1、信号与线性系统-7 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：22，分数：100.00)1.求图中电路的系统函数。 （分数：2.00）_2.求图中电路的系统函数，并绘其零极点分布图。 （分数：2.00）_3.求图电路的电压传输函数。如果要求响应中不出现强迫响应分量，激励函数应有怎样的模式? （分数：2.00）_4.已知系统函数极零图如图所示，且有|H(j2)|7.7，(2)，求 H(j4)的值。 （分数：2.00）_5.求图电路的系统函数，并粗略绘其频响曲线。 （分数：2.00）_6.用矢量图解法绘出图(a)电路输入导纳的频响，如电路中 R 改为无穷大，则频响曲
2、线又如何? （分数：3.00）_7.系统的极零图如图所示，如 H 0 =1，用矢量作图法粗略绘出该系统的幅频响应曲线。 （分数：3.00）_设系统函数如下，试用矢量作图法绘出粗略的幅频响应曲线与相频响应曲线。（分数：12.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4). （分数：3.00）_8.已知系统函数的极点为 p 1 =0，p 2 =-1，零点为 z 1 =1，如该系统冲激响应的终值为-10，试求此系统函数。 （分数：3.00）_9.图(a)电路的输入阻抗的零极点分布如图(b)所示，且有 z(j)| =0 =l。求电路参数 R，L，
3、C。 （分数：3.00）_10.作出图中两个电路电压传输函数的波特图。 （分数：3.00）_11.系统函数的极零图如图所示，且其幅频特性的最大值为 1。画出系统函数的波特图。 （分数：3.00）_12.有源滤波器如图所示，设电路元件参数为 R 1 =R 2 =1，C 1 =C 2 =1F。运算放大器设为理想的，试作出 K 分别为 0.5、1、1.4 三种情况下电压传输函数的波特图。 （分数：3.00）_系统特征方程如下，试判断该系统是否稳定。并确定具有正实部的特征根及负实部的特征根的个数。（分数：18.00）(1).s 4 +7s 3 +17s 2 +17s+6=0（分数：3.00）_(2).
4、s 4 +5s 3 +2s+10=0（分数：3.00）_(3).s 4 +2s 3 +7s 2 +10s+10=0（分数：3.00）_(4).4s 5 +6s 4 +2s 3 +4s 2 +11s+10=0（分数：3.00）_(5).s 5 +2s 4 +2s 3 +4s 2 +11s+10=0（分数：3.00）_(6).s 6 +7s 5 +16s 4 +14s 3 +25s 2 +7s+12=0（分数：3.00）_系统的特征方程如下，求系统稳定的 K 值范围。（分数：9.00）(1).s 3 +s 2 +4s+K=0（分数：3.00）_(2).s 3 +5s 2 +(K+8)s+10=0（
5、分数：3.00）_(3).s 4 +9s 3 +20s 2 +Ks+K=0（分数：3.00）_13.图所示的有源反馈网络，已知元件参数为 R 1 =R 2 =1，C 1 =C 2 =1F，L=1H，求保证该网络稳定工作的 K 值范围。 （分数：3.00）_14.图(a)为一反馈系统框图，(b)为其在 K0 时作出的 0 部分的开环转移函数的复轨迹。如 K 可取负值，试用奈奎斯特判据确定系统稳定的 K 值范围，并通过罗斯-霍维茨判据校核。 （分数：3.00）_15.一反馈系统如图(a)所示，作出奈奎斯特图，并确定 K0 时系统稳定的 K 值范围，并通过罗斯-霍维茨判据校核。 （分数：3.00）_
6、已知反馈系统开环传输函数如下，试作其奈奎斯特图。（分数：12.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4). （分数：3.00）_16.一反馈系统如图所示，试判断系统稳定的 K 值范围。 （分数：3.00）_17.如在下图图上反馈支路中加入一个转移函数为 H(s)=2s+1 的反馈网络，试分析系统稳定性改善的情况。（分数：3.00）_18.一反馈系统如图(a)所示，试用罗斯-霍维茨判据和奈奎斯特判据两种方法确定系统稳定的 K 值范围。 （分数：3.00）_信号与线性系统-7 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题
7、(总题数：22，分数：100.00)1.求图中电路的系统函数。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (a)由图(a)所示电路图可得系统的转移导纳函数 即 (b)由图(b)所示电路图可得系统的输入阻抗函数 即 2.求图中电路的系统函数，并绘其零极点分布图。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (a)设图(a)所示电路中流过电阻 R 1 的电流为 i(t)，方向自上而下，则有 代入参数后取拉普拉斯变换，得 即 故系统函数为 由 s+60=0 得系统零点 z 1 =-60，由 s 2 +130s+2200=(s+20)(s+110)=0 得系统极点 p 1 =-20，p 2 =-11
8、0，由此得零极点分布图如图(a 1 )所示。 (b)设图(b)所示电路中流过电阻 R 的电流为 i(t)，方向自上而下，则有 代入参数后取拉普拉斯变换，得 解得 故系统函数为 可见该系统只有一个二阶极点 p 1，2 =-1，并且没有零点，其零极点分布图如图(b 1 )所示。 (c)设图(c)所示电路中电容与电阻并联支路两端的电压为 u(t)，极性上正下负，则有 取拉普拉斯变换，得 解得 故系统函数为 可见该系统只有一个单阶极点 p 1 =-2510 5 ，并且没有零点，其零极点分布图如图(c 1 )所示。 (d)设图(d)所示电路中两个理想变压器的变比为 1，则三个回路中的电流都相同，均用 i
9、 0 (t)表示；同时两个变压器各自的初级电压分别与各自的次级电压相等，且分别用 u 1 (t)和 u 2 (t)表示两个变压器的初级电压，则有 解得 故系统函数为 可见该系统有一个零点 z 1 =0 和一个极点 ，其零极点分布图如图(d 1 )所示。 3.求图电路的电压传输函数。如果要求响应中不出现强迫响应分量，激励函数应有怎样的模式? （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由图电路可得系统的电压传输函数 由 R(s)=E(s)H(s)可知，若要求响应中不出现强迫响应分量，即要求传输函数的分子 能约掉激励的分母部分，则激励函数应为 即 4.已知系统函数极零图如图所示，且有|H(j2)|
10、7.7，(2)，求 H(j4)的值。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由极零图可写出系统函数表达式 又 H(j)=H(s)| s=j ，则 =2 时 因为 (2)，所以 H 0 0。由|H(j2)|=7.7 解得 H 0 =82.8，所以 5.求图电路的系统函数，并粗略绘其频响曲线。 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (a)由图(a)所示电路可得电压传输函数 令 s=j，得 ()=90-arctan(R 1 C) 当 =0 时， |H(j)|=0，()=90 当 时， 当 =时， |H(j)|=1，()=0 其频响曲线绘制如图(a 1 )所示。 (b)由图(b)所示电路可
11、得电压传输函数 令 s=j，得 ()=-arctan(L/R 2 ) 当 =0 时，|H(j)|=1，()=0 当 时， 当 =时，|H(j)|=0，()=-90 其频响曲线绘制如图(b 1 )所示。 6.用矢量图解法绘出图(a)电路输入导纳的频响，如电路中 R 改为无穷大，则频响曲线又如何? （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (1)在题中已在题中已解得图(a)电路输入导纳为 由系统函数画得极零图，并作矢量图如图(a)所示。 由矢量图解法可得 所得频响曲线如图(b)所示。 (2)当 R 改为无穷大时，R 可视为开路，则电路变为 L 与 C 串联，此时，系统函数为 由系统函数画得极零图
12、，并作矢量图如图(c)所示。 由矢量图解法可得 所得频响曲线如图(d)所示。 7.系统的极零图如图所示，如 H 0 =1，用矢量作图法粗略绘出该系统的幅频响应曲线。 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (a)由极零图可得系统函数 令 s=j，得 由极零图作矢量图如图(a 1 )所示。由矢量图得 当 =0 时， ；当 时，|H(j)|；当 =时，|H(j)|=0。 由此可画出幅频响应曲线如图(a 2 )所示。 (b)由极零图可得系统函数 令 s=j，得 由极零图作矢量图如图(b 1 )所示。由矢量图得 当 =0 时，|H(j)|=0；当 时，|H(j)|；当 =时，|H(j)|=1。由此
13、可画出幅频响应曲线如图(b 2 )所示。 (c)由极零图可得系统函数 令 s=j，得 由极零图作矢量图如图(c 1 )所示。由矢量图得 当 =0 时，|H(j)|=；当 时，|H(j)|；当 =时，|H(j)|=1。由此可画出幅频响应曲线如图(c 2 )所示。 (d)由极零图可得系统函数 令 s=j，得 由极零图作矢量图如图(d 1 )所示。由矢量图得 |H(j)|=1 由此可画出幅频响应曲线如图(d 2 )所示。 设系统函数如下，试用矢量作图法绘出粗略的幅频响应曲线与相频响应曲线。（分数：12.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由系统函数可知系统没有零点，只有一个极
14、点 p 1 =0。令 s=j，得 作极零图及矢量图如图(a 1 )所示。由矢量图得 当 =0 时，|H(j)|=，()=-90 当 时，|H(j)|，()=-90 当 =时，|H(j)|=0，()=-90 由此可画出幅频响应曲线与相频响应曲线如图(a 2 )所示。 (2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由系统函数可知系统有一对共轭零点 z 1，2 =j，一对共轭极点 p 1，2 =-1j2。令 s=j，得 作极零图及矢量图如图(b 1 )所示。由矢量图得 当 =0 时， 当 =1 时，|H(j)|=0，()=63.4 当 时， 当 时， 当 =2 时， 当 =时，|H(j)|=
15、1，()=0 由此可画出幅频响应曲线与相频响应曲线如图(b 2 )所示。 (3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由系统函数可知系统有一对共轭零点 z 1，2 =j1.01，一对共轭极点 p 1，2 =j1.1。令s=j，得 作极零图及矢量图如图(c 1 )所示。 由矢量图得 当 =0 时，|H(j)|=0.84，()=0 当 =1.01 时，|H(j)|=0，()=0 当 =1.05 时，|H(j)|=0.77，()=180 当 =时，|H(j)|=1，()=0 由此可画出幅频响应曲线与相频响应曲线如图(c 2 )所示。 (4). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由
16、系统函数可知系统有两个零点 z 1 =1，z 2 =2，有两个极点 p 1 =-1，p 2 =-2。令 s=j，得 作极零图及矢量图如图(d 1 )所示。由矢量图得 ()= 1 + 2 -( 1 + 2 ) 当 =0 时，()=0 当 =1 时，()=-143 当 =2 时，()=-143.1 当 =时，()=0 由此可画出幅频响应曲线与相频响应曲线如图(d 2 )所示。 8.已知系统函数的极点为 p 1 =0，p 2 =-1，零点为 z 1 =1，如该系统冲激响应的终值为-10，试求此系统函数。 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 依题意可写出系统函数 由于 h()=-10，据终值定
17、理，有 所以 H 0 =10 故系统函数 9.图(a)电路的输入阻抗的零极点分布如图(b)所示，且有 z(j)| =0 =l。求电路参数 R，L，C。 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由图(a)电路可得输入阻抗 又由图(b)所示零极图可写出系统函数 令 s=j，得 因为 所以 于是 解得 10.作出图中两个电路电压传输函数的波特图。 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (a)由图(a)所示电路可得电压传输函数 令 s=j，得 则对数增益 G()=20lg|H(j)|(dB) G()=20lg(R 1 C)+20lg-10lg1+(R 1 C) 2 ()=90=arctan(
18、R 1 C) 由于零点在原点处，所以增益频率特性 G 1 ()=20lg，它是过 lg=0 处斜率为 6dB 的直线。令 G 2 ()=10lg1+(R 1 C) 2 当 R 1 C1 时，G 2 ()=0，()=90 当 R 1 C1 时，G 2 ()=20lg+20lg(R 1 C)，()=0 为折断频率处 G( 1 )=-10lg2=-3dB，( 1 )=45 由此作出波特图如图(a)所示。 (b)由图(b)所示电路可得电压传输函数 令 s=j，得 则对数增益 当 时，G()0，()=0 当 时， 为折断频率处 G( 1 )=-10lg2=-3dB，( 1 )=-45 由此作出波特图如图
19、(b)所示。 11.系统函数的极零图如图所示，且其幅频特性的最大值为 1。画出系统函数的波特图。 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (a)解 (a)由极零图可写出系统函数 令 s=j，得 当 =0 时，幅频特性的值最大，即 故 则对数增益 G()=20lg|H(j)|(dB) G()=20lg5-10lg(5- 2 ) 2 +4 2 ()=-arctan2/(5- 2 ) 波特图如图(a 1 )所示。 (b)由极零图可写出系统函数 令 s=j，得 当 时，幅频特性的值最大，即 故 则对数增益 G()=20lg|H(j)|(dB) G()=20lg(2)-10lg(5- 2 ) 2 +
20、4 2 ()=90-arctan2/(5- 2 ) 波特图如图(b 1 )所示。 (c)由极零图可写出系统函数 令 s=j，得 当 =2.89 时，幅频特性的值最大，即 故 则对数增益 波特图如图(c 1 )所示。 12.有源滤波器如图所示，设电路元件参数为 R 1 =R 2 =1，C 1 =C 2 =1F。运算放大器设为理想的，试作出 K 分别为 0.5、1、1.4 三种情况下电压传输函数的波特图。 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (a)令 A，B 点电位分别为 u A ，u B ，则有节点电压方程 代入数值化简得 当 K=0.5 时 令 s=j，得 则对数增益 波特图如图(a
21、1 )所示。 当 K=1 时 令 s=j，得 则对数增益 G()=20lg|H(j)|(dB) G()=40lg-10lg(1- 2 ) 2 +4 2 ()=180-arctan2/(1- 2 ) 波特图如图(a 2 )所示。 当 K=1.4 时 令 s=j，得 则对数增益 G()=20lg|H(j)|(dB) G()=20lg(1.4 2 )-10lg(1- 2 ) 2 +2.56 2 ()=180-arctan1.6(1-( 2 ) 波特图如图(a 3 )所示。 (b)令 A，B 点电位分别为 u A ，u B ，则有节点电压方程 代入数值化简得 当 K=0.5 时 令 s=j，得 则对数
22、增益 G()=20lg|H(j)|(dB) G()=-20lg2-10lg(1- 2 ) 2 +6.25 2 ()=-arctan2.5/(1- 2 ) 波特图如图(b 1 )所示。 当 K=1 时 令 s=j，得 则对数增益 G()=20lg|H(j)|(dB) G()=-10lg(1- 2 ) 2 +4 2 ()=-arctan2/(1- 2 ) 波特图如图(b 2 )所示。 当 K=1.4 时 令 s=j，得 则对数增益 G()=20lg|H(j)|(dB) G()=20lg1.4-10lg(1- 2 ) 2 +2.56 2 ()=-arctan1.6/(1- 2 ) 波特图如图(b 3
23、 )所示。 系统特征方程如下，试判断该系统是否稳定。并确定具有正实部的特征根及负实部的特征根的个数。（分数：18.00）(1).s 4 +7s 3 +17s 2 +17s+6=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 s 4 +7s 3 +17s 2 +17s+6=0 R-H 阵列： (2).s 4 +5s 3 +2s+10=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 s 4 +5 3 +2s+10=0 R-H 阵列： 由于 R-H 数列有两次改变符号，即从 5 变到 ，又从 (3).s 4 +2s 3 +7s 2 +10s+10=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 s 4 +
24、2s 3 +7s 2 +10s+10=0 R-H 阵列： 第四行元素本应全为零，为此用第三行元素构成辅助多项式 P(s)=2s 2 +10，并以 的系数作为第四行元素排完阵列。 由于 R-H 数列没有符号变化，说明该系统在 s 右半平面没有极点。但 R-H 阵列出现全零行，说明该系统在虚轴上有极点。由于辅助多项式实为系统特征多项式的一个因式，因此，可令 P(s)=2s 2 +10=0，其根 (4).4s 5 +6s 4 +2s 3 +4s 2 +11s+10=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 4s 5 +6s 4 +2s 3 +4s 2 +11s+10=0 R-H 阵列： 由于 R
25、-H 数列有两次改变符号，即从 6 变到 ，又从 (5).s 5 +2s 4 +2s 3 +4s 2 +11s+10=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 s 5 +2s 4 +2s 3 +4s 2 +11s+10=0 R-H 阵列： 由于第三行出现首列元素为零，为此需用无穷小量 代替零，才能排完阵列。由 R-H 数列可见，当0 + 时， ，此时，R-H 数列有两次改变符号；当 0 - 时， (6).s 6 +7s 5 +16s 4 +14s 3 +25s 2 +7s+12=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 s 6 +7s 5 +16s 4 +14s 3 +25s 2 +7
26、s+12=0 R-H 数列： 由于 R-H 数列有两次改变符号，即从 17 变到 ，又从 系统的特征方程如下，求系统稳定的 K 值范围。（分数：9.00）(1).s 3 +s 2 +4s+K=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 s 3 +s 2 +4s+K=0 R-H 阵列： 据罗斯-霍维茨判据可知，要使系统稳定，须有 (2).s 3 +5s 2 +(K+8)s+10=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 s 3 +5s 2 +(K+8)s+10=0 R-H 阵列： 据罗斯-霍维茨判据可知，要使系统稳定，须有 (3).s 4 +9s 3 +20s 2 +Ks+K=0（分数：3
27、.00）_正确答案：()解析：解 s 4 +9s 3 +20s 2 +Ks+K=0 R-H 阵列： 据罗斯-霍维茨判据可知，要使系统稳定，须有 13.图所示的有源反馈网络，已知元件参数为 R 1 =R 2 =1，C 1 =C 2 =1F，L=1H，求保证该网络稳定工作的 K 值范围。 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设电容 C 1 两端的电压为 u(t)，极性为上正下负，则有 s 域的节点电压方程 代入参数后整理得 消去 U s (s)，得 即 解得 则系统函数 系统特征方程为 s 3 +4s 2 +(1-K)s+2=0 R-H 阵列： 据罗斯-霍维茨判据可知，要使系统稳定，须有
28、故当 14.图(a)为一反馈系统框图，(b)为其在 K0 时作出的 0 部分的开环转移函数的复轨迹。如 K 可取负值，试用奈奎斯特判据确定系统稳定的 K 值范围，并通过罗斯-霍维茨判据校核。 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 反馈系统的闭环转移函数 当 s 在 s 平面中沿 j 轴从-j变到 j时，按照 F(j)=1+G(j)H(j)，可在 F(j)平面中作出相应的复轨迹，此轨迹是 s 平面中 j 轴映射到 F(j)平面的曲线，称之为奈奎斯特图。 奈奎斯特判据：若 F(s)=1+G(s)H(s)在右半 s 平面有 n：个零点和 n p 个极点，则当 由-变到时，在 G(j)H(j)平
29、面中的奈奎斯特图按顺时针方向围绕-1+j0 点 n z -n p 次；若 n z n p ，则按逆时针方向围绕-1+j0 点 n p -n z 次。 为判断系统是否稳定，需考察系统函数分母多项式 F(s)=1+G(s)H(s)在右半 s 平面是否有零点，利用上述奈奎斯特图的方法，还需了解 F(s)在右半 s 平面的极点情况，事情比较麻烦。然而在一般情况下，系统未接入反馈时，此即开环特性是稳定的，这时 G(s)H(s)没有极点在右半 s 平面，随之，F(s)也没有极点在右半 s 平面，即 n p =0，于是可得出在开环特性稳定条件下的奈奎斯特判据： 当 由-变到时，在 G(j)H(j)平面中的奈
30、奎斯特图按顺时针方向围绕-1+j0 点的次数等于系统函数分母多项式 F(s)=1+G(s)H(s)在右半 s 平面的零点数，即反馈系统闭环转移函数的极点数。因此，若在G(j)H(j)平面中的奈奎斯特图不包含-1+j0 点，则系统稳定，否则系统不稳定。 因为奈奎斯特图中的 从 0 到的部分与 从 0 到-的部分在 G(j)H(j)平面中关于实轴成镜像对称，所以 K0 时的奈奎斯特图如图(c)所示。 由图(c)可知，K0 时的奈奎斯特图不包含-1+j0 点，故此时系统稳定。又由图(a)可知，在该反馈系统中 开环频响特性为 根据上式可知，若 K 可取负值，则其奈奎斯特图可由 K0 时的奈奎斯特图绕原点顺时针方向旋转 180得到，如图(d)所示。 幅频特性 相频特性 ()=-arctan)+arctan(/2) 当 ，位于负实轴上，即 当 ，即 K-2 时，奈奎斯特图不包
