1、上海交通大学信号处理与系统处理真题 2010 年及答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、B/B(总题数：1，分数：7.00)1.如果附图 1(a)所示通信子系统，若输入信号 x(t)的频谱如附图 1(b)所示，试求该系统的输出 s(t)及其频谱 S()。（分数：7.00）_二、B/B(总题数：1，分数：20.00)某二阶线性非时变因果系统在三种输入 e1(t)、e 2(t)、e 3(t)时，起始状态均相同。（分数：20.01）(1).当 e1(t)=(t)时，系统的全响应 r1(t)=3e-2t(t)；当 e2(t)=(t)时，系统的全响应 r2(t)=2e-t(t)。试求系
2、统的单位冲激响应 h(t)，并写出该系统的微分方程；（分数：6.67）_(2).当系统的输入为 e3(t)=t(t)-(t-1)(t-1)，求系统的全响应。（分数：6.67）_(3).当系统的零输入响应等于冲激响应时，求系统的起始状态 r(0-)和 r(0-)。（分数：6.67）_三、B/B(总题数：1，分数：14.00)设 f(t)为一带限信号，其频谱 F()如附图 1 所示。（分数：14.00）(1).分别求出 f(2t)、f(t/2)的采样频率 s和采样周期 Ts；（分数：7.00）_(2).用周期冲激串 （分数：7.00）_四、B/B(总题数：1，分数：16.00)2.已知有差分方程
3、y(n)+ay(n-1)+by(n-2)=x(n)+cx(n-1)+dx(n-2)，其中 a、b、c、d 均为实常数，描述的离散 LSI 因果系统的系统函数具有如下特征：系统函数 H(z)有一个二阶零点 z=0；H(z)的一个极点在 1/2 处；H(1)=8/3。试求：(1)该系统的 H(z)，确定 a、b、c、d；(2)画出系统函数的零、极点图，并说明该系统是否稳定；(3)当系统的输入 x(n)=(n)+2(n-3)时，求该系统的零状态响应；(4)对任意n，当系统的输入 x(n)=2n，求该系统的输出。（分数：16.00）_五、B/B(总题数：1，分数：7.00)3.设一 8 点实序列 x(
4、n)=0，n0，n7，并设 X(k)=0 为其 8 点 DFT。利用 x(n)计算 （分数：7.00）_六、B/B(总题数：1，分数：14.00)两个有限长序列 x(n)和 y(n)，已知当 n0，n40 和 9n30 时 x(n)=0，并且当 n10 和 n19 时 y(n)=0，令 w(n)表示 x(n)和 y(n)的线性卷积，g(n)表示 x(n)和 y(n)的 40 点循环卷积。（分数：14.00）(1).求可使 w(n)为非零的 n 值；（分数：7.00）_(2).求可由 g(n)得出 w(n)的 n 值，并清楚地说明 g(n)中的 n 取哪些数时 w(n)的这些值会出现。（分数：7
5、.00）_七、B/B(总题数：1，分数：14.00)可以用冲激不变法将一个模拟滤波器转换成一个数字滤波器，已知模拟滤波器的传输函数为 （分数：14.00）(1).相应的数字滤波器的传输函数 H(z)(要求给出具体的系数)；（分数：7.00）_(2).用两个数字滤波器并联的形式，画出所求数字滤波器的模拟框图(其中一个为二阶，另一个为一阶)。（分数：7.00）_八、B/B(总题数：1，分数：8.00)考察附图 1(a)所示系统，其输入为 x(n)，输出为 y(n)，频率响应为 H1(ej )的离散 LSI 系统是一个截止频率为 /4rad/s 的理想低通滤波器，其频率响应如附图 1(b)所示。（分
6、数：8.00）(1).求该系统总的频率响应 H(ej )；（分数：4.00）_(2).说明 H(ej )表示的滤波器是一个什么类型的滤波器(低通，高通，)，并指出具有响应频率特性的频带范围。（分数：4.00）_上海交通大学信号处理与系统处理真题 2010 年答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、B/B(总题数：1，分数：7.00)1.如果附图 1(a)所示通信子系统，若输入信号 x(t)的频谱如附图 1(b)所示，试求该系统的输出 s(t)及其频谱 S()。（分数：7.00）_正确答案：(解：将系统框图进行简化，如附图 2(a)所示：则有：H 1()=Fcos4t=(+4)+
7、(-4)又 Fsin4t=j(+4)-(-4)，所以：H2()=jsgnj(+4)-(-4)=-sgn(+4)-sgn(-4)=(+4)+(-4)可见，H 1()=H 2()=(+4)+(-4)S()=X()H 1()+X()H 2()=X()2H 1()=2H 1()X()=2X()(+4)+(-4)又知 X()(+4)是将 x(t)频谱左移四个单位，X()(-4)是将 x(t)频谱右移四个单位，同时幅度都减半，所以可得 S()的频谱如附图 2(b)所示。*附图 2由 S()图形可知，S()是一个带通信号，有：S()=G 2(+5)+G 2(-5)其中，G 表示窗函数，其以 y 轴为对称轴。
8、通过傅里叶逆变换，可知：s(t)=F -1S()=F -1G2(+5)+G 2(-5)=F-1G2()(e j5t+e-j5t)=*)解析：二、B/B(总题数：1，分数：20.00)某二阶线性非时变因果系统在三种输入 e1(t)、e 2(t)、e 3(t)时，起始状态均相同。（分数：20.01）(1).当 e1(t)=(t)时，系统的全响应 r1(t)=3e-2t(t)；当 e2(t)=(t)时，系统的全响应 r2(t)=2e-t(t)。试求系统的单位冲激响应 h(t)，并写出该系统的微分方程；（分数：6.67）_正确答案：(解：设系统的单位阶跃响应为 g(t)，零输入响应为 rzi(t)。将
9、全响应分解为零输入响应与零状态响应之和，得：h(t)+rzi(t)=r1(t)=3e-2t(t)，g(t)+r zi(t)=r2(t)=2e-t(t)将上述两式做拉氏逆变换，可得：H(s)+R zi(s)=*，G(s)+R zi(s)=*整理得H(s)+R zi(s)-G(s)+Rzi(s)=*，即：*因为阶跃响应与冲激响应是一种微分关系，因此 G(s)=*H(s)，代入上式得：*所以系统的单位冲激响应为：h(t)=(2e -2t-e-t)(t)同时，(s 2+3s+2)Y(s)=sX(s)，对等号两边式子做拉氏逆变换，可得：* (Y(s)逆变换为 r(t)，X(s)逆变换为 e(t)则所求微
10、分方程为：*另外，本小题还有一种解法：以 e1(t)-e2(t)作为激励时，则其零状态响应为 r1(t)-r2(t)，其中的零输入响应通过与全响应作差而抵消，因此有：Le1(t)-e2(t)=L(t)-(t)=*，Lr 1(t)-r2(t)=L3e-2t(t)-2e -t(t)=*因此有：*这样也可以求出系统的单位冲激响应 h(t)及微分方程。)解析：(2).当系统的输入为 e3(t)=t(t)-(t-1)(t-1)，求系统的全响应。（分数：6.67）_正确答案：(由上题得 h(t)，即输入为 (t)的零状态响应为：h(t)=(2e -2t-e-t)(t)所以，系统零输入响应为：r zi(t)
11、=r1(t)-h(t)=(e-2t+e-t)(t)可以把 e3(t)拆成 e31(t)、e 32(t)两部分 e3(t)=e31(t)-e32(t)，且有 e32(t)=e31(t-1)。又 e31(t)=t(t)=*()d，且当输入为 (t)时，该系统零状态响应为 r2(t)-rzi(t)，则：y31(f)=*r2()-r zi()d=*(2e -2 -e-2 -e- )()d*又因为 e32(t)=e31(t-1)，同时该系统为非时变系统，所以当输入为 e32(t)时，系统零状态响应 y32(t)=y31(t-1)，即：y 32(t)=y31(t-1)=*又知输入 e3(t)=e31(t)
12、-32(t)，所以当系统输入为 e3(t)时，全响应为：y3(t)=y31(t)-y32(t)+rzi(t)*)解析：(3).当系统的零输入响应等于冲激响应时，求系统的起始状态 r(0-)和 r(0-)。（分数：6.67）_正确答案：(对于零输入响应有 e(t)=0。解法一：在之前求出了系统的微分方程，对该微分方程进行单边拉氏变换，可得：s2R(s)-sr(0-)-r(0-)+3sR(s)-3r(0-)+R(s)=0整理，得：*由前面可知，单位冲激响应的拉氏变换即为*，与上式比较可知，欲使系统的零输入响应等于冲激响应，则可得：*解法二：从概念上理解，系统的起始状态就是零输入状态在 0-时刻的值
13、。而 r(0-)则是零输入响应求导后在 0-时刻的取值，所以：r(0-)=h(t)|t=0-=(2e-2t-e-t)(t)| t=0-=1，r(0 -)=h(t)|t=0-=(-4e-2t+e-t)(t)| t=0-=-3)解析：三、B/B(总题数：1，分数：14.00)设 f(t)为一带限信号，其频谱 F()如附图 1 所示。（分数：14.00）(1).分别求出 f(2t)、f(t/2)的采样频率 s和采样周期 Ts；（分数：7.00）_正确答案：(解：f(2t)的频率是 f(t)的 2 倍，f(t/2)的频率是 f(t)的 1/2，所以 f(2t)的截止频率是16rad/s，f(t)的截止
14、频率是 4rad/s。采样定理表明采样频率要满足为最高频率的 2 倍，所以对 f(2t)，有 s=32rad/s；对 f(t/2)，有 s=8rad/s。采样频率和采样周期的关系是 s=2/T s，所以，对 f(2t)，有 Ts=*；对 f(t/2)，有 Ts=*。综上可得，对 f(2t)， s=32rad/s，T s=*；对 f(t/2)， s=8rad/s，T s=*。)解析：(2).用周期冲激串 （分数：7.00）_正确答案：(通过上题中的分析可得 f(2t)频谱如附图 2(a)所示。f(t/2)频谱如附图 2(b)所示。*附图 2冲激串*，可见采样周期为*，采样频率为 16rad/s。
15、根据采样周期定理可知，要想不发生混叠，采样频率要为信号最高频率的 2 倍，综合上题的分析可知，fs(2t)的频谱发生混叠；f s(t/2)的频谱不发生混叠。)解析：四、B/B(总题数：1，分数：16.00)2.已知有差分方程 y(n)+ay(n-1)+by(n-2)=x(n)+cx(n-1)+dx(n-2)，其中 a、b、c、d 均为实常数，描述的离散 LSI 因果系统的系统函数具有如下特征：系统函数 H(z)有一个二阶零点 z=0；H(z)的一个极点在 1/2 处；H(1)=8/3。试求：(1)该系统的 H(z)，确定 a、b、c、d；(2)画出系统函数的零、极点图，并说明该系统是否稳定；(
16、3)当系统的输入 x(n)=(n)+2(n-3)时，求该系统的零状态响应；(4)对任意n，当系统的输入 x(n)=2n，求该系统的输出。（分数：16.00）_正确答案：(解：(1)对差分方程两边做 z 变换，可得：Y(z)+az-1Y(z)+bz-2Y(z)=X(z)+cz-1X(z)+dz-2X(z)合并，得：(1+az -1+bz-2)Y(z)=(1+cz-1+dz-2)X(z)因此，有：*因为有一个二阶零点，所以：c=d=0因为 H(z)有一个极点为 1/2，所以：z 2+az+b|z=1/2=0 又* 联立、式，可得：*(2)z2+az+b=z2-*，可见 H(z)的两极点分别是 1/
17、4、1/2。)解析：五、B/B(总题数：1，分数：7.00)3.设一 8 点实序列 x(n)=0，n0，n7，并设 X(k)=0 为其 8 点 DFT。利用 x(n)计算 （分数：7.00）_正确答案：(解：利用 IDFT 公式，有：x(n)=IDFTX(k)=*，0nN-1由题意，N=8，所以：*=x(n)| n=0=x(n)=x(0)解析：六、B/B(总题数：1，分数：14.00)两个有限长序列 x(n)和 y(n)，已知当 n0，n40 和 9n30 时 x(n)=0，并且当 n10 和 n19 时 y(n)=0，令 w(n)表示 x(n)和 y(n)的线性卷积，g(n)表示 x(n)和
18、 y(n)的 40 点循环卷积。（分数：14.00）(1).求可使 w(n)为非零的 n 值；（分数：7.00）_正确答案：(解：由题意可知，x(n)在 09、3039(包含临界点)处有非零值；y(n)在 1019(包含临界点)处有非零值。将 x(n)分成 x1(n)、x 2(n)两个部分，其中：x 1(n)与 x(n)在 09 处取值相等，其余为 0；x 2(n)与 x(n)在3039 处取值相等，其余为 0；则可得：w(n)=x(n)*y(n)=x1(n)+x2(n)*y(n)=x1(n)*y(n)+x2(n)*y(n)x1(n)*y(n)取非零值的范围是 1028，x 2(n)*y(n)
19、取非零值的范围是 4058，所以，w(n)为非零值的 n值范围是 1028，4058(包含 10、28、40、58)。)解析：(2).求可由 g(n)得出 w(n)的 n 值，并清楚地说明 g(n)中的 n 取哪些数时 w(n)的这些值会出现。（分数：7.00）_正确答案：(解：因为 w(n)表示 x(n)和 y(n)的线性卷积，g(n)表示 x(n)和 y(n)的 40 点循环卷积，所以w(n)和 g(n)的关系是，w(n)以 40 为周期，进行周期延拓后，再取其 039 处的值赋予 g(n)的 039 处，且 g(n)其余各处值均为零值。 由于 w(n)非零取值范围是 1028、4050，
20、则会发现 g(n)已发生混叠，其中，g(n)在 09 范围的值可由 w(n)在 4050 范围的值得到，即：g(n)=w(n-40)，n=0，1，9。 g(n)在 1018 处已发生混叠，可由 w(n)在 1018 和 5058 处混叠得到，即： g(n)=w(n)+w(n-40)，n=10，11，18 g(n)在 1928 范围的值可由 w(n)在 1928 范围的值得到，即：g(n)=w(n)，n=19，20，28 g(n)在 2939 范围内取零值。)解析：七、B/B(总题数：1，分数：14.00)可以用冲激不变法将一个模拟滤波器转换成一个数字滤波器，已知模拟滤波器的传输函数为 （分数：
21、14.00）(1).相应的数字滤波器的传输函数 H(z)(要求给出具体的系数)；（分数：7.00）_正确答案：(解：*由此，得：极点 s1=-1，*，则相应数字滤波器极点为：z1=e-1，*可得传输函数：*)解析：(2).用两个数字滤波器并联的形式，画出所求数字滤波器的模拟框图(其中一个为二阶，另一个为一阶)。（分数：7.00）_正确答案：(解：* 由上式可以看出，第一项为一阶，第二项为二阶。 根据数字滤波器特点，可以画出框图如下图所示。 * 其中，*。)解析：八、B/B(总题数：1，分数：8.00)考察附图 1(a)所示系统，其输入为 x(n)，输出为 y(n)，频率响应为 H1(ej )的
22、离散 LSI 系统是一个截止频率为 /4rad/s 的理想低通滤波器，其频率响应如附图 1(b)所示。（分数：8.00）(1).求该系统总的频率响应 H(ej )；（分数：4.00）_正确答案：(解：一个系统在级联情况下，包含的各个小系统可以调换位置，而保持总系统函数不变，所以，该系统可以调整为如附图 2(a)所示结构。其中，根据 z 变换性质有*，其傅里叶变换为*。根据卷积定义，有：(-1) n*(-1)n=*(-1)m(-1)n-m=*(-1)n(-1)m-m=(-1)n所以，系统可以进一步简化为如附图 2(b)所示结构。*附图 2所以：Y(e j )=X(ej )H(ej )H(ej )=H1(ej )+*)解析：(2).说明 H(ej )表示的滤波器是一个什么类型的滤波器(低通，高通，)，并指出具有响应频率特性的频带范围。（分数：4.00）_正确答案：(解：由 H(ej )表示的两个小系统级联形成可以看出，系统函数分别为 H1(ej )和*。可知，前者为低通滤波器，后者为全通滤波器，所以 H(ej )是低通滤波器，频带范围是：*)解析：
