1、2013 年广西省柳州市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3分，满分 36 分 ) 1.(3 分 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体是 ( ) A. 正方体 B. 长方体 C. 三棱柱 D. 三棱锥 解析 ： 俯视图和左视图都是长方形， 此几何体为柱体， 主视图是一个三角形， 此几何体为三棱柱 . 答案： C. 2.(3 分 )计算 -10-8 所得的结果是 ( ) A. -2 B. 2 C. 18 D. -18 解析 ： -10-8=-18. 答案： D. 3.(3 分 )在 -3， 0， 4， 这四个数中，最大的数是 ( ) A. -3 B. 0 C. 4 D.
2、 解析 ： 在 -3， 0， 4， 这四个数中， -3 0 4，最大的数是 4. 答案： C. 4.(3 分 )如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比 ( ) A. 形状没有改变，大小没有改变 B. 形状没有改变，大小有改变 C. 形状有改变，大小没有改变 D. 形状有改变，大小有改变 解析 ： 轴对称变换不改变图形的形状与大小， 与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变 . 答案： A. 5.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. 3a 2a=5a B. 3a 2a=5a2 C. 3a 2a=6a D. 3a 2a=6a2 解析 ： 3a 2a=6a2. 答案： D 6.(3 分
3、 )在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是 ( ) A. (2， 3) B. (-2， 3) C. (-2， -3) D. (2， -3) 解析 ： 根据每个象限内点的坐标符号可得在第二象限内的点是 (-2， 3)， 答案： B. 7.(3 分 )学校舞蹈队买了 8 双舞蹈鞋，鞋的尺码分别为： 36， 35， 36， 37， 38， 35， 36， 36，这组数据的众数是 ( ) A.35 B.36 C.37 D.38 解析 ： 数据中 36 出现了 4 次，出现次数最多，所以这组数据的众数为 36. 答案： B. 8.(3 分 )下列四个图中， x 是圆周角的是 ( ) A. B. C. D
4、. 解析 ： 根据圆周角定义：即可得 x 是圆周角的有： C，不是圆周角的有： A， B， D. 答案： C. 9.(3 分 )下列式子是因式分解的是 ( ) A. x(x-1)=x2-1 B. x2-x=x(x+1) C. x2+x=x(x+1) D. x2-x=x(x+1)(x-1) 解析 ： A、 x(x-1)=x2-1 是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误； B、 x2-x=x(x+1)左边的式子 右边的式子，故本选项错误； C、 x2+x=x(x+1)是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确； D、 x2-x=x(x+1)(x-1)，左边的式子 右边的式子，故本选项错误； 答
5、案： C. 10.(3 分 )小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长 BA 为 15 米 (如图 )，然后在 A处树立一根高 2 米的标杆，测得标杆的影长 AC 为 3 米，则楼高为 ( ) A. 10 米 B. 12 米 C. 15 米 D. 22.5 米 解析 ： = 即 = ， 楼高 =10 米 . 答案： A. 11.(3 分 )如图，点 P(a， a)是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上的一个点，以点 P 为顶点作等边 PAB ，使 A、 B 落在 x 轴上，则 POA 的面积是 ( ) A. 3 B. 4 C. D. 解析 ： 如图， 点 P(a， a)是反比例函数 y=
6、 在第一象限内的图象上的一个点， 16=a 2，且 a 0，解得， a=4， PD=4 . PAB 是等边三角形， AD= = .OA=4 -AD= ， S POA = OA PD= 4= . 答案： D. 12.(3 分 )在 ABC 中， BAC=90 ， AB=3， AC=4， AD 平分 BAC 交 BC于 D，则 BD 的长为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： BAC=90 ， AB=3， AC=4， BC= = =5， BC 边上的高 =345=， AD 平分 BAC ， 点 D 到 AB、 AC 上的距离相等，设为 h， 则 SABC = 3h+ 4h= 5 ，解得 h=
7、 ， SABD = 3 = BD ，解得 BD= . 答案： A. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，满分 18 分 ) 13.(3 分 )不等式 4x 8 的解集是 . 解析 ： 4x 8，两边同时除以 4 得： x 2. 答案 ： x 2. 14.(3 分 )若分式 有意义，则 x . 解析 ： 由题意得： x-20 ，解得： x2 . 答案 ： 2. 15.(3 分 )一个袋中有 3 个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同，在看不到的条件下，随机摸出一个红球的概率是 ，则袋中有 个白球 . 解析 ： 设白球 x 个，根据题意可得： = ，解得： x=7
8、，故袋中有 7 个白球 . 答案 ： 7. 16.(3 分 )学校组织 “ 我的中国梦 ” 演讲比赛，每位选手的最后得分为去掉一个最低分、一个最高分后的平均数 .7 位评委给小红同学的打分是： 9.3， 9.6， 9.4， 9.8， 9.5， 9.1， 9.7，则小红同学的最后得分是 . 解析 ： 在 9.3， 9.6， 9.4， 9.8， 9.5， 9.1， 9.7 中， 去掉一个最低分 9.1、一个最高分 9.8 后的平均数是： (9.3+9.6+9.4+9.5+9.7)5=9.5 ； 答案 ： 9.5. 17.(3 分 )如图， ABCDEF ，请根据图中提供的信息，写出 x= . 解析
9、 ： 如图， A=180 -50 -60=70 ， ABCDEF ， EF=BC=20 ，即 x=20. 答案 ： 20. 18.(3 分 )有下列 4 个命题： 方程 x2-( + )x+ =0 的根是 和 . 在 ABC 中， ACB=90 ， CDAB 于 D.若 AD=4， BD= ，则 CD=3. 点 P(x， y)的坐标 x， y 满足 x2+y2+2x-2y+2=0，若点 P 也在 y= 的图象上，则 k=-1. 若实数 b、 c 满足 1+b+c 0， 1-b+c 0，则关于 x 的方程 x2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根 x0满足 -1 x0 1. 上
10、述 4 个命题中，真命题的序号是 . 解析 ： 方程 x2-( + )x+ =0 的根是 和 ，此命题正确； 在 ABC 中， ACB=90 ， CDAB 于 D.若 AD=4， BD= ，则 CD=3. 由题意得出： CD 2=ADBD ，故此命题正确； 点 P(x， y)的坐标 x， y 满足 x2+y2+2x-2y+2=0， (x+1)2+(y-1)2=0，解得： x=-1， y=1， xy= -1， 故点 P 也在 y= 的图象上，则 k=-1 此命题正确； 实数 b、 c 满足 1+b+c 0， 1-b+c 0， y=x 2+bx+c 的图象如图所示， 关于 x的方程 x2+bx+c
11、=0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根 x0满足 -1 x0 1，故此选项正确 . 答案 ： . 三、解答题 (本大题共 8 小题，满分 66分 ) 19.(6 分 )计算： (-2)2-( )0. 解析 ： 本题涉及零指数幂、乘方等考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： 原式 =4-1=3. 20.(6 分 )解方程： 3(x+4)=x. 解析 ： 方程去分母，移项合并，将 x 系数化为 1，即可求出解 . 答案： 去括号得： 3x+12=x，移项合并得： 2x=-12，解得： x=-6. 21.(6 分 )韦玲和覃静两人玩 “ 剪刀、石头、布
12、 ” 的游戏，游戏规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀 . (1)请用列表法或树状图表示出所有可能出现的游戏结果； (2)求韦玲胜出的概率 . 解析 ： (1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； (2)由树状图可得一次游戏中两人出同种手势的有 3 种情况，韦玲获胜的有 3 种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： (1)画树状图得： 则有 9 种等可能的结果； (2) 韦玲胜出的可能性有 3 种，故韦玲胜出的概率为： . 22.(8分 ) 如图，将小旗 ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为 A(-6， 12)， B(-6，0)， C(0， 6)
13、， D(-6， 6).以点 B 为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转 90 . (1)画出旋转后的小旗 ACDB ； (2)写出点 A ， C ， D 的坐标； (3)求出线段 BA 旋转到 BA 时所扫过的扇形的面积 . 解析 ： (1)根据平面直角坐标系找出 A 、 C 、 D 、 B 的位置，然后顺次连接即可； (2)根据旋转的性质分别写出点 A ， C ， D 的坐标即可； (3)先求出 AB 的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解 . 答案： (1)小旗 ACDB 如图所示； (2)点 A (6， 0)， C (0， -6)， D (0， 0)； (3)A (-6， 12
14、)， B(-6， 0)， AB=12 ， 线段 BA 旋转到 BA 时所扫过的扇形的面积 = =36 . 23.(8 分 )某游泳池有水 4000m3，先放水清洗池子 .同时，工作人员记录放水的时间 x(单位：分钟 )与池内水量 y(单位： m3) 的对应变化的情况，如下表： (1)根据上表提供的信息，当放水到第 80 分钟时，池内有水多少 m3？ (2)请你用函数解析式表示 y 与 x 的关系，并写出自变量 x 的取值范围 . 解析 ： (1)观察不难发现，每 10 分钟放水 250m3，然后根据此规律求解即可； (2)设函数关系式为 y=kx+b，然后取两组数，利用待定系数法一次函数解析式
15、求解即可 . 答案： (1)由图表可知，每 10 分钟放水 250m3， 所以，第 80 分钟时，池内有水 4000-8250=2000m 3； 答：池内有水 2000m3. (2)设函数关系式为 y=kx+b， x=20 时， y=3500， x=40 时， y=3000， ，解得： ， 所以， y=-25x+4000(0x160 ). 24.(10 分 )如图，四边形 ABCD 为等腰梯形， ADBC ，连结 AC、 BD.在平面内将 DBC 沿 BC翻折得到 EBC . (1)四边形 ABEC 一定是什么四边形？ (2)证明你在 (1)中所得出的结论 . 解析 ： (1)首先观察图形，然
16、后由题意可得四边形 ABEC 一定是平行四边形； (2)由四边形 ABCD 为等腰梯形， ADBC ，可得 AB=DC， AC=BD，又由在平面内将 DBC 沿 BC翻折得到 EBC ，可得 EC=DC， DB=BE，继而可得： EC=AB， BE=AC，则可证得四边形 ABEC 是平行四边形 . 答案： (1)四边形 ABEC 一定是平行四边形； (2) 四边形 ABCD 为等腰梯形， ADBC ， AB=DC ， AC=BD， 由折叠的性质可得： EC=DC， DB=BE， EC=AB ， BE=AC， 四边形 ABEC 是平行四边形 . 25.(10 分 )如图， O 的直径 AB=6，
17、 AD、 BC 是 O 的两条切线， AD=2， BC= . (1)求 OD、 OC 的长； (2)求证： DOCOBC ； (3)求证： CD 是 O 切线 . 解析 ： (1)由 AB 的长求出 OA 与 OB 的长，根据 AD， BC为圆的切线，利用切线的性质得到三角形 AOD 与三角形 BOC 都为直角三角形，利用勾股定理即可求出 OD 与 OC的长； (2)过 D 作 DE 垂直于 BC，可得出 BE=AD， DE=AB，在直角三角形 DEC中，利用勾股定理求出CD 的长，根据三边对应成比例的三角形相似即可得证； (3)过 O 作 OF 垂直于 CD，根据 (2)中两三角形相似，利用
18、相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用 AAS得到三角形 OCF与三角形 OCB全等，由全等三角形的对应边相等得到 OF=OB，即 OF 为圆的半径，即可确定出 CD 为圆 O 的切线 . 答案： (1)AD 、 BC 是 O 的两条切线， OAD=OBC=90 ， 在 RtAOD 与 RtBOC 中， OA=OB=3， AD=2， BC= ， 根据勾股定理得： OD= = ， OC= = ； (2)过 D 作 DEBC ，可得出 DAB=ABE=BED=90 ， 四边形 ABED 为矩形， B E=AD=2， DE=AB=6， EC=BC-BE= ， 在 RtEDC 中，根据勾股定理得：
19、 DC= = ， = = = ， DOCOBC ； (3)过 O 作 OFDC ，交 DC 于点 F， DOCOBC ， BCO=FCO ， 在 BCO 和 FCO 中， ， BCOFCO (AAS)， OB=OF ，则 CD 是 O 切线 . 26.(12 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象经过点 (1， 0)， (5， 0)， (3， -4). (1)求该二次函数的解析式； (2)当 y -3，写出 x 的取值范围； (3)A、 B 为直线 y=-2x-6 上两动点，且距离为 2，点 C 为二次函数图象上的动点，当点 C运动到何处时 ABC 的面积最小？求出此时点 C
20、 的坐标及 ABC 面积的最小值 . 解析 ： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)求出 y=3 时 x 的值，结合函数图象，求出 y -3 时 x的取值范围； (3)ABC 的底边 AB 长度为 2，是定值，因此当 AB 边上的高最小时， ABC 的面积最小 .如解答图所示，由点 C 向直线 y=-2x-6 作垂线，利用三角函数 (或相似三角形 )求出高 CE 的表达式，根据表达式 求出 CE 的最小值，这样问题得解 . 答案： (1) 点 (1， 0)， (5， 0)， (3， -4)在抛物线上， ，解得 . 二次函数的解析式为： y=x2-6x+5. (2)在 y=x2-6x
21、+5 中，令 y=-3，即 x2-6x+5=-3，整理得： x2-6x+8=0，解得 x1=2， x2=4. 结合函数图象，可知当 y -3 时， x 的取值范围是： x 2 或 x 4. (3)设直线 y=-2x-6 与 x 轴， y 轴分别交于点 M，点 N， 令 x=0，得 y=-6；令 y=0，得 x=-3M (-3， 0)， N(0， -6)， OM=3 ， ON=6，由勾股定理得： MN=3 ， tanMNO= = ， sinMNO= = . 设点 C 坐标为 (x， y)，则 y=x2-6x+5. 过点 C 作 CDy 轴于点 D，则 CD=x， OD=-y， DN=6+y. 过
22、点 C 作直线 y=-2x-6 的垂线，垂足为 E，交 y 轴于点 F， 在 RtCDF 中， DF=CD tanMNO= x， CF= = = = x. FN=DN -DF=6+y- x.在 RtEFN 中， EF=FN sinMNO= (6+y- x). CE=CF+EF= x+ (6+y- x)， C (x， y)在抛物线上， y=x 2-6x+5，代入上式整理得： CE= (x2-4x+11)= (x-2)2+ ， 当 x=2 时， CE 有最小值，最小值为 . 当 x=2 时， y=x2-6x+5=-3， C (2， -3).ABC 的最小面积为： AB CE= 2 = . 当 C 点坐标为 (2， -3)时， ABC 的面积最小，面积的最小值为 .
