1、信号与线性系统-11 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：20，分数：100.00)求下列序列的离散傅里叶变换。（分数：15.00）(1).f(k)=5，2，4，9，N=4（分数：2.50）_(2).f(k)=16，17，15，20，N=4（分数：2.50）_(3).f(k)=1，1，1，1，1，1，1，1，N=8（分数：2.50）_(4).f(k)=1，1，1，1，0，0，0，0，N=8（分数：2.50）_(5).f(k)=cos(2k/8)，k=0，1，2，7，N=8（分数：2.50）_(6).f(k)=cos2(k+0.5)/8，k=0，1，2，7，
2、N=8（分数：2.50）_求下列序列的 N 点离散傅里叶变换。（分数：10.00）(1).f(k)=(k)（分数：2.50）_(2).f(k)=(k-k 0 )（分数：2.50）_(3).f(k)=a k (k=0，1，2，N-1)（分数：2.50）_(4).f(k)=1(k=0，1，2，N 0 ，其中 0N 0 N)（分数：2.50）_求下列序列的 IDFT。（分数：10.00）(1).F(m)=18，-2+j2，-2，-2-j2，N=4（分数：2.50）_(2).F(m)=150，-30+j60，-50，-30-j60，N=4（分数：2.50）_(3).F(m)=152，-8+j40，-8
3、，-8-j40，N=4（分数：2.50）_(4).F(m)=32，20，40，60，N=4（分数：2.50）_已知序列的 DFT 结果如下，求其原序列。（分数：5.00）(1).F(m)=(m)，m=0，1，2，N-1（分数：2.50）_(2).F(m)=(m-N 0 )+(N-m-N 0 )，m=0，1，2，N-1，0N 0 N（分数：2.50）_1.求有限长离散余弦序列 （分数：2.50）_计算下列序列之间的 4 点循环卷积。（分数：10.00）(1).f 1 (k)=4，2，10，5，f 2 (k)=3，7，9，11（分数：2.50）_(2).f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)
4、=1，1，1，1（分数：2.50）_(3).f 1 (k)1，1，1，1，f 2 (k)=1，1，1（分数：2.50）_(4).f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=0，1，0（分数：2.50）_计算题中各对序列间的 6 点圆周卷积和线性卷积，并比较其结果。（分数：10.00）(1).f 1 (k)=4，2，10，5，f 2 (k)=3，7，9，11（分数：2.50）_(2).f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=1，1，1，1（分数：2.50）_(3).f 1 (k)1，1，1，1，f 2 (k)=1，1，1（分数：2.50）_(4).f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (
5、k)=0，1，0（分数：2.50）_2.设 x(k)为长度为 N 的有限长序列，其 N 点 DFT 为 X(m)。现通过补零将 x(k)的长度扩大 L 倍，成为长度为 LN 的序列 y(k)，即 （分数：2.50）_3.设 x(k)为长度为 N 的有限长序列，其 N 点 DFT 为 X(m)。现通过在 x(k)的每两点间补上 L-1 个零将其扩展为长度等于 NL 的新的序列 y(k)，即 （分数：2.50）_4.设 x(k)为长度为 N 的有限长序列，其 N 点 DFT 为 X(m)。现以 N 为周期，将其周期延拓成长度等于 NL 的新的序列，即 （分数：2.50）_5.设 N 点复数序列 x
6、(k)的 DFT 为 X(m)，证明其共轭序列 x*(k)的 DFT 等于 X*(N-m)。 （分数：2.50）_6.设复数序列 c(k)=x(k)+jy(k)，其中 x(k)和 y(k)是两个实数序列，分别对应于 c(k)的实部和虚部。假设已知 c(k)的 DFT 等于 C(m)，求 x(k)和 y(k)的 DFT。 （分数：2.50）_已知序列 x(k)的 N 点 DFT 为 X(m)，利用 DFT 的移频特性求下列序列的 DFT。（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_7.利用 DFT 的卷积性质求题中各对序列的 4 点循环卷积。 (1)f 1 (k
7、)=4，2，10，5，f 2 (k)=3，7，9，11 (2)f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=1，1，1，1 (3)f 1 (k)1，1，1，1，f 2 (k)=1，1，1 (4)f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=0，1，0 （分数：2.50）_8.利用 DFT 的卷积性质求题中各对序列的线性卷积。(提示：为了 DFT 计算方便可以取 N=8。) (1)f 1 (k)=4，2，10，5，f 2 (k)=3，7，9，11 (2)f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=1，1，1，1 (3)f 1 (k)1，1，1，1，f 2 (k)=1，1，1 (4)f 1 (k
8、)1，2，3，4，f 2 (k)=0，1，0 （分数：2.50）_9.试证明 DFT 性质中的频域卷积特性(原教材式(9-13)。 （分数：2.50）_10.试证明 DFT 性质中的帕塞瓦尔定理(原教材式(9-18)。 （分数：2.50）_11.由离散门信号 G N (k)=(k)-(k-N)的 DFT 求其 z 变换，并与直接计算结果相比较。 （分数：2.50）_12.一连续时间信号的持续时间为 2.048s，信号在 256 个等距点处抽样，求抽样所得序列的频谱的周期，如要求不产生频谱混叠，则对 f(t)的频谱有何限制。 （分数：2.50）_通过 DFT，对一个连续的持续时间为 1ms 的方
9、波脉冲信号的频谱进行分析。假设该信号在 20kHz 以上的频谱分量可以忽略不计。（分数：5.00）(1).如果通过 DFT 直接分析该信号的频谱，要求频谱分辨率达到 1Hz，抽样频率应该达到多少?抽样时间应该多长?进行 DFT 的点数 N 应该等于多少?（分数：1.25）_(2).如果指定抽样时间 T=1ms，则直接通过 DFT 可以达到的频域分辨率为多少?此时 DFT 的点数 N 为多少?（分数：1.25）_(3).在抽样时间 T=1ms 的前提下，直接计算得到的频谱分辨率为多少?如果依然要做到频谱分辨率达到1Hz，应该如何计算?（分数：1.25）_(4).通过编写计算机程序，验证上面的结果
10、，并与实际门函数的频谱函数相比较，观察计算误差并分析误差产生的原因。如果要提高计算精度，应该在哪些地方采取措施?（分数：1.25）_信号与线性系统-11 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：20，分数：100.00)求下列序列的离散傅里叶变换。（分数：15.00）(1).f(k)=5，2，4，9，N=4（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 DFT 公式 ，这里 ，可得 (2).f(k)=16，17，15，20，N=4（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 DFT 公式 ，这里 ，可得 (3).f(k)=1，1，1，1，1，1，1，1，N=8
11、（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 本题利用矩阵计算。N=8，则 ，用矩阵形式表示 DFT 为 (4).f(k)=1，1，1，1，0，0，0，0，N=8（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 本题利用矩阵计算，其中方阵 W 8 与(3)中的方阵 W 8 相同。 故 (5).f(k)=cos(2k/8)，k=0，1，2，7，N=8（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 f(k)=cos(2k/8)知 此题利用矩阵计算 DFT，其中方阵 W 8 与(3)、(4)中同。 (6).f(k)=cos2(k+0.5)/8，k=0，1，2，7，N=8（分数：2.50）_正确答案：()解析
12、：解 由 f(k)=cos2(k+0.5)/8知， 用矩阵计算 DFT： 故 求下列序列的 N 点离散傅里叶变换。（分数：10.00）(1).f(k)=(k)（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (2).f(k)=(k-k 0 )（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (3).f(k)=a k (k=0，1，2，N-1)（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (4).f(k)=1(k=0，1，2，N 0 ，其中 0N 0 N)（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 当 m=0 时， 当 m=1，2，N-1 时， 求下列序列的 IDFT。（分数：10.00）(1).F(m)=1
13、8，-2+j2，-2，-2-j2，N=4（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 得 (2).F(m)=150，-30+j60，-50，-30-j60，N=4（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 得 (3).F(m)=152，-8+j40，-8，-8-j40，N=4（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 得 (4).F(m)=32，20，40，60，N=4（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 得 已知序列的 DFT 结果如下，求其原序列。（分数：5.00）(1).F(m)=(m)，m=0，1，2，N-1（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 得 (2)
14、.F(m)=(m-N 0 )+(N-m-N 0 )，m=0，1，2，N-1，0N 0 N（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 IDFT 公式得 1.求有限长离散余弦序列 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 先将 f(k)表示为 再由 DFT 公式得 计算下列序列之间的 4 点循环卷积。（分数：10.00）(1).f 1 (k)=4，2，10，5，f 2 (k)=3，7，9，11（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 以下用列表的方式给出求解循环卷积的过程，详见表(a)。 表(a) 循环卷积计算过程 操 作 循环卷积 相乘叠加结果 f 1 (k) 4，2，10，5 f 2
15、(k) 3，7，9，11 f 2 (k)反褶 3，11，9，7 f(0)=159 f 2 (k)右移 1 7，3，11，9 f(1)=189 f 2 (k)右移 2 9，7，3，11 f(2)=135 f 2 (k)右移 3 11，9，7，3 f(3)=147 即 (2).f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=1，1，1，1（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 以下用列表的方式给出求解循环卷积的过程。详见表(b)。 表(b) 循环卷积计算过程 操 作 循环卷积 相乘叠加结果 f 1 (k) l，2，3，4 f 2 (k) 1，1，1，1 f 2 (k)反褶 1，1，1，1 f(0
16、)=10 f 2 (k)右移 1 1，1，1，1 f(1)=10 f 2 (k)右移 2 1，1，1，1 f(2)=10 f 2 (k)右移 3 1，1，1，1 f(3)=10 即 (3).f 1 (k)1，1，1，1，f 2 (k)=1，1，1（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 本题采用竖式乘法运算来计算循环卷积。 将以上数据从左至右每 4 个构成一组，于是得到两个数组1，2，3，3和2，1，0，0。然后将这两个数组相加： 即 (4).f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=0，1，0（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 本题仍采用竖式乘法运算来计算循环卷积。 将以上数据
17、从左至右每 4 个构成一组，得到两个数组0，1，2，3和4，0，0，0。然后将这两个数组相加： 即 计算题中各对序列间的 6 点圆周卷积和线性卷积，并比较其结果。（分数：10.00）(1).f 1 (k)=4，2，10，5，f 2 (k)=3，7，9，11（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 本题用竖式乘法计算 6 点圆周卷积和线性卷积。首先计算两序列乘积： 对于线性卷积，结果就已出来了；对于圆周卷积，还需要将以上数据从左至右分成两组，每 6 个一组，这两个数组分别为12，34，80，147，147，155和55，0，0，0，0，0，将这两个数组相加： 即 6 点圆周卷积结果 (2).f
18、 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=1，1，1，1（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 本题用竖式乘法来计算。 对于线性卷积，结果就已出来了；对于圆周卷积，还需要将以上数据从左至右分成两组，每 6 个一组，这两个数组分别为1，3，6，10，9，7和4，0，0，0，0，0，将这两个数组相加： 即 6 点圆周卷积结果 (3).f 1 (k)1，1，1，1，f 2 (k)=1，1，1（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 本题采用列表的方式给出求解 6 点圆周卷积和线性卷积的过程。详见表(a)。 表(a) 线性卷积及圆周卷积计算过程 操 作 线性卷积 相乘叠加 结果 6 点圆周卷积
19、 相乘叠加 结果 f 1 (k) 1，1，1，1 1，1，1，1，0，0 f 2 (k) 1，1，1 1，1，1，0，0，0 f 2 (k)反褶 1，1，1 f 3 (0)=1 1，0，0，0，1，1 f 4 (0)=1 f 2 (k)右移 1 1，1，1 f 3 (1)=2 1，1，0，0，0，1 f 4 (1)=2 f 2 (k)右移 2 1，1，1 f 3 (2)=3 1，1，1，0，0，0 f 4 (2)=3 f 2 (k)右移 3 1，1，1 f 3 (3)=3 0，1，1，1，0，0 f 4 (3)=3 f 2 (k)右移 4 1，1，1 f 3 (4)=2 0，0，1，1，1，0
20、 f 4 (4)=2 f 2 (k)右移 5 1，1，1 f 3 (5)=1 0，0，0，1，1，1 f 4 (5)=1 由上表可见，6 点圆周卷积的结果为1，2，3，3，2，1，线性卷积的结果也为1，2，3，3，2，1，二者相同。因为线性卷积的结果长度为 6，不大于圆周卷积的长度，故二者相同。(4).f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=0，1，0（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 本题采用列表的方式给出求解 6 点圆周卷积和线性卷积的过程。详见表(b)。 表(b) 线性卷积及圆周卷积计算过程 操 作 线性卷积 相乘叠加 结果 6 点圆周卷积 相乘叠加 结果 f 1 (k)
21、1，2，3，4 1，2，3，4，0，0 f 2 (k) 0，1，0 0，1，0，0，0，0 f 2 (k)反褶 0，1，0 f 3 (0)=0 0，0，0，0，0，1 f 4 (0)=0 f 2 (k)右移 1 0，1，0 f 3 (1)=1 1，0，0，0，0，0 f 4 (1)=1 f 2 (k)右移 2 0，1，0 f 3 (2)=2 0，1，0，0，0，0 f 4 (2)=2 f 2 (k)右移 3 0，1，0 f 3 (3)=3 0，0，1，0，0，0 f 4 (3)=3 f 2 (k)右移 4 0，1，0 f 3 (4)=4 0，0，0，1，0，0 f 4 (4)=4 f 2 (k
22、)右移 5 0，1，0 f 3 (5)=0 0，0，0，0，1，0 f 4 (5)=0 由上表可见，6 点圆周卷积的结果为0，1，2，3，4，0，线性卷积的结果也为0，1，2，3，4，0，二者相同。因为线性卷积的结果长度为 6，而圆周卷积的长度也为 6，只要圆周卷积的长度不小于线性卷积的长度，二者的结果就一定相同。2.设 x(k)为长度为 N 的有限长序列，其 N 点 DFT 为 X(m)。现通过补零将 x(k)的长度扩大 L 倍，成为长度为 LN 的序列 y(k)，即 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 y(k)的长度为 LN，于是由 DFT 的定义有 考虑到当 NkLN 时，y(k
23、)=0，且 0kN 时，y(k)=x(k)，故有 对于 x(k)，由 IDFT 公式有 将式代入式，同时为了与式中变量 m 相区别，将式中变量 m 换成 n，于是得到 交换式中两个求和的顺序，可得 当 m 为 L 的整数倍时，不妨设 m=iL，i=0，1，2，N-1，则 易见若 in，则 ，只有当 i=n 时， ，即当 m 为 L 的倍数时， 综上所述，y(k)的 DFT 为 3.设 x(k)为长度为 N 的有限长序列，其 N 点 DFT 为 X(m)。现通过在 x(k)的每两点间补上 L-1 个零将其扩展为长度等于 NL 的新的序列 y(k)，即 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解
24、y(k)的长度为 NL，于是由 DFT 的定义有 对于 y(k)来说，当 kiL(i=0，1，2，N-1)时，y(k)=0，所以 当 m=0，1，2，N-1 时， Y(m)=X(m) 当 mN-1 时，不妨设 m=pN+q(p=1，2，L-1；q=0，1，2，N-1) 则由于 4.设 x(k)为长度为 N 的有限长序列，其 N 点 DFT 为 X(m)。现以 N 为周期，将其周期延拓成长度等于 NL 的新的序列，即 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 y(k)的长度为 NL，由 DFT 定义有 由于 ，所以上式可表示成为 当 m 为 L 的倍数时， 当 m 不为 L 的倍数时， 。而
25、综上所述，y(k)的 NL 点 DFT 为 5.设 N 点复数序列 x(k)的 DFT 为 X(m)，证明其共轭序列 x*(k)的 DFT 等于 X*(N-m)。 （分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 由 DFT 的定义，x*(k)的 N 点 DFT 为 6.设复数序列 c(k)=x(k)+jy(k)，其中 x(k)和 y(k)是两个实数序列，分别对应于 c(k)的实部和虚部。假设已知 c(k)的 DFT 等于 C(m)，求 x(k)和 y(k)的 DFT。 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由题意知 且 于是 考虑到 x(k)和 y(k)都是实数序列，可得 由式+式可得 由
26、式-式可得 即 x(k)的 DFT 为 y(k)的 DFT 为 已知序列 x(k)的 N 点 DFT 为 X(m)，利用 DFT 的移频特性求下列序列的 DFT。（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 DFT 的移频特性有 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 DFT 的移频特性有 7.利用 DFT 的卷积性质求题中各对序列的 4 点循环卷积。 (1)f 1 (k)=4，2，10，5，f 2 (k)=3，7，9，11 (2)f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=1，1，1，1 (3)f 1 (k)1，1，1，1，f 2 (k)=1，1，1 (4)f 1 (k)1，2，3，4，f 2 (k)=0，1，0 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 本题中涉及的循环卷积的长度及 DFT、FDFT 的长度均为 4，故只需考虑 W 4 方阵。以下计算均利用矩阵，W 4 方阵直接给出其值。 (1)f 1 (k)=4，2，10，5，f 2 (k)=3，7，9，11 先求 F 1 (m)和 F
