 的最小取值为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 f(x)=x-elnx-k，则*即 f(x)在(0，1单调递减。又*所以，f(x)在(0，1上有解等价于 f(1)0，即，kl。故选 C。19.若函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因*于是*故选 A20.若 是 xf(x)的一个原函数，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 依题意*所以，*于是*而
15、由积分的几何意义知*表示的是单位圆在第一象限部分的面积，应为*所以*故选 C21.设 xf(x)在0，2上单调连续，f(0)=1,f(2)=2，且对任意 x1，x 20，2总有 ，g(x)是 f(x)的反函数， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 f(x)是一凸函数，利用函数和反函数图像关系，f(x)，g(x)图像如图，从图中可以看出P*故选 A*22.在 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 对于任何 n 阶方阵 A=(aij)nn及 x=(x1，x 2，x n)，有*从而 xixj的系数为 aij+aji。这里 x2x3的系数为 a23+a32=-4。故选 A。23.
16、对任意的 n 阶矩阵 A，B，C，若 ABC=E(E 是单位矩阵)，则下列 5 式中：(1)ACB=E；(2)BCA=E；(3)BAC=E；(4)CBA=E；(5)CAB=E 恒成立的有( )个（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 对于 n 阶方阵来说，若 ABC=E，则 AB=C-1，BC=A -1，从而 BCA=CAB=E，但一般的两个方阵乘积不具有交换性，所以(2)、(5)恒成立，其他不是恒成立。选 B。24.若方程组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因三元线性方程组求解很简单，可逐一带入验证。易得 A 正确。另外也可由线性方程组解的判定来做。有解意味着系数矩阵和增广矩阵的秩相等。对增广矩阵进行行变换*所以(a+2) 2=0，a=-2。故选 A25.若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然，矩阵曰的特征根分别为 1= 2=2， 3=0，由相似矩阵有相同的特征根知，2 也是矩阵 A 的二重特征根，于是 r(A-2E)=3-2=1，*所以 a+2=0，a=-2。故选 D。
