1、信号与线性系统-12 及答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：22，分数：100.00)证明 W N 的下列性质。（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_试分别用基 2 时间抽取和基 2 频率抽取 FFT 算法计算下列序列的离散傅里叶变换。（分数：10.00）(1).f(k)=(k)-(k-8)，0N8（分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3).f(k)=k(k-1)(k)，0N8（分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_1.假如用 FFT
2、 算法完成 32 点 DFT 运算，输入序列采用自然顺序排序，输出序列采用比特反置顺序排列。写出输出序列的排列顺序。 （分数：2.50）_2.已知一个 8 点实信号 f(k)的 DFT 为 F(m)，F(m)的前五项分别为 F(0)=5，F(1)=j，F(2)=1+j，F(3)=2+j3，F(4)=2，利用 W N 的性质求 F(5)，F(6)，F(7)，并用帕塞瓦尔定理求 f(k)的平均能量。 （分数：2.50）_3.利用 FFT 计算下列序列组中各序列两两之间的循环卷积和循环相关函数。 f 1 (k)=1，1，1，1，1，1，1，1，f 2 (k)=1，1，1，1，-1，-1，-1，-1
3、f 3 (k)=1，1，-1，-1，1，1，-1，-1，f 4 (k)=1，-1，1，-1，1，-1，1，-1 （分数：2.50）_4.在计算实数序列 f(k)的 FFT 时，可以结合题设复数序列 c(k)=x(k)+jy(k)，其中 x(k)和 y(k)是两个实数序列，分别对应于 c(k)的实部和虚部。假设已知 c(k)的 DFT 等于 C(m)，求 x(k)。进一步降低运算量。试推导此时计算过程，估计计算量(复数加法和乘法的次数)。 （分数：2.50）_计算下列序列的 8 点离散沃尔什变换。（分数：7.50）(1).f(k)=10，20，30，29，50，100，37，22（分数：2.50
4、）_(2).f(k)=1，3，5，7，9，11，13，15（分数：2.50）_(3).f(k)=21，23，25，27，29，31，33，35（分数：2.50）_5.计算下列序列的 3 点离散余弦变换。 (1)f(k)=15，20，32 (2)f(k)=1，3，5 (3)f(k)=11，13，15 （分数：2.50）_试判断下列系统函数表示的离散时间系统的种类(FIR、IIR、AR、MA、ARMA 等)。（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_下面的说法是否正确?请说明理由。（分数：10.00）
5、(1).FIR 滤波器一定是 MA 滤波器。（分数：2.50）_(2).AR 滤波器一定是 IIR 滤波器。（分数：2.50）_(3).多个 FIR 滤波器并联得到的系统一定是 FIR 滤波器。（分数：2.50）_(4).多个 IIR 滤波器串联得到的系统一定是 IIR 滤波器。（分数：2.50）_利用冲激响应不变变换法求解下列连续系统函数所对应的数字滤波器的传输函数，假设抽样间隔为T。（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4).H a (s)=1（分数：2.50）_6.试以巴特沃思滤波器为原型，用冲激响应不变变换法设计
6、一个截止频率为 2kHz 的 2 阶数字巴特沃思低通滤波器，给出其系统函数。假设抽样频率为 10kHz。 （分数：2.50）_利用双线性变换法求题中各系统的对应的数字滤波器的传输函数。 （分数：10.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4).H a (s)=1（分数：2.50）_7.利用双线性变换法，以巴特沃思滤波器为原型，用冲激响应不变变换法设计一个截止频率为 2kHz 的 2阶数字巴特沃思低通滤波器。假设抽样频率为 10kHz。设计一个满足以上要求的数字巴特沃思低通滤波器。（分数：2.50）_8.已知某系统的单位函数响应如下，试
7、判断系统是否是线性相位 FIR 滤波器。 (1)h(k)=1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，1 (2)h(k)=1，2，3，4，5，1，2，3，4，5 (3)h(k)=1，2，3，4，5，4，3，2 (4)h(k)=1，1，1，1，1，1，1 (5)h(k)=1，2，3，4，5，-4，-3，-2，-1 （分数：2.50）_9.已知某长度为 N 的线性相位 FIR 滤波器的幅频特性为|H(e jT )|=A(T)，其中 T 为抽样间隔。试写出此系统完整的频率特性 H(e jT )。 （分数：2.50）_10.试用窗函数法设计一个截止频率为 2kHz 的线性相位 FIR 低通滤波器，假设抽样
8、频率为 12kHz，FIR 滤波器的长度 N10。 （分数：2.50）_11.试用窗函数法设计一个截止频率为 2kHz 的线性相位 FIR 低通滤波器，假设抽样频率为 12kHz，FIR 滤波器的长度 N10。在设计任务中，分别采用三角窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗函数设计出相应的滤波器。 （分数：1.00）_12.理想的线性正交变换网络的传输函数为 H a (j)=-je -jt 0 其中 t 0 是系统的时延，可以根据需要设定。如果要以该系统为原型设计一个长度为 N 的线性相位 FIR 滤波器，抽样间隔为 T，t 0 应该取多大?试用窗函数法设计出线性正交变换数字滤波器，给出其单位响应函数
9、 h(k)。 （分数：1.00）_13.在微弱信号检测中，接收到的信号往往混杂有交流电产生的 50Hz 工频干扰。利用等间隔频率抽样设计法，设计一个能够滤除一个干扰的线性相位 FIR 带阻滤波器，系统的幅频特性与理想带阻滤波器幅频特性相近。这里假设系统的抽样率为 400Hz，FIR 滤波器的长度 N=8。 （分数：1.00）_14.在微弱信号检测中，接收到的信号往往混杂有交流电产生的 50Hz 工频干扰。利用等间隔频率抽样设计法，设计一个能够滤除一个干扰的线性相位 FIR 带阻滤波器，系统的幅频特性与理想带阻滤波器幅频特性相近。这里假设系统的抽样率为 400Hz，FIR 滤波器的长度 N=8。
10、 （分数：1.00）_一个长度为 N(N 为偶数)的线性相位 FIR 滤波器，单位函数响应为 h 1 (k)，其 DFT 为 H 1 (m)。将 h 1 (k)进行 N 点循环移位 N/2 点得到一个新的单位响应函数 h 2 (k)。（分数：3.52）(1).求 h 2 (k)的 DFT H 2 (m)；（分数：0.88）_(2).证明 h 2 (k)所对应的 FIR 滤波器依然满足线性相频特性；（分数：0.88）_(3).证明将 h 1 (k)和 h 2 (k)对应的系统并联，得到的新系统依然是线性相位 FIR 滤波器；（分数：0.88）_(4).证明将 h 1 (k)和 h 2 (k)对应
11、的系统串联，得到的新系统依然是线性相位 FIR 滤波器。（分数：0.88）_信号与线性系统-12 答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：22，分数：100.00)证明 W N 的下列性质。（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 (3). （分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 另一方面，由 W N 的周期性知， 故有 (4). （分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 由于 N 为 N 0 的倍数，不妨设 N=N 0 l，l=1，2，3，于是 试分别用基 2
12、时间抽取和基 2 频率抽取 FFT 算法计算下列序列的离散傅里叶变换。（分数：10.00）(1).f(k)=(k)-(k-8)，0N8（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 f(k)的 8 个点的值分别为 f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=f(7)=1 而几个系数分别为 FFT 的计算过程借助图形完成。基 2 时间抽取 FFT 计算过程如图(a 1 )所示，基 2 频率抽取 FFT 计算过程如图(b 1 )所示。 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 f(k)的 8 个点的值分别为 f(0)=1，f(1)=0，f(2)=1，f(3)=0，
13、 f(4)=1，f(5)=0，f(6)=1，f(7)=0 基 2 时间抽取 FFT 计算过程如图(a 2 )所示，基 2 频率抽取 FFT 计算过程如图(b 2 )所示。 (3).f(k)=k(k-1)(k)，0N8（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 f(k)的 8 个点的值分别为 f(0)=0，f(1)=0，f(2)=2，f(3)=6， f(4)=12，f(5)=20，f(6)=30，f(7)=42 基 2 时间抽取 FFT 计算过程如图(a 3 )所示，基 2 频率抽取 FFT 计算过程如图(b 3 )所示。 由此可见， (4). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 f(k
14、)的 8 个点的值分别为 f(0)=1，f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0，f(4)=1， f(5)=0，f(6)=-1，f(7)=0 基 2 时间抽样 FFT 计算过程如图(a 4 )所示，基 2 频率抽取 FFT 计算过程如图(b 4 )所示。 1.假如用 FFT 算法完成 32 点 DFT 运算，输入序列采用自然顺序排序，输出序列采用比特反置顺序排列。写出输出序列的排列顺序。 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 用比特反置方法求输出序列的排列顺序的计算过程见表。即输出序列的排列顺序为 0，16，8，24，4，20，12，28，2，18，10，26，6，22，14，30，
15、1，17，9，25，5，21，13，29，3，19，11，27，7，23，15，31 N=32 时 FFT 输出序列的比特反置法排序 位置 (十进制) 位置 (二进制) 序号 (二进制) 序号 (十进制) 位置 (十进制) 位置 (二进制) 序号 (二进制) 序号 (十进制) 0 00000 00000 0 16 10000 00001 1 1 00001 10000 16 17 10001 10001 17 2 00010 01000 8 18 10010 01001 9 3 00011 11000 24 19 10011 11001 25 4 00100 00100 4 20 10100
16、00101 5 5 00101 10100 20 21 10101 10101 21 6 00110 01100 12 22 10110 01101 13 7 00111 11100 28 23 10111 11101 29 8 01000 00010 2 24 11000 00011 3 9 01001 10010 18 25 11001 10011 19 10 01010 01010 10 26 11010 01011 11 11 01011 11010 26 27 11011 11011 27 12 01100 00110 6 28 11100 00111 7 13 01101 1011
17、0 22 29 11101 10111 23 14 01110 01110 14 30 11110 01111 15 15 01111 11110 30 31 11111 11111 31 2.已知一个 8 点实信号 f(k)的 DFT 为 F(m)，F(m)的前五项分别为 F(0)=5，F(1)=j，F(2)=1+j，F(3)=2+j3，F(4)=2，利用 W N 的性质求 F(5)，F(6)，F(7)，并用帕塞瓦尔定理求 f(k)的平均能量。 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 先考虑一般情况，若需求 F(l)，l=0，1，2，7，由定义有 因为 f(k)为实信号，故有 f(k)=
18、f*(k)，于是有 根据此特性，易知 F(5)=F*(3)=2-j3，F(6)=F*(2)=1-j，F(7)=F*(1)=-j 由帕塞瓦尔定理知，f(k)的平均能量为 3.利用 FFT 计算下列序列组中各序列两两之间的循环卷积和循环相关函数。 f 1 (k)=1，1，1，1，1，1，1，1，f 2 (k)=1，1，1，1，-1，-1，-1，-1 f 3 (k)=1，1，-1，-1，1，1，-1，-1，f 4 (k)=1，-1，1，-1，1，-1，1，-1 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 第一步，首先计算 f 1 (k)f 4 (k)的 DFT。 利用 FFT 计算得到 f 1 (k
19、)的 DFT，这里直接引用。 F 1 (m)=8，0，0，0，0，0，0，0 利用基 2 频率抽取 FFT 计算 f 2 (k)、f 3 (k)及 f 4 (k)的过程分别如图(a)、(b)、(c)所示。由计算可得 第二步，计算各序列两两之间的循环卷积。 由 DFT 的时域循环卷积特性，有 故 但由第一步求得的 F i (m)，i=1，2，3，4，可知任意两个序列的 DFT 的乘积都为 0，即只 F i (m)F j (m)=0，i，j=1，2，3，4，ij，所以任意两序列的循环卷积都为 0。 第三步，计算各序列两两之间的循环相关函数。 由于有 故 但由于 4.在计算实数序列 f(k)的 FF
20、T 时，可以结合题设复数序列 c(k)=x(k)+jy(k)，其中 x(k)和 y(k)是两个实数序列，分别对应于 c(k)的实部和虚部。假设已知 c(k)的 DFT 等于 C(m)，求 x(k)。进一步降低运算量。试推导此时计算过程，估计计算量(复数加法和乘法的次数)。 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 先将实数序列 f(k)的奇数项和偶数项分别构成两个长度为 的实数序列，f o (k)和 f c (k)，再将二者合成一个复数序列。 则 且 而由基 2 时间抽取 FFT 算法的推导过程可知，f(k)的 DFTF(m)为 于是我们可将求 f(k)的 DFT 的过程分为以下几步： (1
21、)利用 点 FFT 计算得到 C(m)，在此步需要的计算量为 乘法次数： 加法次数： (2)分别求出 F c (m)和 F o (m)，此步需要的计算量为 乘法次数： 加法次数： (3)求出 F(m)和 ，此步需要的计算量为 乘法次数： 加法次数： 所以总的计算量为 乘法次数： 加法次数： 计算下列序列的 8 点离散沃尔什变换。（分数：7.50）(1).f(k)=10，20，30，29，50，100，37，22（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 直接利用矩阵进行计算如下： (2).f(k)=1，3，5，7，9，11，13，15（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 直接利用矩阵进行
22、计算如下： (3).f(k)=21，23，25，27，29，31，33，35（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 直接利用矩阵进行计算如下： 5.计算下列序列的 3 点离散余弦变换。 (1)f(k)=15，20，32 (2)f(k)=1，3，5 (3)f(k)=11，13，15 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 当 N=3 时，C N 矩阵等于 (1) 故 (2) 故 (3) 故 试判断下列系统函数表示的离散时间系统的种类(FIR、IIR、AR、MA、ARMA 等)。（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：2.50）_正确答案
23、：()解析：解 由 (3). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 (4). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 下面的说法是否正确?请说明理由。（分数：10.00）(1).FIR 滤波器一定是 MA 滤波器。（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 此说法正确。 若滤波器的传输函数 H(z)的一般形式为 (2).AR 滤波器一定是 IIR 滤波器。（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 此说法正确。 AR 滤波器的传输函数具有如下形式： 其分母中， (3).多个 FIR 滤波器并联得到的系统一定是 FIR 滤波器。（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 此说法
24、正确。 FIR 滤波器的传输函数形式为 那么多个(假设 l 个)FIR 滤波器并联得到的系统，其传输函数为 (4).多个 IIR 滤波器串联得到的系统一定是 IIR 滤波器。（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 此说法不正确。 IIR 滤波器的传输函数形式为 式中，a n 不会全为零。当多个 IIR 滤波器串联，所得系统的传输函数为 利用冲激响应不变变换法求解下列连续系统函数所对应的数字滤波器的传输函数，假设抽样间隔为T。（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 连续传输函数 利用冲激响应不变变换法，相应的数字滤波器的传输函数为 (2). （分数：2.50
25、）_正确答案：()解析：解 连续传输函数 利用冲激响应不变变换法，相应的数字滤波器的传输函数为 (3). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 连续传输函数 可见 H a (s)有一个二阶极点在 s=-2，由 H(z)与 H a (s)的关系 知 (4).H a (s)=1（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 冲激响应不变变换法的设计思想是系统的冲激响应不变。但若 H a (s)=1，意味着连续系统的冲激响应为 (t)，将之转换为数字信号，不可能不改变其性质，所以这种情况下无法利用冲激响应不变变换法。6.试以巴特沃思滤波器为原型，用冲激响应不变变换法设计一个截止频率为 2kHz 的
26、 2 阶数字巴特沃思低通滤波器，给出其系统函数。假设抽样频率为 10kHz。 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 模拟巴特沃思滤波器的系统函数为 取 c =210 3 2=410 3 rad/s，N=2，代入上式可得 用冲激响应不变变换法，取 T=10 -4 s，可得数字巴特沃思低通滤波器的系统函数为 利用双线性变换法求题中各系统的对应的数字滤波器的传输函数。 （分数：10.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 将 代入上式可得 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 将 代入上式可得 (3). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 将 代入上式可得 (4).H a (s)=1（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 H a (s)=1 因为双线性变换法的思想是由连续系统的系统函数得到微分方程，再由微分方程得到相应的差分方程，从而得到离散系统的系统函数。 由 H a (s)=1 知微分方程为 r(t)=e(t)，于是相应的差分方程为 r(k)=e(k) 所以 H(z)=17.
