1、信号与线性系统-8 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：22，分数：100.00)绘出下列离散信号的图形。（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2).2(k)-(k)（分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4).k(2) -k (k)（分数：2.00）_绘出下列离散信号的图形。（分数：8.00）(1).k(k+4)-(k-4)（分数：2.00）_(2).1-(k-4)（分数：2.00）_(3).2 k (-k)-(3-k)（分数：2.00）_(4).(k 2 +k+1)(k+1)-2(k)（分数：2.00）_1.写出图所示序列的函数
2、表达式。 （分数：2.00）_用归纳法写出下列右边序列的闭式。（分数：8.00）(1).1，-1，1，-1，（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).-2，-1，2，7，14，23，（分数：2.00）_(4).3 2 +8，5 2 +11，7 2 +14，9 2 +17，（分数：2.00）_2.判断下列信号是否是周期性信号，如果是则其周期为多少? (1)sin(k) (2)e j0.4k (3)sin(0.2k)+cos(0.3k) (4)cos(0.512k) (5)sgn(-0.23) k (6)sin(k)(k) （分数：2.00）_3.一个有限长连续时间信号，时间长度为
3、 2min，频谱包含有直流至 100Hz 分量的连续时间信号。为便于计算机处理，对其抽样以构成离散信号，求最小的理想取样点数。 （分数：2.00）_4.设一连续时间信号，其频谱包含有直流、1kHz、2kHz、3kHz 四个频率分量，幅度分别为0.5、1、0.5、0.25；相位谱为 0，试以 10kHz 的抽样频率对该信号抽样，画出抽样后所得离散序列在025kHz 频率范围内的频谱。 （分数：2.00）_5.对信号 ，以抽样时间间隔分别为 及 （分数：2.00）_6.有人每年年初在银行存款一次，银行利息为 ，每年年底所得利息亦转存下一年，试用差分方程表示第 k 年年初的存款额。 （分数：2.00
4、）_7.下图表示一离散信号 e(kT)经 D/A 转换为一阶梯形模拟信号激励的 RC 电路图。已知电路参数为 C=1F，R 1 =R 2 =1，试写出描述 y(kT)与 e(kT)间关系的差分方程，这里 y(kT)为 y(t)在离散时间 kT 处的值组成的序列。 （分数：2.00）_8.连续时间系统中，常用有限时间积分器求取信号的平均值，即 试证明可以将上述积分方程转换为下列差分方程来近似求解。 （分数：2.00）_9.一初始状态不为零的离散系统。当激励为 e(k)时全响应为 当激励为-e(k)时全响应为 （分数：2.00）_10.试列出图所示系统的差分方程。 （分数：2.00）_(1).试绘
5、出下列离散系统的直接型模拟框图。 (1) （分数：2.00）_(2).画出下列差分方程所示系统的直接型模拟框图。 (1)y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=e(k)+3e(k-1) (2)y(k+2)+2y(k+1)+y(k)=2e(k+1)+4e(k)（分数：2.00）_求下列齐次差分方程所示系统的零输入响应。（分数：12.00）(1).y(k+1)+2y(k)=0，y(0)=1（分数：2.00）_(2).y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，y(0)=2，y(1)=1（分数：2.00）_(3).y(k+2)+9y(k)=0，y(0)=4，y(1)=0（分数：2.00）_(4)
6、.y(k+2)+2y(k+1)+2y(k)=0，y(0)=0y(1)=1（分数：2.00）_(5).y(k+2)+2y(k+1)+y(k)=0，y(0)=1，y(1)=0（分数：2.00）_(6). （分数：2.00）_11.求下列齐次差分方程所示系统的零输入响应。 (1) （分数：2.00）_求下列差分方程所示系统的单位函数响应。（分数：21.00）(1).y(k+2)-0.6y(k+1)-0.16y(k)=e(k)（分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3).y(k+2)-y(k+1)+0.25y(k)=e(k)（分数：3.00）_(4).y(k+2)+y(k)=e(k)（分数
7、：3.00）_(5).y(k+2)-y(k)=e(k)（分数：3.00）_(6).y(k+2)-y(k)=e(k+1)-e(k)（分数：3.00）_(7).y(k+2)+2y(k+1)+2y(k)=e(k+1)+2e(k)（分数：3.00）_12.求图所示系统的单位函数响应。 （分数：2.00）_13.证明单位阶跃序列响应 r (k)与单位函数响应 h(k)存在如下关系。 (1) （分数：3.00）_14.求图所示系统的单位函数响应与单位阶跃序列响应。 （分数：3.00）_15.用图解法求图(a)、(b)、(c)所示各时间序列的卷积和的图形，并归纳卷积和的表达式中上下限选定的原则。 （分数：3
8、.00）_16.用卷积图解法求题的所示系统在 e(k)=k(k)时零状态响应序列的前七项。 (1)y(k+2)+y(k)=e(k) (2)y(k+2)-y(k)=e(k) (3)y(k+2)-y(k)=e(k+1)-e(k) （分数：6.00）_信号与线性系统-8 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：22，分数：100.00)绘出下列离散信号的图形。（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 是一个公比为 的等比序列，且该序列起始于 k=0。 其图形如图(a)所示。 (2).2(k)-(k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：
9、解 此序列也是起始于 k=0 的，其图形如图(b)所示。 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 此序列可看做是对连续时间信号(1+sin(2t)(t)以每周期取 16 个样本点而得到的，故其图形如图(c)所示。 (4).k(2) -k (k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 此序列起始于 k=1，其图形如图(d)所示。 绘出下列离散信号的图形。（分数：8.00）(1).k(k+4)-(k-4)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因 故此信号的图形如图(a)所示。 (2).1-(k-4)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因 故此信号的图形如图(b)所示
10、。 (3).2 k (-k)-(3-k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因 故此信号的图形如图(c)所示。 (4).(k 2 +k+1)(k+1)-2(k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因 故此信号的图形如图(d)所示。 1.写出图所示序列的函数表达式。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (a)由图(a)可知该序列在 0k4 时值为 2，故可利用单位阶跃序列表示为 f(k)=2(k)-(k-5) (b)由图(b)可知该序列是一个以 为首项，以 为公差的等差右边序列，故其函数表达式为 用归纳法写出下列右边序列的闭式。（分数：8.00）(1).1，-1，1，-1
11、，（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由于该序列中 1 与-1 交替出现，满足(-1) k ，故该序列的闭式为 y(k)=(-1) k (k)(2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由于该序列满足 ，故该序列的闭式为 (3).-2，-1，2，7，14，23，（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由于该序列满足 k 2 -2，故该序列的闭式为 y(k)=(k 2 -2)(k)(4).3 2 +8，5 2 +11，7 2 +14，9 2 +17，（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由于该序列满足(3+2k) 2 +3(3+k)-1，故该序列的闭式为 y(k)=(
12、4k 2 +15k+17)(k)2.判断下列信号是否是周期性信号，如果是则其周期为多少? (1)sin(k) (2)e j0.4k (3)sin(0.2k)+cos(0.3k) (4)cos(0.512k) (5)sgn(-0.23) k (6)sin(k)(k) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 根据周期信号的定义，对于离散信号 f(k)，若存在某个正整数 N，使 f(k+N)=f(k)，则 f(k)是以 N 为周期的。 (1)要使 sin(k+N)=sink，不难知 N=2n(n 为整数) 但 2n 不是整数，所以 sink 不是周期信号。 (2)e j0.4k =cos(0.4
13、k)+jsin(0.4k) 要使 cos0.4(k+N)=cos(0.4k) 需 0.4N=2n(n 为整数) 即 N=5n 可见存在正整数，使 cos0.4(k+N)=cos(0.4k) 所以 cos(0.4k)是周期的，且最小周期 N=5。 同理可知 sin(0.4k)也是以 5 为周期的序列，从而 e j0.4k 是周期的，且周期为 5。 (3)对于 sin(0.2k)，由 sin0.2(k+N 1 )=sin(0.2k)可求得 N 1 =10n。当 n=1 时，N 1 =10，即sin(0.2k)是周期为 10 的序列。 对于 cos(0.3k)，由 cos0.3(k+N 2 )=co
14、s(0.3k)可求得 。当 n=3 时，N 2 =20，即cos(0.3k)是周期为 20 的序列。 所以对于 sin(0.2k)+cos(0.3k)，其周期为 N 1 和 N 2 的最小公倍数，亦即 20。 (4)由 cos0.512(k+N)=cos(0.512k)可得 取 n=32 可得 N=125，即 cos(0.512k)是周期为 125 的周期序列。 (5)因为 3.一个有限长连续时间信号，时间长度为 2min，频谱包含有直流至 100Hz 分量的连续时间信号。为便于计算机处理，对其抽样以构成离散信号，求最小的理想取样点数。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 对于此连续信
15、号，其最大频率 f max =100Hz，由香农抽样定理知，最小抽样频率 f smin =2f max =200Hz 即最大抽样时间间隔 所以在长度为 2min 的时间里，可得到 4.设一连续时间信号，其频谱包含有直流、1kHz、2kHz、3kHz 四个频率分量，幅度分别为0.5、1、0.5、0.25；相位谱为 0，试以 10kHz 的抽样频率对该信号抽样，画出抽样后所得离散序列在025kHz 频率范围内的频谱。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 理解抽样信号与原信号的频谱之间有如下关系： 或 即，抽样后的频谱为原序列频谱以抽样频率为周期进行周期延拓得到的。故在 025kHz 范围内
16、共有三个周期。其频谱如图所示。 5.对信号 ，以抽样时间间隔分别为 及 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 原信号 f(t)的频谱 F(j)为 由于 根据对称性，且令 =2B s ，可得 对于理想抽样，抽样信号的频谱 当抽样时间间隔 时， s =4B s ，正好是 f(t)的最大角频率的两倍，根据香农抽样定理知，频谱不会出现混叠；但当抽样时间间隔 时， s =2B s ，小于 f(t)的奈奎斯特抽样角频率，所以频谱会出现混叠。 图(a)、(b)、(c)给出 f(t)的频谱图以及以 和 进行理想抽样之后的频谱图。可见，频谱发生混叠之后，我们已无法再辨认出原信号的频谱了。 6.有人每年年初
17、在银行存款一次，银行利息为 ，每年年底所得利息亦转存下一年，试用差分方程表示第 k 年年初的存款额。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 第 k 年年初的存款额包括以下三个部分： 上一年即第(k-1)年年初的存款额 y(k-1)； 第(k-1)年年底所得利息 y(k-1)； 第 k 年年初的存款 e(k)。 故有 y(k)=y(k-1)+y(k-1)+e(k) 整理得 y(k)-(1+)y(k-1)=e(k) 或 y(k+1)-(1+)y(k)=e(k+1)7.下图表示一离散信号 e(kT)经 D/A 转换为一阶梯形模拟信号激励的 RC 电路图。已知电路参数为 C=1F，R 1 =R
18、2 =1，试写出描述 y(kT)与 e(kT)间关系的差分方程，这里 y(kT)为 y(t)在离散时间 kT 处的值组成的序列。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 RC 电路的转移函数为 式中， 为电路的时间常数。代入 C=1F，R 1 =R 2 =1，可得 从而 h(t)=e -2t (t) 且 RC 电路的零输入响应 y zi (t)=Ae -2t (A 为系数) 考虑时间段 kTt(k+1)T，D/A 转换器的输出为 e(t)，且 e(t)=e(kT) 当 t=kT 时，有 y zi (kT)=Ae -2kT 从而得 A=y zi (kT)e 2Tk 那么在时间段 kTt(k+
19、1)T，有 y zi (t)=y zi (kT)e -2(t-kT) 另一方面，在 kTt(k+1)T 内，e(t)产生的零状态响应 由此可见，y zs (kT)=0，即 y(kT)=y zi (kT) 这样零输入响应 y zi (t)=y(kT)e -2(t-kT) ，kTt(k+1)T 于是在 kTt(k+1)T 内，在 e(t)=e(kT)的激励下，系统的全响应 取 t=(k+1)T，可得差分方程为 整理得 8.连续时间系统中，常用有限时间积分器求取信号的平均值，即 试证明可以将上述积分方程转换为下列差分方程来近似求解。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 =NT，可得 如
20、果时间段 T 足够小，可认为在 T 内，x(t)保持区间左端点的值不变，则 y(t)可近似为黎曼和，即 当 t=kT 时，即可得 y(kT)，通常记为 y(k)。所以有 9.一初始状态不为零的离散系统。当激励为 e(k)时全响应为 当激励为-e(k)时全响应为 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 设初始状态不变，当激励为 e(k)时，系统的零输入响应为 y zi (k)，零状态响应为 y zs (k)。依题意 根据线性非时变系统的性质，当激励为-e(k)时，全响应为 联立式、式，可解得 故当初始状态增加一倍且激励为 4e(k)时， 10.试列出图所示系统的差分方程。 （分数：2.00）
21、_正确答案：()解析：解 (a)由图(a)可得 (1).试绘出下列离散系统的直接型模拟框图。 (1) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (1)引入辅助函数 q(k)，使 可知 y(k)=-q(k+1)+2q(k) 先画出方程的直接型模拟框图，如图(a)所示，再在此基础上实现方程，便得到此离散系统的直接型模拟框图，如图(b)所示。 (2)采用(1)中方法(这里不再赘述)，可得系统的直接型模拟框图，如图(c)所示。 (3)先将差分方程变形为 y(k+3)=-3y(k+2)-2y(k-1)+e(k) 然后根据上式体现的加法器的输入、输出关系，画出系统的直接型模拟框图，如图(d)所示。 (4
22、)直接由所给差分方程画出如图(e)所示的直接型模拟框图。 (2).画出下列差分方程所示系统的直接型模拟框图。 (1)y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=e(k)+3e(k-1) (2)y(k+2)+2y(k+1)+y(k)=2e(k+1)+4e(k)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (1)先将差分方程变成前向差分方程，则有 y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=e(k+2)+3e(k+1) 然后采用题上题(1)中方法，得直接型模拟框图，如图(a)所示。 (2)该差分方程所表示的系统的直接型模拟框图如图(b)所示。 求下列齐次差分方程所示系统的零输入响应。（分数：12.00）
23、(1).y(k+1)+2y(k)=0，y(0)=1（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 运用移序算子，原方程可写为 Sy(k)+2y(k)=0，即(S+2)y(k)=0 由特征方程 S+2=0，解得 S=-2，故 y zi (k)=C(-2) k (k) 由初始条件得 y(0)=C=1，所以 y zi (k)=(-2) k (k)(2).y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，y(0)=2，y(1)=1（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 运用移序算子，原方程可写为 (S 2 +3S+2)y(k)=0 由特征方程 S 2 +3S+2=0，解得 S 1 =-2，S 2 =-1，
24、所以 y zi (k)=C 1 (-2) k +C 2 (-1) k (k) 由初始条件 解得 (3).y(k+2)+9y(k)=0，y(0)=4，y(1)=0（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 运用移序算子，原方程可写为 (S 2 +9)y(k)=0 由特征方程 S 2 +9=0，解得 S 1 =3j，S 2 =-3j，所以 y zi (k)=C 1 (3j) k +C 2 (-3j) k (k) 由初始条件 解得 所以 (4).y(k+2)+2y(k+1)+2y(k)=0，y(0)=0y(1)=1（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 运用移序算子，原方程可写为 (S 2 +2
25、S+2)y(k)=0 由特征方程 S 2 +2S+2=0，解得 S 1 =-1+j，S 2 =-1-j，故 y zi (k)=C 1 (-1-j) k +C 2 (-1+j) k (k) 由初始条件 解得 所以 (5).y(k+2)+2y(k+1)+y(k)=0，y(0)=1，y(1)=0（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 运用移序算子，原方程可写为 (S 2 +2S+1)y(k)=0 由特征方程 S 2 +2S+1=0，解得 S 1 =S 2 =-1(二重根)，所以 y zi (k)=C 1 (-1) k +C 2 k(-1) k (k) 由初始条件 解得 (6). （分数：2.00
26、）_正确答案：()解析：解 先将原差分方程改写为 然后运用移序算子，以上方程可写为 由特征方程 ，解得 ，故 由初始条件 解得 所以 11.求下列齐次差分方程所示系统的零输入响应。 (1) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 此题所给差分方程均为后向差分方程。求解时可先改写为前向差分方程。 (1)由系统的差分方程可知特征方程为 S+1/3=0 解得特征根为 S=-1/3 所以 令原差分方程中 k=0，并将初始值 y(-1)=1 代入，可求得 再利用 y(0)确定 y zi (k)中的系数，有 ，所以 (2)由系统的差分方程可知特征方程为 S 2 +3S+2=0 解得特征根为 S 1 =
27、-2，S 2 =-1 所以 y zi (k)=C 1 (-2) k +C 2 (-1) k (k) 利用原差分方程及所给初始值可迭代出 y(0)和 y(1)的值为 y(0)=-2，y(1)=6 再利用这两个初始条件，有 ，得 所以 y zi (k)=2(-1) k -4(-2) k (k) (3)由系统差分方程可知特征方程为 S 2 +2S+1=0 解得特征根为 S 1 =S 2 =-1(二重根) 所以 y zi (k)=C 1 (-1) k +C 2 k(-1) k (k) 利用原差分方程及所给初始值求出 y(1)=-3 再由初始条件，有 ，得 所以 y zi (k)=(-1) k +2k(-1) k (k)=(2k+1)(-1) k (k) (4)由系统差分方程可知特征方程为 S 3 -7S 2 +16S-12=0，即(S-3)(S-2) 2 =0 解得特征根为 S 1 =3，S 2 =S 3 =2 所以 y zi (k)=C 1
