1、信号与线性系统-4 及答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：20，分数：100.00)已知 f(t)的频谱函数为 F 1 (j)，求下列时间信号的频谱函数。（分数：6.00）(1).tf(2t)（分数：1.00）_(2).(t-2)f(t)（分数：1.00）_(3). （分数：1.00）_(4).f(1-t)（分数：1.00）_(5).(1-t)f(1-t)（分数：1.00）_(6).f(2t+5)（分数：1.00）_证明下列函数的频谱函数，当 0 时俱逼近于 (t)的频谱函数 1。即这些函数在 0 时都可视为单位冲激函数。（分数：4.00）(1).双边指数函
2、数 （分数：1.00）_(2).取样函数 （分数：1.00）_(3).三角脉冲函数 （分数：1.00）_(4).高斯脉冲函数 （分数：1.00）_1.已知 f 1 (t)的频谱函数为 F 1(j)，将 f 1 (t)按图的波形关系构成周期信号 f 2 (t)，求此周期信号的频谱函数。 （分数：5.00）_三角形周期脉冲的电流如图所示。 （分数：5.00）(1).若 T=8，求此周期电流的平均值与方均值；（分数：2.50）_(2).求此周期电流在单位电阻上消耗的平均功率、直流功率与交流功率，并用帕塞瓦尔定理核对结果。（分数：2.50）_2.求下图所示三角形周期信号的沃尔什级数中不为零的前三项。
3、（分数：5.00）_3.证明沃尔什级数展开时，帕塞瓦尔定理关系式成立。 （分数：5.00）_4.正弦交流电压 Asin(t)，经全波整流产生如图(b)所示的周期性正弦脉冲信号。求此信号通过图(a)所示的 RC电路滤波后，输出响应中不为零的前三个分量。 （分数：5.00）_5.如图(b)所示的周期性矩形脉冲信号，其脉宽为周期的一半，其频率 f=10kHz，加到一谐振频率为 的并联谐振电路(见图(a)上，以取得三倍频信号输出。并联谐振电路的转移函数为 如要求输出中其他分量的幅度小于三次谐波分量幅度的 1%，求并联谐振电路的品质因数 Q。 （分数：5.00）_6.如图(b)所示的周期性矩形脉冲信号，
4、加到一个 90相移网络上，其转移函数为 （分数：5.00）_7.设系统转移函数为 （分数：5.00）_8.设系统转移函数为 （分数：5.00）_9.一带限信号的频谱如图(a)所示，若此信号通过如图(b)所示系统。试绘出 A，B，C，D 各点的信号频谱的图形。系统中两个理想滤波器的截止频率均为 c ，通带内传输值为 1，相移均为零。 c 1 。 （分数：5.00）_10.理想高通滤波器的传输特性如图所示，亦即其转移函数为 求其单位冲激响应。 （分数：5.00）_11.求 的信号通过图(a)所示的系统后的输出。系统中理想带通滤波器的传输特性如图(b)所示，其相位特性 ()=0。 （分数：5.00）
5、_有一调幅信号为 a(t)=A1+0.3cos( 1 t)+0.1cos( 2 t)sin( c t) 其中， 1 =2510 3 rad/s， 2 =2310 3 rad/s， c =24510 6 rad/s，A=100V。试求：（分数：5.01）(1).部分调幅系数；（分数：1.67）_(2).调幅信号包含的频率分量，绘出调制信号与调幅信号的频谱图，并求此调幅信号的频带宽度；（分数：1.67）_(3).此调幅信号加到 1k 电阻上产生的平均功率与峰值功率，载波功率与边频功率。（分数：1.67）_12.下图(a)为相移法产生单边带信号的系统框图。如调制信号 e(t)为带限信号，频谱如图(a
6、)所示。其中，信号 cos c t经过 90相移网络后的输出为 sin c t。试写出输出信号 a(t)的频谱函数表达式，并绘其频谱图。 （分数：5.00）_证明希尔伯特变换有如下性质：（分数：5.01）(1).f(t)与 的能量相等，即 （分数：1.67）_(2).f(t)与 正交，即 （分数：1.67）_(3).若 f(t)是偶函数，则 为奇函数；若 f(t)为奇函数，则 （分数：1.67）_13.试分析信号通过图(a)所示的斜格型网络后有无幅度失真与相位失真。 （分数：5.00）_14.宽带分压器电路如图所示。为使电压能无失真地传输，电路元件参数 R 1 ，C 1 ，R 2 ，G 2 应
7、满足何种关系。 （分数：5.00）_15.在下图所示的电路中，为使输出电压 u 0 (t)与激励电流 i(t)的波形一样，求电阻 R 1 ，R 2 的数值。（分数：5.00）_信号与线性系统-4 答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：20，分数：100.00)已知 f(t)的频谱函数为 F 1 (j)，求下列时间信号的频谱函数。（分数：6.00）(1).tf(2t)（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 先由尺度变换特性，有 然后利用频域微分特性，得 最后得 (2).(t-2)f(t)（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 (t-2)f(t)=tf(t
8、)-2f(t) 由频域微分特性，有-jtf(t) F“ 1 (j) 即 tf(t) jF“ 1 (j) 最后利用线性特性，得 tf(t)-2f(t) (3). （分数：1.00）_正确答案：()解析：解 先由时域微分特性，有 再利用频域微分特性，有 即得 (4).f(1-t)（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 先利用时移特性，有 f(t+1) F 1 (j)e j 再利用尺度变换特性，有 f(-t+1) (5).(1-t)f(1-t)（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 先由 然后利用尺度变换特性，有 最后利用时移特性，有 -(t-1)f-(t-1)=(1-t)f(1-t) -j
9、F“ 1 (-j)e -j 或者可利用(4)中结果： (1-t)f(1-t)=f(1-t)-tf(1-t) (6).f(2t+5)（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 证明下列函数的频谱函数，当 0 时俱逼近于 (t)的频谱函数 1。即这些函数在 0 时都可视为单位冲激函数。（分数：4.00）(1).双边指数函数 （分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 对于双边指数函数 ，不难知其频谱函数 (2).取样函数 （分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 由变换对 利用对称性可得 令 ，就可得到取样函数 的频谱函数 (3).三角脉冲函数 （分数：1.00）_正确答案：()解析：证明
10、对于三角脉冲函数 当 0 时，考虑极限 用洛必达法则，有此极限值 ，再用一次洛必达法则，可求出此极限值=1，即 (4).高斯脉冲函数 （分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 则对于形如 的高斯脉冲，其频谱函数 (注：将()中 换为 1.已知 f 1 (t)的频谱函数为 F 1(j)，将 f 1 (t)按图的波形关系构成周期信号 f 2 (t)，求此周期信号的频谱函数。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 此题用两种方法来解。 解法一：不妨设 f 20 (t)=f 1 (t)+f 2 (-t)，易知 F 20 (j)=F 1 (j)+F 1 (-j) 由于 f 1 (t)是实函数，
11、其频谱函数 F 1 (j)的实部是偶函数，虚部是奇函数，且 F 1 (-j)=F 1 * (j)，故有 F 20 (j)=2ReF 1 (j) f 2 (t)是以 f 20 (t)为基本波形信号，以 T=2为周期进行延拓而得到的周期信号，其复数振幅 因 T=2，故 =，从而 最后利用周期信号频谱函数的通式得 解法二： 对上式两边进行傅里叶变换，利用时域卷积特性，均匀冲激序列的傅里叶变换及傅里叶变换的虚、实、奇、偶特性，有 三角形周期脉冲的电流如图所示。 （分数：5.00）(1).若 T=8，求此周期电流的平均值与方均值；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 此周期电流的平均值 方均值 (
12、2).求此周期电流在单位电阻上消耗的平均功率、直流功率与交流功率，并用帕塞瓦尔定理核对结果。（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 此周期电流在单位电阻上消耗的平均功率 直流功率 交流功率 由于 i(t)是偶函数，故其 b n =0，且 T=8， ，从而有 可见 2.求下图所示三角形周期信号的沃尔什级数中不为零的前三项。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由图可知，f(t)是偶函数，故其沃尔什级数的系数 b s =0，即 在区间0，1上， 且 f(t)与 Cal(s，t)对 都是对称的，故求系数 a s 时，积分区间取 即可。 故取不为零的前三项的沃尔什级数表示 f(t)为 3.
13、证明沃尔什级数展开时，帕塞瓦尔定理关系式成立。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 f(t)的沃尔什级数可表示为 因 根据沃尔什级数的正交完备性有 故 4.正弦交流电压 Asin(t)，经全波整流产生如图(b)所示的周期性正弦脉冲信号。求此信号通过图(a)所示的 RC电路滤波后，输出响应中不为零的前三个分量。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由图(a)所示电路可知频域系统函数(亦称频率响应函数) 对于图(b)所示全波整流信号 e(t)，可求得其傅里叶级数表达式为 即激励信号中的直流、基波及二次谐波分量的复数振幅可分别用相量表示为 直流分量 基波分量 二次谐波分量 系统对以
14、上各分量的频率响应值用相量表示为 输出响应中以上各分量的相量表示为 直流分量 基波分量 二次谐波分量 故用不为零的前三个分量之和近似表示的输出响应为 5.如图(b)所示的周期性矩形脉冲信号，其脉宽为周期的一半，其频率 f=10kHz，加到一谐振频率为 的并联谐振电路(见图(a)上，以取得三倍频信号输出。并联谐振电路的转移函数为 如要求输出中其他分量的幅度小于三次谐波分量幅度的 1%，求并联谐振电路的品质因数 Q。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 首先将 i(t)展开为傅里叶级数： 其中，=2f=20krad/s。 该电路对三次谐波调谐，输出信号主要是 30kHz的正弦信号。由于谐振
15、曲线是对称的，所以在考虑题目的要求时，我们仅需考虑三次谐波邻近的基波和五次谐波；又由于基波的幅度大于五次谐波的幅度，所以在以下的计算中，我们只考虑基波的输出幅度是否小于三次谐波输出幅度的 1%，以此确定电路的品质因数。由所给的转移函数，可求得 则输出信号中基波的幅度 三次谐波的幅度 根据题意，应有 R 1 0.01R 3 ，即 ，从而得 6.如图(b)所示的周期性矩形脉冲信号，加到一个 90相移网络上，其转移函数为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 图(b)所示的周期性矩形脉冲信号的傅里叶级数表达式为 其不为零的前三个分量分别为 直流分量 基波分量 二次谐波分量 由此网络的频域转移函
16、数的表达式可知，此网络对除直流分量以外所有谐波分量仅仅产生 90相移的影响，即 故输出响应中不为零的前三个分量为 直流分量 基波分量 二次谐波分量 所以输出响应用前三个不为零的分量近似表示为 注：此题也可利用傅里叶变换来求，下面给出具体过程。 首先求出输入信号的傅里叶变换，利用周期信号的傅里叶变换，有 由 R(j)=E(j)H(j)得 所以 取前三项近似，且将 换成 ，就有 响应 r(t)中前三个分量及其叠加的波形分别如图(a)中的虚线、实线所示。激励 i(t)中前三个分量及其叠加的波形分别如图(b)中的虚线、实线所示。 7.设系统转移函数为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为
17、所以单位冲激响应 h(t)=-(t)+2e -t (t) 当 e(t)为单位阶跃函数即 e(t)=(t)时，由于 所以 单位阶跃响应 r ()=-2e -t (t)+(t)=(1-2e -t )(t) 当 e(t)=e -2t (t)时， ，所以 8.设系统转移函数为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以冲激响应 h(t)=(e -t +e -2t )(t) 又 R zs (j)=H(j)E(j) 9.一带限信号的频谱如图(a)所示，若此信号通过如图(b)所示系统。试绘出 A，B，C，D 各点的信号频谱的图形。系统中两个理想滤波器的截止频率均为 c ，通带内传输值为 1，相移
18、均为零。 c 1 。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 带限信号 e(t)先经过幅度调制，有 即 经过理想高通滤波器之后，低于 c 的频率分量被过滤掉，即 B点信号再经过一次幅度调制，有 最后再经过理想低通滤波器后，高于 c 的频率分量都被过滤掉了，即 在 c 1 的情况下，A，B，C，D 各点的信号频谱图如图(c)、(d)、(e)、(f)所示。 10.理想高通滤波器的传输特性如图所示，亦即其转移函数为 求其单位冲激响应。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 G 2c0 ()=(+ c0 )-(- c0 ) 则 H(j)=K1-G 2c0 ()e j() =K1-G 2c
19、0 ()e -jt 0 要求的冲激响应 先考虑 G 2c0 ()。由变换对 及对称性，有 令 =2 c0 ，得 又 故 最后利用时移特性可得到 11.求 的信号通过图(a)所示的系统后的输出。系统中理想带通滤波器的传输特性如图(b)所示，其相位特性 ()=0。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由变换对 及对称性有 令 =4，得 令 e 1 (t)=e(t)cos(1000t)，则由频域卷积定理，有 经过带通滤波器，得 又因为 所以 有一调幅信号为 a(t)=A1+0.3cos( 1 t)+0.1cos( 2 t)sin( c t) 其中， 1 =2510 3 rad/s， 2 =2
20、310 3 rad/s， c =24510 6 rad/s，A=100V。试求：（分数：5.01）(1).部分调幅系数；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 由该调幅信号的表达式易得部分调幅系数分别为 m 1 =0.3，m 2 =0.1(2).调幅信号包含的频率分量，绘出调制信号与调幅信号的频谱图，并求此调幅信号的频带宽度；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 调制信号 e(t)=A+0.3Acos 1 t+0.1Acos( 2 t)=100+30cos(2510 3 t)+10cos(2310 3 t) 其频谱函数 E(j)=200+30(+2510 3 )+(-2510 3 )
21、+10(+2310 3 )+(-2310 3 ) 频谱图如图(a)所示。 对于调幅信号，由 a(t)=100+30cos( 1 t)+10cos( 2 t)sin( c t)=100sin( c t)+30cos( 1 t)sin( c t)+10cos( 2 t)sin( c t)=100sin( c t)+15sin( 1 + c )t-sin( 1 - c )t+5sin( 2 + c )t-sin( 2 - c )t=100sin( c t)+15sin( c + 1 )t+15sin( c - 1 )t+5sin( c + 2 )t+5sin( c - 2 )t 知，该调幅波包含五个
22、频率分量，即幅度为 100V的载频分量；幅度为 15V的一对上、下边频分量，其频率分别为 c + 1 、 c - 1 ；幅度为 5V的一对上、下边频分量，其频率分别为 c + 2 、 c - 2 。其频谱函数 A(j)=j100(+ c )-(- c )+j15(+ c + 1 )-(- c - 1 )+j15(+ c - 1 )-(- c + 1 )+j5(+ c + 2 )-(- c - 2 )+j5(+ c - 2 )-(- c + 2 ) 频谱图如图(b)所示。 (3).此调幅信号加到 1k 电阻上产生的平均功率与峰值功率，载波功率与边频功率。（分数：1.67）_正确答案：()解析：解
23、 平均功率 峰值功率 载波功率 边频功率 或 12.下图(a)为相移法产生单边带信号的系统框图。如调制信号 e(t)为带限信号，频谱如图(a)所示。其中，信号 cos c t经过 90相移网络后的输出为 sin c t。试写出输出信号 a(t)的频谱函数表达式，并绘其频谱图。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由系统框图，设 e 1 (t)=e(t)cos( c t)，e 2 (t)为 e(t)经过频响函数为-jsgn 的系统后的输出信号，e 2 (t)再与 90相移网络的输出信号 sin( c t)相乘后得到 e 3 (t)，则整个系统的输出信号 a(t)=e 1 (t)+e 3
24、(t) 对于 e 1 (t)，易知其频谱函数 对于 e 2 (t)，其频谱函数 E 2 (j)=E(j)(-jsgn)=-jE(j)sgn 对于 e 3 (t)，其频谱函数 于是 a(t)的频谱函数 e 1 (t)，e 3 (t)及 a(t)的频谱图分别如图(b)、(c)、(d)所示。 证明希尔伯特变换有如下性质：（分数：5.01）(1).f(t)与 的能量相等，即 （分数：1.67）_正确答案：()解析：证明 由帕塞瓦尔能量定理知，信号 f(t)的能量 而 f(t)的希尔伯特变换 的频谱函数为-jF(j)sgn，仍由帕塞瓦尔能量定理有信号 的能量 所以二者能量相等，即 (2).f(t)与 正
25、交，即 （分数：1.67）_正确答案：()解析：证明 因 故 交换两个积分的次序，则 由于 从而有 那么只有 从而证明了 f(t)与 (3).若 f(t)是偶函数，则 为奇函数；若 f(t)为奇函数，则 （分数：1.67）_正确答案：()解析：证明 因为 所以 若 f(t)为偶函数，有 f(t)=f(-t)，则 即 ，从而 为奇函数。 若 f(t)为奇函数，有 f(t)=-f(-t)，则 从而 13.试分析信号通过图(a)所示的斜格型网络后有无幅度失真与相位失真。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 z 1 =jL， ，则 z 1 z 2 =R 2 ，用戴维南定理做等效电路图，如图
26、(b)所示，从 R两端看进去的等效电阻 z 0 为 等效电压为 所以 频响函数 其 根据无失真传输条件知，该系统元幅度失真，但有相位失真。要使相位无失真，相位移需满足 ()=t 0 ，即与 成正比。当 很小时， 此时， 由此可知当 时，即被传输信号的频率远小于网络固有频率 0 时，才满足无失真传输条件。这时输出电压 u 0 (t)幅度不变，仅有时延 14.宽带分压器电路如图所示。为使电压能无失真地传输，电路元件参数 R 1 ，C 1 ，R 2 ，G 2 应满足何种关系。 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 易知此电路的频响函数为 要使无幅度失真，应有|H(j)|=K，即有 从而得 ，得 化简上式，最终可得到 R 1 C 1 =R 2 C 2 即当满足 R 1 C 1 =R 2 C 2 时，可使电压能无幅度失真地传输。 实际上，对于 15.在下图所示的电路中，为使输出电压 u 0 (t)与激励电流 i(t)的波形一样，求电阻 R 1 ，R 2 的数值。（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 频响函数为 将 C=1F，L=1H 代入，得 由题意知|H(j)|=1 即
