1、信号与线性系统-9 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：17，分数：100.00)求下列序列的卷积和。（分数：8.00）(1).(k)*(k)（分数：2.00）_(2).0.5 k (k)*(k)（分数：2.00）_(3).2 k (k)*3 k (k)（分数：2.00）_(4).k(k)*(k-1)（分数：2.00）_1.证明卷积和的移序特性，即若 e(k)*h(k)=y(k)，则 e(k-k 1 )*h(k-k 2 )=y(k-k 1 -k 2 ) （分数：2.00）_求下列差分方程所示系统的零状态响应。（分数：8.00）(1).y(k+1)+2y(k
2、)=e(k+1)，e(k)=2 k (k)（分数：2.00）_(2).y(k+1)+2y(k)=e(k)，e(k)=2 k (k)（分数：2.00）_(3).y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=e(k)，e(k)=3 k (k)（分数：2.00）_(4).y(k+2)+2y(k+1)+2y(k)=e(k+1)+2e(k)，e(k)=(k-1)（分数：2.00）_2.一离散系统当激励 e(k)=(k)时的零状态响应为 2(1-0.5 k )(k)，求当激励为 e(k)=0.5 k (k)时的零状态响应。 （分数：2.00）_一离散系统的差分方程及初始条件如下： y(k+2)+y(k+1)+
3、y(k)=(k+1)，y zi (0)=1，y zi (1)=2 求：（分数：6.00）(1).零输入响应 y zi (k)，零状态响应 y zs (k)及全响应 y(k)。（分数：2.00）_(2).比较 k=0.1 时全响应值与给定的初始条件值，说明二者不同的原因。（分数：2.00）_(3).绘出该系统的框图。（分数：2.00）_一系统的系统方程及初始条件分别如下： y(k+2)-3y(k+1)+2y(k)=e(k+1)-2e(k) y zi (0)=y zi (1)=1，e(k)=(k) 求（分数：6.00）(1).零输入响应 y zi (k)，零状态响应 y zs (k)及全响应 y(
4、k)。（分数：2.00）_(2).判断该系统是否稳定。（分数：2.00）_(3).绘出系统框图。（分数：2.00）_3.有一球由 10m 高度自由落下，设每次弹起高度为前次的 3/4，求第 5 次及第 8 次弹起的高度。 （分数：2.00）_4.用差分方程求 0k 的全部整数和 （分数：2.00）_5.由 N 段阻值为 R 的均匀导线连接成正多边形，顶点分别为 A 1 ，A 2 ，A N ，多边形中点 O 也以相同导线与各顶点连接。设 O 点电压为零，A 1 点外加电压为 1V，证明任意相邻两顶点 A k 与 A k-1 间的电流可用下式表示： 式中 （分数：2.00）_银行向个人或企业的贷款
5、采用逐月计息偿还的方式，从贷款下一个月起，每月还款数为 x(k)元，对于第k 个月所欠的贷款银行收取贷款月利率 并计入下个月的欠款总数中。设在第 k 个月时欠银行的贷款数额为 y(k)。（分数：4.00）(1).试列出关于欠款额 y(k)的差分方程（分数：2.00）_(2).还贷方式一般有下列五种 (1)到期一次还本付息法。借款人在贷款期内，不是按月偿还本息，而是贷款到期后一次性归还全部本金和利息。这种方法一般适当于短期贷款。 (2)等额本息还款法。每月固定支付给银行固定数额，在指定的时间内还清。由于月还款额相同，简单又干脆，适用于在整个贷款期内家庭收入有稳定来源的贷户，如国家机关、科研、教学
6、单位人员等。目前住房公积金贷款和多数银行的商业性个人住房贷款都采用了这种方式。 (3)等额本金还款法。就是借款人将贷款额平均分摊到整个还款期内每期(月)归还，同时付清上一次交易日至本次还款日间的贷款利息的一种还款方式。这种方式每月的偿还额逐渐减少，较适合于已经有一定的积蓄，但预期收入可能逐渐减少的借款人，如中老年职工家庭，其现有一定的积蓄，但今后随着退休临近收入将递减。 (4)等比累进还款法。就是将整个还款期按一定的时间段划分，每个时间段较上一时间段多还约定的固定比例，而每个时间段内每月须以相同的偿还额归还贷款本息的一种还款方式。这种方式适合于一些目前收入不高、但是预计以后收入会有大幅度上升的
7、人，例如刚刚开始工作或创业的年轻人。 (5)等额累进还款法。其与“等比累进还款法”类似，不同之处就是将在每个时间段上约定多还款的“固定比例”改为“固定额度”，以同样在每个时间段内每月以相同的偿还额归还贷款本息的一种还款方式。这种方法的优点与等比累进法相同，在国外的年轻人中十分通行后两种消费信贷还款方式。 假设某人从银行贷款 40 万元，20 年内偿还，月息 0.42%。试计算五种还款方式下的还款计划(每月还款数目)公式。其中在等比累进还款法和等额累进还款法中，以五年为一个阶段，每个阶段还款数目比上一个阶段分别增加 50%(等比累进还款法)或 2000 元(等额累进还款法)。（分数：2.00）_
8、利用定义式求下列序列的 z 变换并标注收敛区。（分数：12.00）(1).f(k)=1，-1，1，-1，1，（分数：2.00）_(2).f(k)=0，1，0，1，0，（分数：2.00）_(3).f(k)=(k-k 0 )(k 0 0)（分数：2.00）_(4).f(k)=(k+k 0 )(k 0 0)（分数：2.00）_(5).f(k)=0.5 k (k-1)（分数：2.00）_(6).f(k)=-(-k-1)（分数：2.00）_求下列序列的 z 变换，并标注收敛区。（分数：6.00）(1).(k-3)(k-3)（分数：2.00）_(2).(k-3)(k)（分数：2.00）_(3).|k-3|
9、(k)（分数：2.00）_运用 z 变换的性质求下列序列的 z 变换。（分数：18.00）(1). （分数：3.00）_(2).f(k)=(k)-(k-8)（分数：3.00）_(3).f(k)=k(-1) k (k)（分数：3.00）_(4).f(k)=k(k-1)(k)（分数：3.00）_(5). （分数：3.00）_(6). （分数：3.00）_6.已知 f(k)=(a) k (k)，用卷积定理求 （分数：2.00）_7.用终值定理求序列 f(k)=b(1-e -akT )(k)的终值。 （分数：2.00）_8.若序列的 z 变换如下，求该序列的前三项。 (1) (2) (3) (4) （
10、分数：3.00）_用部分分式展开法及留数法求下列 F(z)对应的原右边序列。（分数：15.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_(5). （分数：2.50）_(6). （分数：2.50）_信号与线性系统-9 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：17，分数：100.00)求下列序列的卷积和。（分数：8.00）(1).(k)*(k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由卷积和的定义有 (2).0.5 k (k)*(k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由卷积
11、和的定义有 (3).2 k (k)*3 k (k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由卷积和的定义有 (4).k(k)*(k-1)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由卷积和的定义有 1.证明卷积和的移序特性，即若 e(k)*h(k)=y(k)，则 e(k-k 1 )*h(k-k 2 )=y(k-k 1 -k 2 ) （分数：2.00）_正确答案：()解析：证 由卷积和的定义得 令 j-k 1 =x，则 求下列差分方程所示系统的零状态响应。（分数：8.00）(1).y(k+1)+2y(k)=e(k+1)，e(k)=2 k (k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 先求
12、单位函数响应 h(k)，易知系统的转移算子 所以 h(k)=(-2) k (k) 再求零状态响应 y zs (k)，有 (2).y(k+1)+2y(k)=e(k)，e(k)=2 k (k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 先求单位函数响应 h(k)。系统的转移算子 将之变为 从而有 于是得 再求零状态响应 y zs (k)，有 (3).y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=e(k)，e(k)=3 k (k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 先求单位函数响应 h(k)。系统的转移算子 将之变为 从而有 于是得 再求零状态响应 y zs (k)，有 (4).y(k+2)+2
13、y(k+1)+2y(k)=e(k+1)+2e(k)，e(k)=(k-1)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 先求单位函数响应 h(k)。系统的转移算子 得 再求零状态响应 y zs (k)，有 2.一离散系统当激励 e(k)=(k)时的零状态响应为 2(1-0.5 k )(k)，求当激励为 e(k)=0.5 k (k)时的零状态响应。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由题意便可知系统的单位阶跃序列响应为 r (k)=2(1-0.5 k )(k) 由 r (k)与单位函数响应 h(k)的关系，有 h(k)=r (k)-r (k-1)=2(1-0.5 k )(k)-2(1-0.
14、5 k-1 )(k-1) =2(1-0.5k)(k-1)-2(1-0.5 k-1 )(k-1) =0.5 k-1 (k-1) 所以当激励为 e(k)=0.5 k (k)时，零状态响应 y zs (k)=0.5 k (k)*0.5 k-1 (k-1)=0.5 k (k)*0.5 k (k)*(k-1) =(k+1)0.5 k (k)*(k-1) =k0.5 k-1 (k-1)=k0.5 k-1 (k)一离散系统的差分方程及初始条件如下： y(k+2)+y(k+1)+y(k)=(k+1)，y zi (0)=1，y zi (1)=2 求：（分数：6.00）(1).零输入响应 y zi (k)，零状态
15、响应 y zs (k)及全响应 y(k)。（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 系统的转移算子 从而单位函数响应 且零输入响应 由初始条件有 解得 故 零状态响应 从而全响应 (2).比较 k=0.1 时全响应值与给定的初始条件值，说明二者不同的原因。（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 对于全响应， 当 k=0 时，y(0)=1=y zi (0) 当 k=1 时，y(1)=3y zi (1) 全响应包括零输入响应和零状态响应两部分，它在某一时刻的值一般情况下应该等于零输入响应在该时刻的值加上零状态响应在该时刻的值。对于此系统，输入为单位阶跃序列 (k)，它真正开始影响系统是在k=
16、1 时刻(由系统差分方程右边项可知)，所以在 k=0 时，零状态响应值为零，从而出现 y(0)=y zi (0)的现象，但有激励作用之后，全响应的值就与所给的初始条件值不等了，这反映在 k=1 时刻，y(1)y zi (1)。(3).绘出该系统的框图。（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 该系统的模拟框图如图所示。 一系统的系统方程及初始条件分别如下： y(k+2)-3y(k+1)+2y(k)=e(k+1)-2e(k) y zi (0)=y zi (1)=1，e(k)=(k) 求（分数：6.00）(1).零输入响应 y zi (k)，零状态响应 y zs (k)及全响应 y(k)。（分数
17、：2.00）_正确答案：()解析：解 运用移序算子，系统方程可写为 (S 2 -3S+2)y(k)=(S-2)e(k) 转移算子为 从而零输入响应为 y zi (k)=C 1 (1) k +C 2 (2) k (k) 由初始条件得 所以 y zi =1 k (k)=(k) 由 (2).判断该系统是否稳定。（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由(1)知系统的单位函数响应 h(k)=(k-1)，不满足绝对可和条件，即 (3).绘出系统框图。（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 系统框图如图所示。 3.有一球由 10m 高度自由落下，设每次弹起高度为前次的 3/4，求第 5 次及第 8
18、 次弹起的高度。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 设第 k 次球弹起的高度为 y(k)，则由题意有 且 y(0)=10m 即描述此问题的差分方程为 初始条件为 y(0)=10m 解方程不难得知 令 k 分别等于 5 和 8，得 4.用差分方程求 0k 的全部整数和 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 有 两式相减可得差分方程 y(k+1)-y(k)=k+1 由题意，k0，故可认为 e(k)=(k+1)(k)，且该差分方程的初始条件为零，所以所求 y(k)即为零状态响应分量。 由转移算子 知，其单位函数响应 h(k)=(k-1)，故 5.由 N 段阻值为 R 的均匀导线连
19、接成正多边形，顶点分别为 A 1 ，A 2 ，A N ，多边形中点 O 也以相同导线与各顶点连接。设 O 点电压为零，A 1 点外加电压为 1V，证明任意相邻两顶点 A k 与 A k-1 间的电流可用下式表示： 式中 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 设顶点 A k (k=1，2，N)的电位为 E k ，导线 OA k 的电阻为 r。 由图，对顶点 A k ，由 KCL，有 I (k) =I k +I (k+1) 又 代入式得 整理得 由图知， ，于是 ，故最终得差分方程 再回到需证明的结论上来，由双曲正弦、双曲余弦函数的积化和、差公式 2sinhAsinhB=cosh(A+B)
20、-cosh(A-B)，知 将其与 进行对比，可设想 于是 这里 ，即 将式、代入式的左边，得 左边 将式代入上式，同时考虑到 cosh(N-2k-4)+cosh(N-2k)=2cosh(N-2k-2)cosh2 从而有左边 说明式中的 E k 是方程的解，从而证明了任意相邻两顶点 A k 与 A k-1 间的电流为 银行向个人或企业的贷款采用逐月计息偿还的方式，从贷款下一个月起，每月还款数为 x(k)元，对于第k 个月所欠的贷款银行收取贷款月利率 并计入下个月的欠款总数中。设在第 k 个月时欠银行的贷款数额为 y(k)。（分数：4.00）(1).试列出关于欠款额 y(k)的差分方程（分数：2.
21、00）_正确答案：()解析：解 由题意，y(k)表示第 k 个月时欠银行的贷款数额，则 y(k-1)表示第(k-1)个月时欠银行的贷款数额，分析题意可知，y(k)包括以下两个部分： 第(k-1)个月的欠款 y(k-1)； 第(k-1)个月银行收取的贷款利息 y(k-1)。 但由于第 k 月有还款额 x(k)，故可建立以下关系式： y(k)=y(k-1)+y(k-1)-x(k) 整理可得关于欠款额 y(k)的差分方程为 y(k)-(1+)y(k-1)=-x(k)(2).还贷方式一般有下列五种 (1)到期一次还本付息法。借款人在贷款期内，不是按月偿还本息，而是贷款到期后一次性归还全部本金和利息。这
22、种方法一般适当于短期贷款。 (2)等额本息还款法。每月固定支付给银行固定数额，在指定的时间内还清。由于月还款额相同，简单又干脆，适用于在整个贷款期内家庭收入有稳定来源的贷户，如国家机关、科研、教学单位人员等。目前住房公积金贷款和多数银行的商业性个人住房贷款都采用了这种方式。 (3)等额本金还款法。就是借款人将贷款额平均分摊到整个还款期内每期(月)归还，同时付清上一次交易日至本次还款日间的贷款利息的一种还款方式。这种方式每月的偿还额逐渐减少，较适合于已经有一定的积蓄，但预期收入可能逐渐减少的借款人，如中老年职工家庭，其现有一定的积蓄，但今后随着退休临近收入将递减。 (4)等比累进还款法。就是将整
23、个还款期按一定的时间段划分，每个时间段较上一时间段多还约定的固定比例，而每个时间段内每月须以相同的偿还额归还贷款本息的一种还款方式。这种方式适合于一些目前收入不高、但是预计以后收入会有大幅度上升的人，例如刚刚开始工作或创业的年轻人。 (5)等额累进还款法。其与“等比累进还款法”类似，不同之处就是将在每个时间段上约定多还款的“固定比例”改为“固定额度”，以同样在每个时间段内每月以相同的偿还额归还贷款本息的一种还款方式。这种方法的优点与等比累进法相同，在国外的年轻人中十分通行后两种消费信贷还款方式。 假设某人从银行贷款 40 万元，20 年内偿还，月息 0.42%。试计算五种还款方式下的还款计划(
24、每月还款数目)公式。其中在等比累进还款法和等额累进还款法中，以五年为一个阶段，每个阶段还款数目比上一个阶段分别增加 50%(等比累进还款法)或 2000 元(等额累进还款法)。（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 求五种还款方式下的还款计划公式。 (1)到期一次还本付息法。 此法是中途不还款，相当于没有 x(k)，那么就是解齐次差分方程 y(k)-(1+)y(k-1)=0 由 y(0)=40 万元，=0.42%，可得 y(k)=40(1.0042) k 20 年即 240 个月，令 k=240，可计算得到 y(240)109.376 万元，即到第 240 个月时，需一次性还109.376
25、 万元，亦即还款计划为x(k)=109.376(k-240)(万元)(2)等额本息还款法。设每月还款数额为 m 元，考虑到第 1 个月才开始还款，故 x(k)=m(k-1)从而差分方程为y(k)-(1+)y(k-1)=-m(k-1)且有 y(0)=400000用逐次迭代的方法可得利用定义式求下列序列的 z 变换并标注收敛区。（分数：12.00）(1).f(k)=1，-1，1，-1，1，（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 f(k)起始于 k=0，于是由 z 变换的定义得 (2).f(k)=0，1，0，1，0，（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 f(k)起始于 k=0，于是由 z
26、变换定义得 (3).f(k)=(k-k 0 )(k 0 0)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 z 变换定义得 (4).f(k)=(k+k 0 )(k 0 0)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 z 变换定义得 (5).f(k)=0.5 k (k-1)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 z 变换定义得 收敛区： (6).f(k)=-(-k-1)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 z 变换定义得 求下列序列的 z 变换，并标注收敛区。（分数：6.00）(1).(k-3)(k-3)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (2).(k-3)(k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (3).|k-3|(k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 去绝对值，由 z 变换定义，得 因为 所以 故 运用 z 变换的性质求下列序列的 z 变换。（分数：18.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 z 变换线性性质得 (2).f(k)=(k)-(k-8)（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 z
