1、向量组及答案解析(总分：104.00，做题时间：90 分钟)1. 1， 2， 的每个向量可由另一个向量组 1， 2， )线性表示，且 )，则向量组 1， 2， )( )(A) 线性相关 (B) 线性无关(C) 有可能线性无关 (D) 无法确定（分数：4.00）A.B.C.D.2.下列命题错误的是( )(A) 若 1， m线性无关，则其中每一个向量都不是其余向量的线性组合(B) 若 1， 2， 3线性相关，则 1+ 2， 2+ 3， 3十 1，也线性相关(C) 设 1， 2)线性无关，则 1+ 2， 1- 2)，也线性无关(D) 若 1， 2线性相关， 1， 2，线性相关，则 1+ 1， 2+
2、2也线性相关（分数：4.00）A.B.C.D.3.向量组(I)：a 1，a m(m3)线性无关的充分必要条件是( )(A) 任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出(B) 存在一个向量，它不能由其余 m-1 个向量线性表出(C) 任意两个向量线性无关(D) 存在不全为零的常数 k1，k m，使 k1a1+kmamo，使 k1a1+kmam0（分数：4.00）A.B.C.D.4.以下命题正确的是( )(A) 若 1， m(m2)线性无关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合(B) 1， m(m2)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关(C) 若 1， 2线性相关， 1， 2，线性相
3、关，则 1+ 1， 2+ 2也线性相关(D) 若 1， 2线性无关，则 1+ 2， 1- 2也线性无关（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知两个 n 维向量组 1， m和 1， m，若存在两组不全为零的数 1， m和是k1，k m，使( 1+k1) 1+，+( m+km) m+( 1-k1) 1+，+( m-km) m=0，则下列正确的是( )(A) 1， m和 1， m都线性无关(B) 1， m和 1， m都线性相关(C) 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m都线性相关(D) 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m都线性无关（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 A=
4、（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为 mn 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax=0 存在非零解的充分必要条件是( )(A) A 的行向量组线性相关 (B) A 的行向量组线性无关(C) A 的列向量组线性相关 (D) A 的列向量组线性无关（分数：4.00）A.B.C.D.8. 1=(1，-1，0，0)， 2=(-1，2，1，-1)， 3=(0，1，1，-1)， 4=(-1，3，2，1)， 5=(-2，6，4，-1)，对于 1 5正确的是( )(A) 1 5)线性无关 (B) r( 1 5)=4(C) 一个极大无关组为 1， 2， 4) (D) 1， 2， 3， 4线性无关（分数
5、：4.00）A.B.C.D.9.A 为 n(n2)阶矩阵，若 r(A)=n-1，则 r(A*)=( )(A) 1 (B) 2 (C) n (D) n-1（分数：4.00）A.B.C.D.10.A= （分数：4.00）A.B.C.D.11. 1， 2， r，线性无关，可知( )(A) 存在全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k1 1+k2 2+kr r=0(B) 存在不全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k1 1+k2 2+kr r0(C) 每个 i都不能用其他向量线性表示(D) 有线性无关的部分组（分数：4.00）A.B.C.D.12.设 A 是 45 矩阵， 1， 2， 3， 5
6、，口 5 是 A 的列向量组，r(A)=3，则( )正确(A) A 的任何 3 个行向量都线性无关(B) A 的任何阶数大于 3 的子式都是 0 子式，任何 3 阶子式都为非 0 子式(C) 1， 2， 3， 4， 5的含有 3 个向量的线性无关部分组一定是它的极大无关组(D) 1， 2， 3， 4， 5的线性相关的部分组一定含有多于 3 个向量（分数：4.00）A.B.C.D.13.设 n 维向量组 1， 2， s的秩等于 3，则( )(A) 1， 2， s中的任何 4 个向量相关，任何 3 个向量无关(B) 存在含有两个向量的无关的部分组(C) 相关的部分组包含向量的个数多于 3(D) 如
7、果 s3，则 1， 2， s中有零向量（分数：4.00）A.B.C.D.14.设 n 维向量组 1， 2， s的秩为 k，它的一个部分组 1， 2， t(ts)的秩为 h下面诸条件中，哪些可判定 1， 2， t是 1， 2， s的一个极大无关组?(1)h=k，并且 1， 2， t线性无关；(2)h-k，并且 1， 2， t与 1， 2， s等价；(3)t=k，并且 1， 2， t与 1， 2， s等价；(4)h=k=t；(5)t=k，并且 1， 2， t线性无关；(6)h=t，并且 1， 2， t线性无关（分数：4.00）填空项 1:_15.设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， s是一组 n
8、维向量， i=A i，i=1，2，s则( )成立(A) 如果 1， 2， s线性无关，则 1， 2， s，也线性无关 (B) r( 1， 2， s)=r( 1， 2， s)(C) 如果 A 不可逆，则 r( 1， 2， s)r( 1， 2， s)(D) 如果 r( 1， 2， s)r( 1， 2， s)，则 A 不可逆（分数：4.00）A.B.C.D.16.设 1， 2， 3， 4线性无关，则( )线性无关(A) 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1(B) 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 3- 4(C) 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3， 1+ 2+ 3+ 4， 4+ 1(D) 1
9、- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1（分数：4.00）A.B.C.D.17.设 1， 2， 3线性无关， 1=(m-1) 1+3 2+ 3， 2= 1+(m+1) 2+ 3， 3= 1-(m+1) 1+(1-m) 2，其中 m 为实数，讨论 m 与 r( 1， 2， 3)的关系（分数：4.00）_18.设 n 维向量组 1， 2， 3， 4， 的秩为 4，则( )正确(A) r( 1， 2， 3， 4)4 (B) 可用 1， 2， 3， 4线性表示(C) r( 1， 2， 3， 4)3 (D) 1， 2， 3， 4线性无关（分数：4.00）A.B.C.D.19.设 1=(1+，1，1)，
10、 2=(1，1+，1)， 3=(1，1，1+)，=(0， 2) 为何值时， 可用 1， 2， 3线性表示，并且表示方式唯一? 为何值时， 可用 1， 2， 3线性表示，并且表示方式不唯一? 为何值时， 不可用 1， 2， 3线性表示?（分数：4.00）_20.设 1=(1+a，1，1)， 2=(1，1+b，1)， 3=(1，1，1-b)，问 a，b 满足什么条件时 r( 1， 2， 3)=2?（分数：4.00）_21.当 a 取何值时向量组 1=(3，1，2，12)， 2=(-1，a，1，1)， 3=(1，-1，0，2)线性相关?（分数：4.00）_22.已知矩阵 A= （分数：4.00）_2
11、3.如果 1， 2， 3线性无关，而 3 1- 2+ 3，2 1+ 2- 3， 1+ 2+2 3线性相关，则 t=_（分数：4.00）_24.3 阶矩阵 A= （分数：4.00）_25.设 1=(1，0，1，1)， 2=(2，-1，0，1)， 3=(-1，2，2，0)， 1=(0，1，0，1)， 2=(1，1，1，1)，问：c 1，c 2满足什么条件时 c1 1+c2 2可以用 1， 2， r线性表示?（分数：4.00）_26.设 1， 2， 3， 4线性相关， 2， 3， 4， 5线性无关哪个向量可用其他向量线性表示?哪个向量不能用其他向量线性表示?（分数：4.00）_向量组答案解析(总分：
12、104.00，做题时间：90 分钟)1. 1， 2， 的每个向量可由另一个向量组 1， 2， )线性表示，且 )，则向量组 1， 2， )( )(A) 线性相关 (B) 线性无关(C) 有可能线性无关 (D) 无法确定（分数：4.00）A.B.C. D.解析：根据定理可知，选(C)2.下列命题错误的是( )(A) 若 1， m线性无关，则其中每一个向量都不是其余向量的线性组合(B) 若 1， 2， 3线性相关，则 1+ 2， 2+ 3， 3十 1，也线性相关(C) 设 1， 2)线性无关，则 1+ 2， 1- 2)，也线性无关(D) 若 1， 2线性相关， 1， 2，线性相关，则 1+ 1，
13、2+ 2也线性相关（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：(D)不正确，例(1，0)(2，0)线性相关，(0，1)(0，3)线性相关，但(1，1)(2，3)无关3.向量组(I)：a 1，a m(m3)线性无关的充分必要条件是( )(A) 任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出(B) 存在一个向量，它不能由其余 m-1 个向量线性表出(C) 任意两个向量线性无关(D) 存在不全为零的常数 k1，k m，使 k1a1+kmamo，使 k1a1+kmam0（分数：4.00）A. B.C.D.解析：(B)错误，“存在”改为“任意”，(C)错误，它是线性相关的必要条件, 选(A)4.以下命题
14、正确的是( )(A) 若 1， m(m2)线性无关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合(B) 1， m(m2)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关(C) 若 1， 2线性相关， 1， 2，线性相关，则 1+ 1， 2+ 2也线性相关(D) 若 1， 2线性无关，则 1+ 2， 1- 2也线性无关（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：根据定理可知，答案(D)5.已知两个 n 维向量组 1， m和 1， m，若存在两组不全为零的数 1， m和是k1，k m，使( 1+k1) 1+，+( m+km) m+( 1-k1) 1+，+( m-km) m=0，则下列正确的是( )(A) 1，
15、m和 1， m都线性无关(B) 1， m和 1， m都线性相关(C) 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m都线性相关(D) 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m都线性无关（分数：4.00）A.B.C. D.解析：因为原式可改为 1( 1+ 1)+，+ m( m+ m)+k1( 1- 1)+，+k m( m- m)=0，因为 1， m不全为 0，k 1，k m不全为 0，所以 1+ 1， m+ 1， 1- 1， m- m。一风线性相关，选(C)6.已知 A= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：因为 r(A)=3，所以 A=7.设 A 为 mn 矩阵，则 n 元齐次线性方程
16、组 Ax=0 存在非零解的充分必要条件是( )(A) A 的行向量组线性相关 (B) A 的行向量组线性无关(C) A 的列向量组线性相关 (D) A 的列向量组线性无关（分数：4.00）A.B.C. D.解析：列向量组线性相关是有非零解的充要条件，选(C)8. 1=(1，-1，0，0)， 2=(-1，2，1，-1)， 3=(0，1，1，-1)， 4=(-1，3，2，1)， 5=(-2，6，4，-1)，对于 1 5正确的是( )(A) 1 5)线性无关 (B) r( 1 5)=4(C) 一个极大无关组为 1， 2， 4) (D) 1， 2， 3， 4线性无关（分数：4.00）A.B.C. D.
17、解析：所以 r(A)=3，U 中每一个非零行第一个非零之所在列为第 1，2，4 列所以 1， 5)一个极大无关组为 1， 2， 4)，选(C)9.A 为 n(n2)阶矩阵，若 r(A)=n-1，则 r(A*)=( )(A) 1 (B) 2 (C) n (D) n-1（分数：4.00）A. B.C.D.解析：由10.A= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：，r(A+AB)=rA(E+B)，因为(E+B)可逆，r(A)=2， ，r(A)=2t-9=0t=9，所以选(B)11. 1， 2， r，线性无关，可知( )(A) 存在全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k1 1+k2 2+kr
18、 r=0(B) 存在不全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k1 1+k2 2+kr r0(C) 每个 i都不能用其他向量线性表示(D) 有线性无关的部分组（分数：4.00）A.B.C. D.解析：(A)错误，应该为“只有全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k1 1+k2 2+kr r=0”；(B)有可能相关，有可能无关；(C)线性无关的充要条件；(D)部分无关，整体有可能相关选(C)12.设 A 是 45 矩阵， 1， 2， 3， 5，口 5 是 A 的列向量组，r(A)=3，则( )正确(A) A 的任何 3 个行向量都线性无关(B) A 的任何阶数大于 3 的子式都是 0 子式
19、，任何 3 阶子式都为非 0 子式(C) 1， 2， 3， 4， 5的含有 3 个向量的线性无关部分组一定是它的极大无关组(D) 1， 2， 3， 4， 5的线性相关的部分组一定含有多于 3 个向量（分数：4.00）A. B. C. D. 解析：13.设 n 维向量组 1， 2， s的秩等于 3，则( )(A) 1， 2， s中的任何 4 个向量相关，任何 3 个向量无关(B) 存在含有两个向量的无关的部分组(C) 相关的部分组包含向量的个数多于 3(D) 如果 s3，则 1， 2， s中有零向量（分数：4.00）A.B. C.D.解析：(A)中若 i中有一个 0 向量，则任何 3 个包含此
20、0 向量的组即相关，因此错误(B)中既然其秩等于 3，则必定有一个极大无关组，个数为 3，任取其中两个向量构成部分组，则这两个必无关，因此(B)对(C)中由于存在 0 向量的可能性，那么包含 0 向量的任意部分组，来论其个数多少，均是相关的，因此不必多于 3 个，因此(C)是错误的(D)中 0 向量可存在，也可不存在，举例，若 1， 2， 3为大无关组， 4= 1+ 2+ 3，这样 1， 2， 3， 4满足 S=43，但其中并无 0 向量选(B)14.设 n 维向量组 1， 2， s的秩为 k，它的一个部分组 1， 2， t(ts)的秩为 h下面诸条件中，哪些可判定 1， 2， t是 1， 2
21、， s的一个极大无关组?(1)h=k，并且 1， 2， t线性无关；(2)h-k，并且 1， 2， t与 1， 2， s等价；(3)t=k，并且 1， 2， t与 1， 2， s等价；(4)h=k=t；(5)t=k，并且 1， 2， t线性无关；(6)h=t，并且 1， 2， t线性无关（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(2)错误，因为 1， 2， t有可能线性相关；(6)错误，因为有可能向量的个数少于 k；所以正确的为(1)，(3)，(4)，(5)）解析：15.设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， s是一组 n 维向量， i=A i，i=1，2，s则( )成立(A) 如果 1，
22、2， s线性无关，则 1， 2， s，也线性无关 (B) r( 1， 2， s)=r( 1， 2， s)(C) 如果 A 不可逆，则 r( 1， 2， s)r( 1， 2， s)(D) 如果 r( 1， 2， s)r( 1， 2， s)，则 A 不可逆（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：(A)错误，因为有可能线性相关；(B)当 A 可逆时才会成立；(C)有可能相等, 选(D)16.设 1， 2， 3， 4线性无关，则( )线性无关(A) 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1(B) 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 3- 4(C) 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3， 1+ 2+
23、3+ 4， 4+ 1(D) 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：17.设 1， 2， 3线性无关， 1=(m-1) 1+3 2+ 3， 2= 1+(m+1) 2+ 3， 3= 1-(m+1) 1+(1-m) 2，其中 m 为实数，讨论 m 与 r( 1， 2， 3)的关系（分数：4.00）_正确答案：(本题思路： i与 i构成了矩阵相乘的关系，AB=C，讨论这个矩阵的关系( 1， 2， 3)=(m-1) 1+3 2+ 3， 1+(m+1) 2+ 3， 1-(m+1) 2+(1-m) 3) 由于 1， 2， 3线性无关，r( 1， 2， 3)=3
24、=( 1， 2， 3)的列数根据性质，如果 r(A)等于列数，则 r(AB)=r(B)，由此可得(1)若(m-2)(m 2-2)=0，即 m=2 或 m= ，r(C)=2，r( 1， 2， 3)=r(C)=2(2)若(m-2)(m 2-2)0，即 m2 且 m ，r(C)=3，r( 1， 2， 3)=r(C)=3 )解析：18.设 n 维向量组 1， 2， 3， 4， 的秩为 4，则( )正确(A) r( 1， 2， 3， 4)4 (B) 可用 1， 2， 3， 4线性表示(C) r( 1， 2， 3， 4)3 (D) 1， 2， 3， 4线性无关（分数：4.00）A.B.C. D.解析：(A
25、)秩有可能等于 4；(B)不一定能线性表示；(D)有可能线性无关；选(C)19.设 1=(1+，1，1)， 2=(1，1+，1)， 3=(1，1，1+)，=(0， 2) 为何值时， 可用 1， 2， 3线性表示，并且表示方式唯一? 为何值时， 可用 1， 2， 3线性表示，并且表示方式不唯一? 为何值时， 不可用 1， 2， 3线性表示?（分数：4.00）_正确答案：(1)A 不为 0 和-3(2)=0(3)=-3)解析：20.设 1=(1+a，1，1)， 2=(1，1+b，1)， 3=(1，1，1-b)，问 a，b 满足什么条件时 r( 1， 2， 3)=2?（分数：4.00）_正确答案：(
26、a=-1，或 a0，b=0)解析：21.当 a 取何值时向量组 1=(3，1，2，12)， 2=(-1，a，1，1)， 3=(1，-1，0，2)线性相关?（分数：4.00）_正确答案：(本题思路 r( 1， 2， 3)2，则线性相关向量组成矩阵，向量组的秩即为对应矩阵的秩令 若 a-3=0，则 r(A)=2，即 a=3 时，r(A)=r( 1， 2， 3)=2，表示 1， 2， 3线性相关 )解析：22.已知矩阵 A= （分数：4.00）_正确答案：(a=-7)解析：23.如果 1， 2， 3线性无关，而 3 1- 2+ 3，2 1+ 2- 3， 1+ 2+2 3线性相关，则 t=_（分数：4
27、.00）_正确答案：(t=- 2)解析：24.3 阶矩阵 A= （分数：4.00）_正确答案：(此题关键考察 r(AB)minr(A)，r(B)(1)首先根据性质，当 A 可逆时，r(AB)=r(B)(2)A 可逆，即 A 为满秩 r(A)=3，在此题中，若 r(A)=3，r(B)=3，则有 r(AB)=r(B)=3，这样就无法满足条件中的 r(AB)r(A)，r(AB)r(B)因此必须有 r(A)2，r(B)2，这样隐含的意义就被挖出来了若要使得 r(A)2，r(B)2，则有此时 r(A)=r(B)=2若 r(AB)r(A)=r(B)=2，则 r(AB)=1(可进一步计算出 AB，再看它的秩
28、，最终求出 r(AB)=1) )解析：25.设 1=(1，0，1，1)， 2=(2，-1，0，1)， 3=(-1，2，2，0)， 1=(0，1，0，1)， 2=(1，1，1，1)，问：c 1，c 2满足什么条件时 c1 1+c2 2可以用 1， 2， r线性表示?（分数：4.00）_正确答案：(本题思路 1， 2， 3构成的向量组 r=3，即它们是无关的，即 C1 1+C2 2可用 1， 2， 3线性表示，则( 1， 2， 3，C 1 1+C2 2)是相关的，证明其 r=3，即可令 ，r(A)=3，即 1， 2， 3是无关的令 )解析：26.设 1， 2， 3， 4线性相关， 2， 3， 4， 5线性无关哪个向量可用其他向量线性表示?哪个向量不能用其他向量线性表示?（分数：4.00）_正确答案：( 1可用其他向量线性表示， 5不能用其他向量线性表示)解析：
