1、 2013 年山东省日照市中考 真题 数学 一、选择题：本大题共 12 小题，其中 1-8 题每小题 3 分， 9-12 题每小题 3 分，满分 40 分 .在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上 . 1.（ 3 分）计算 22+3 的结果是（ ） A.7 B.5 C. 1 D. 5 解析 ： 根据有理数的乘方，以及有理数的加法运算法则进行计算即可得解 . 答案： C. 2.（ 3 分）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误；
2、C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 . 答案： A. 3.（ 3 分）如图， H7N9病毒直径为 30 纳米（ 1 纳米 =10 9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（ ） A.3010 9米 B.3.010 8米 C.3.010 10米 D.0.310 9米 解析 ： 由于 1 纳米 =10 9米，则 30 纳米 =3010 9米 =310 8米 . 答案： B. 4.（ 3 分）下列计算正确的是（ ） A.（ 2a） 2=2a2 B.a6a 3=a2 C. 2（ a 1） =2 2a D.aa2=a2 解析 ： A、（ 2a） 2=4a2，
3、选项错误； B、 a6a 3=a3，选项错误； C、正确； D、 aa2=a3，选项错误 . 答案： C. 5.（ 3 分）如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用 “ 上限不在内 ” 的原则，如年龄为 36 岁统计在 36x 38 小组，而不在 34x 36 小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（ ） A.该学校教职工总人数是 50 人 B.年龄在 40x 42 小组的教职工人数占学校教职工人数的 20% C.教职工年龄的中位数一定落在 40x 42 这一组 D.教职工年龄的众数一定在 38x 40 这一组 解析 ： A、该学校教职工总人数是 4+6+11+10+9+
4、6+4=50（人），故正确； B、在 40x 42 小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的比例是： 100%=20% ，故正确； C、教职工年龄的中位数一定落在 40x 42 这一组，正确； D、教职工年龄的众数一定在 38x 40 这一组 .错误 . 答案： D. 6.（ 3 分）如果点 P（ 2x+6， x 4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么 x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 解析 ：根据题意得： ， 由 得： x 3；由 得： x 4， 则不等式组的解集为 3 x 4，表示在数轴上，如图所示： . 答案： C. 7.（ 3 分）四个命题： 三角形的一条
5、中线能将三角形分成面积相等的两部分； 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； 点 P（ 1， 2）关于原点的对称点坐标为（ 1， 2）； 两圆的半径分别是 3 和 4，圆心距为 d，若两圆有公共点，则 1 d 7. 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确； 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，错误； 点 P（ 1， 2）关于原点的对称点坐标为（ 1， 2），正确； 两圆的半径分别是 3 和 4，圆心距为 d，若两圆有公共点，则 1d7 ，故本小题错误 . 综上所述，正确的是 . 答案： B. 8.（ 3
6、分）已知一元二次方程 x2 x 3=0 的较小根为 x1，则下面对 x1的估计正确的是（ ） A. 2 x1 1 B. 3 x1 2 C.2 x1 3 D. 1 x1 0 解析 ： x2 x 3=0， b2 4ac=（ 1） 2 41 （ 3） =13， x= ， 方程的最小值是 ， 3 4， 3 4， 2， 2， 1 答案： A. 9.（ 4 分）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3 天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ） A.8 B.7 C.6 D.5 解析 ：设甲志愿者计划完成此项工作需 x
7、 天，故甲、乙的工效都为： ， 甲前两个工作日完成了 ，剩余的工作日完成了 ， ， 则 + =1， 解得 x=8， 经检验， x=8 是原方程的解 . 答案 ： A. 10.（ 4 分）如图，在 ABC 中，以 BC 为直径的圆分别交边 AC、 AB 于 D、 E 两点，连接 BD、DE.若 BD 平分 ABC ，则下列结论不一定成立的是（ ） A.BDAC B.AC2=2ABAE C.ADE 是等腰三角形 D.BC=2AD 解析 ： BC 是直径， BDC=90 ， BDAC ，故 A 正确； BD 平分 ABC ， BDAC ， ABC 是等腰三角形， AD=CD， 四边形 BCDE 是圆
8、内接四边形， AED=ACB ， ADEABC ， ADE 是等腰三角形， AD=DE=CD ， = = = ， AC 2=2ABAE，故 B 正确； 由 B 的证明过程，可得 C 选项正确 . 答案： D. 11.（ 4 分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律 .根据此规律，图形中 M 与m、 n 的关系是（ ） A.M=mn B.M=n（ m+1） C.M=mn+1 D.M=m（ n+1） 解析 ： 1 （ 2+1） =3， 3 （ 4+1） =15， 5 （ 6+1） =35， ， M=m （ n+1） . 答案： D. 12.（ 4 分）如图，已知抛物线 y1= x2+4x
9、 和直线 y2=2x.我们约定：当 x 任取一值时， x 对应的函数值分别为 y1、 y2，若 y1y 2，取 y1、 y2中的较小值记为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2.下列判断： 当 x 2 时， M=y2； 当 x 0 时， x 值越大， M 值越大； 使得 M 大于 4 的 x 值不存在； 若 M=2，则 x=1. 其中正确的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 ： 当 y1=y2时，即 x2+4x=2x 时， 解得： x=0 或 x=2， 当 x 2 时，利用函数图象可以得出 y2 y1；当 0 x 2 时， y1 y2；当 x 0时，利用函数图象可
10、以得出 y2 y1； 错误； 抛物线 y1= x2+4x，直线 y2=2x，当 x 任取一值时， x 对应的函数值分别为 y1、 y2.若 y1y 2，取 y1、 y2中的较小值记为 M； 当 x 0 时，根据函数图象可以得出 x 值越大， M 值越大； 正确； 抛物线 y1= x2+4x 的最大值为 4，故 M 大于 4 的 x 值不存在， 正确； 如图：当 0 x 2 时， y1 y2； 当 M=2， 2x=2， x=1； x 2 时， y2 y1； 当 M=2， x2+4x=2， x1=2+ ， x2=2 （舍去）， 使得 M=2 的 x 值是 1 或 2+ ， 错误； 正确的有 两个
11、. 答案： B. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4分，满分 16 分 .不需写出 答案 过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上 . 13.（ 4 分）要使式子 有意义，则 x 的取值范围是 . 解析 ：根据题意得， 2 x0 ， 解得 x2 . 答案 ： x2 . 14.（ 4 分）已知 m2 m=6，则 1 2m2+2m= . 解析 ： m 2 m=6， 1 2m2+2m=1 2（ m2 m） =1 26= 11. 答案 ： 11. 15.（ 4 分）如右图，直线 AB 交双曲线 于 A、 B，交 x 轴于点 C， B 为线段 AC 的中点，过点 B 作 BMx 轴于 M，连结 O
12、A.若 OM=2MC， SOAC =12.则 k 的值为 . 解析 ：过 A 作 ANOC 于 N， BMOC ANBM ， ， B 为 AC 中点， MN=MC ， OM=2MC ， ON=MN=CM ， 设 A 的坐标是（ a， b）， 则 B（ 2a， b）， S OAC =12. 3ab=12， ab=8 ， B 在 y= 上， k=2a b=ab=8， 答案 ： 8. 16.（ 4 分）如图（ a），有一张矩形纸片 ABCD，其中 AD=6cm，以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相切，将矩形纸片 ABCD沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 上，如图（ b） .则半圆还露在外
13、面的部分（阴影部分）的面积为 . 解析 ：作 OHDK 于 H，连接 OK， 以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相切， AD=2CD ， AD=2CD ， C=90 ， DAC=30 ， ODH=30 ， DOH=60 ， DOK=120 ， 扇形 ODK 的面积为 =3cm 2， ODH=OKH=3 0 ， OD=3cm， OH= cm， DH= cm； DK=3 cm， ODK 的面积为 cm2， 半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（ 3 ） cm2. 答案 ：（ 3 ） cm2. 三、 解答 题：本大题有 6 小题，满分 64分 .请在答题卡指定区域内作答， 答案 时应写
14、出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（ 10 分）（ 1）计算： . （ 2）已知，关于 x 的方程 x2 2mx= m2+2x 的两个实数根 x1、 x2满足 |x1|=x2，求实数 m 的值 . 解析 ： （ 1）原式第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果； （ 2）将方程整理为一般形式，根据方程有解得到根的判别式的值大于等于 0，列出关于 m的不等式，求出不等式的解集得到 m 的范围，根据两根满足的关系式，利用绝对值的代数意义化简，即可求出满足题意 m 的值 . 答案 ： （ 1）原式 = +（ 2） 2 +1
15、= 1； （ 2）原方程可变形为： x2 2（ m+1） x+m2=0， x 1、 x2是方程的两个根， 0 ，即 4（ m+1） 2 4m20 ， 8m+40 ， 解得： m ， 又 x1、 x2满足 |x1|=x2， x 1=x2或 x1= x2，即 =0 或 x1+x2=0， 由 =0 ，即 8m+4=0，得 m= ， 由 x1+x2=0，即： 2（ m+1） =0，得 m= 1，（不合题意，舍去）， 则当 |x1|=x2时， m 的值为 . 18.（ 10 分）如图，已知四边形 ABDE 是平行四边形， C 为边 BD 延长线上一点，连结 AC、 CE，使 AB=AC. （ 1）求证：
16、 BADAEC ； （ 2）若 B=30 ， ADC=45 ， BD=10，求平行四边形 ABDE 的面积 . 解析 ： （ 1） 根据平行四边形的性质得出，再利用全等三角形的判定方法得出即可； （ 2）首先根据锐角三角函数关系得出 BG= x，进而利用 BG DG=BD 求出 AG 的长，进而得出平行四边形 ABDE 的面积 . 答案 ： （ 1） AB=AC ， B=ACB . 又 四边形 ABDE 是平行四边形 AEBD ， AE=BD， ACB=CAE=B ， 在 DBA 和 EAC 中 ， DBAEAC （ SAS）； （ 2）过 A 作 AGBC ，垂足为 G.设 AG=x， 在
17、RtAGD 中， ADC=45 ， AG=DG=x ， 在 RtAGB 中， B=30 ， BG= ， 又 BD=10 . BG DG=BD，即 ， 解得 AG=x= ， S 平行四边形 ABDE=BDAG=10 （ ） = . 19.（ 10 分） “ 端午 ” 节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为 ；妈妈从盒中取出火腿粽子 3 只、豆沙粽子 7 只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为 . （ 1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？ （ 2）若小明一次从 盒内剩余粽子
18、中任取 2 只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各 1 只的概率是多少？（用列表法或树状图计算） 解析 ： （ 1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为 x 只、 y 只，然后根据概率的意义列出方程组，求解即可； （ 2）根据题意，列出表格，然后根据概率公式列式计算即可得解 . 答案 ： （ 1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为 x 只、 y 只， 根据题意得： ， 解得： ，经检验符合题意， 所以爸爸买了火腿粽子 5 只、豆沙粽子 10 只； （ 2）由题可知，盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为 2 只、 3 只，我们不妨把两只火腿粽子记为 a1、 a2； 3 只豆沙粽子记为 b1、 b2、 b3，
19、则可列出表格如下： 一共有 10 种情况，恰有火腿粽子、豆沙粽子各 1 只的有 6 种情况， 所以， P（ A） = = = . 20.（ 10 分）问题背景： 如图（ a），点 A、 B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B ，连接 AB 与直线 l交于点 C，则点 C 即为所求 . （ 1）实践运用： 如图（ b），已知， O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上， ACD=30 ， B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为 . （ 2）知识拓展： 如图（ c
20、），在 RtABC 中， AB=10， BAC=45 ， BAC 的平分线交 BC 于点 D， E、 F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出 答案 过程 . 解析 ： （ 1）找点 A 或点 B 关于 CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和 CD的交点 P 就是所求作的位置 .根据题意先求出 CAE ，再根据勾股定理求出 AE，即可得出PA+PB 的最小值； （ 2）首先在斜边 AC 上截取 AB=AB ，连结 BB ，再过点 B 作 BFAB ，垂足为 F，交 AD于 E，连结 BE，则线段 BF 的长即为所求 . 答案 ： （ 1）作点 B
21、关于 CD 的对称点 E，连接 AE 交 CD 于点 P， 此时 PA+PB 最小，且等于 AE. 作直径 AC ，连接 CE . 根据垂径定理得 = . ACD=30 ， AOD=60 ， DOE=30 ， AOE=90 ， CAE=45 ， 又 AC 为圆的直径， AEC=90 ， C=CAE=45 ， CE=AE= AC=2 ， 即 AP+BP 的最小值是 2 . 答案 ： 2 ； （ 2）如图，在斜边 AC 上截取 AB=AB ，连结 BB . AD 平分 BAC ， BAM=BAM ， 在 BAM 和 BAM 中 ， BAMBAM （ SAS）， BM=BM ， BMA=BMA=90
22、 ， 点 B 与点 B 关于直线 AD 对称 . 过点 B 作 BFAB ，垂足为 F，交 AD 于 E，连结 BE， 则线段 BF 的长即为所求 .（点到直线的距离最短） 在 RtAFB 中， BAC=45 ， AB=AB=10 ， BF=ABsin45=ABsin45=10 =5 ， BE+EF 的最小值为 . 21.（ 10 分）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100 辆 .公司在经营中发现每辆车的月租金 x（元）与每月租出的车辆数（ y）有如下关系： x 3O00 3200 3500 4000 y 100 96 90 80 （ 1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的
23、有关知识求出每月租出的车辆数 y（辆）与每辆车的月租金 x（元）之间的关系式 . （ 2）已知租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元 .用含 x（ x3000 ）的代数式填表： 租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收 所有未租出的车辆每月的维护 益 费 （ 3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元 . 解析 ： （ 1）判断出 y 与 x 的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式； （ 2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可 . （ 3）租
24、出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益 . 答案 ： （ 1）由表格数据可知 y 与 x 是一次函数关系， 设其解析式为 y=kx+b. 由题： 解之得： y 与 x 间的函数关系是 . （ 2）如下表： （ 3）设租赁公司获得的月收益为 W 元，依题意可得： W=（ +160）（ x 150）（ x 3000） =（ x2+163x 24000）（ x 3000） = x2+162x 21000 = （ x 4050） 2+307050 当 x=4050 时， Wmax=307050， 即：当每辆车的月租金为 4050 元时，公司获得最大月收益 307050 元 . 答案 ：
25、， . 22.（ 14 分）已知，如图（ a），抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（ x1， 0）， B（ x2， 0）， C（ 0，2），其顶点为 D.以 AB 为直径的 M 交 y 轴于点 E、 F，过点 E 作 M 的切线交 x轴于点N.ONE=30 ， |x1 x2|=8. （ 1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （ 2）连结 AD、 BD，在（ 1）中的抛物线上是否存在一点 P，使得 ABP 与 ADB 相似（除去全等这一情况）？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由； （ 3）如图（ b），点 Q 为 上的动点（ Q 不与 E、 F 重合），连结 AQ交 y 轴
26、于点 H，问： AHAQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 . 解析 ： （ 1）由已知条件求出圆的半径 r，在 RtMNE 中，利用切线的性质，求出 MN 的长度，从而求出点 A、点 B 的坐标；然后利用交点式求出抛物线的解析式，并进而确定顶点 D坐标； （ 2）点 P 可能在抛物线左侧或右侧，需要分类讨论 .如答图 2，利用反证法证明点 P 不存在； （ 3）证明 AQFAFH ，可得 AHAQ=AF2；根据垂径定理及勾股定理，可得 AF 为定值，故AHAQ 为定值 . 答案 ： （ 1）圆的半径 r= = = =4. 如答图 1，连接 ME， NE 是切线， MENE
27、. 在 RtMNE 中， ONE=30 ， MA=ME=4， EMN=60 ， MN=8， OM=2 ， OA=2 ， OB=6. 点 A、 B 的坐标分别为（ 2， 0）、（ 6， 0） . 抛物线过 A、 B 两点，所以可设抛物线解析式为： y=a（ x+2）（ x 6）， 又 抛物线经过点 C（ 0， 2）， 2=a（ 0+2）（ 0 6），解得 a= . 抛物线的解析式为： y= （ x+2）（ x 6） = x2 x 2. y= x2 x 2= （ x 2） 2 ， 顶点 D 的坐标为（ 2， ） . （ 2）如答图 2，由抛物线的对称性可知： AD=BD， DAB=DBA . 若在
28、抛物线对称轴的右侧图象上存在点 P，使 ABP 与 ADB 相似， 必须有 BAP=BPA=BAD . 设 AP 交抛物线的对称轴于 D 点， 显然 ， 直线 AP 的解析式为 ， 由 ，得 x1= 2（舍去）， x2=10. P （ 10， 8） . 过 P 作 PGx 轴，垂足为 G，在 RtBGP 中， BG=4， PG=8， PBAB .BAPBPA . PAB 与 BAD 不相似， 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点 . 所以在该抛物线上不存在点 P，使得 PAB 与 DAB 相似 . （ 3）如答图 3，连结 AF、 QF， 在 AQF 和 AFH 中， 由垂径定理易知：弧 AE=弧 AF. AQF=AFH ， 又 QAF=HAF ， AQFAFH ， ， AHAQ=AF 2 在 RtAOF 中， AF2=AO2+OF2=22+（ 2 ） 2=16（或利用 AF2=AOAB=28=16 ） AHAQ=16 即： AHAQ 为定值 .
