1、2014 年黑龙江省哈尔滨市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30分 ) 1.(3 分 )哈市某天的最高气温为 28 ，最低气温为 21 ，则这一天的最高气温与最低气温的差为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析 ： 28-21=28+(-21)=7， 答案： C. 2.(3 分 )用科学记数法表示 927 000 正确的是 ( ) A. 9.2710 6 B. 9.2710 5 C. 9.2710 4 D. 92710 3 解析 ： 927 000=9.2710 5. 答案： B. 3.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. 3a-2a=1
2、 B. a2+a5=a7 C. a2a 4=a6 D. (ab)3=ab3 解析 ： A、系数相加字母部分不变，故 A 错误； B、不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故 B 错误； C、底数不变指数相加，故 C 正确； D、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 D 错误； 答案： C. 4.(3 分 )下列图形中，不是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误； 答案： B. 5.(3 分 )在反比例函数 的图象的每一条曲
3、线上， y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是 ( ) A. k 1 B. k 0 C. k1 D. k 1 解析 ： 根据题意，在反比例函数 图象的每一支曲线上， y 都随 x 的增大而减小， 即可得 k-1 0，解得 k 1. 答案： A. 6.(3 分 )如图的几何体是由一些小正方形组合而成的，则这个几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从几何体的上面看共有 3 列小正方形，右边有 2 个，左边有 2 个，中间上面有 1 个， 答案： D. 7.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径， AC 是 O 的切线，连接 OC 交 O 于点 D，连接 BD， C
4、=40 .则 ABD 的度数是 ( ) A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 解析 ： AC 是 O 的切线， OAC=90 ， C=40 ， AOC=50 ， OB=OD ， ABD=BDO ， ABD+BDO=AOC ， ABD=25 ， 答案： B. 8.(3 分 )将抛物线 y=-2x2+1 向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位后所得到的抛物线为( ) A. y=-2(x+1)2-1 B. y=-2(x+1)2+3 C. y=-2(x-1)2+1 D. y=-2(x-1)2+3 解析 ： 将抛物线 y=-2x2+1 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的
5、抛物线为y=-2(x-1)2+3， 答案： D. 9.(3 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ， B=60 ， BC=2， ABC 可以由 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到，其中点 A 与点 A 是对应点，点 B 与点 B 是对应点，连接 AB ，且A、 B 、 A 在同一条直线上，则 AA 的长为 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 3 解析 ： 在 RtABC 中， ACB=90 ， B=60 ， BC=2， CAB=30 ，故 AB=4， ABC 由 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到，其中点 A 与点 A 是对应点，点 B 与点 B是对应点，连接 AB ，且 A、
6、B 、 A 在同一条直线上， AB=AB=4 ， AC=AC ， CAA=A=30 ， ACB=BAC=30 ， AB=BC=2 ， AA=2+4=6. 答案： A. 10.(3 分 )早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路 (直路 )上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家， 15 分钟妈妈到家，再经过 3 分钟小刚到达学校，小刚始终以 100米 /分的速度步行，小刚和妈妈的距离 y(单位：米 )与小刚打完电话后的步行时间 t(单位：分 )之间的函数关系如图，下列四种说法： 打电话时，小刚和妈妈的距离为 1
7、250 米； 打完电话后，经过 23 分钟小刚到达学校； 小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为 150 米 /分； 小刚家与学校的距离为 2550 米 .其中正确的个数是 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析 ： 由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为 1250 米是正确的； 因为打完电话后 5 分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家， 15 分钟妈妈到家，再经过 3 分钟小刚到达学校，经过 5+15+3=23 分钟小刚到达学校，所以是正确的； 打完电话后 5 分钟两人相遇后，妈妈的速度是 12505 -100=150 米 /分，走的路程为1505=750 米，
8、回家的速度是 75015=50 米 /分，所以回家的速度为 150 米 /分是错误的； 小刚家与学校的距离为 750+(15+3)100=2550 米，所以是正确的 . 正确的答案有 . 答案： C. 二、填空题 (共 10 小题，每小题 3 分，共计 30分 ) 11.(3 分 )计算： = . 解析 ： =2 - = . 答案： . 12.(3 分 )在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 由题意得， 2x+40 ，解得 x -2. 答案： x -2. 13.(3 分 )把多项式 3m2-6mn+3n2分解因式的结果是 . 解析 ： 3m2-6mn+3n2=3(m2-2m
9、n+n2)=3(m-n)2. 答案： 3(m-n)2. 14.(3 分 )不等式组 的解集是 . 解析 ： ，由 得， x1 ，由 得， x -1，故此不等式组的解集为： -1 x1. 答案： -1 x1. 15.(3 分 )若 x=-1 是关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m+1=0的一个解，则 m的值为 . 解析 ： 将 x=-1 代入方程得： 1-3+m+1=0，解得： m=1. 答案： 1 16.(3 分 )在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、 2、 3、 4，随机地摸取一个小球记下标号后放回，再随机地摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球标号都是 1
10、 的概率为 . 解析 ： 列表如下： 所有等可能的情况有 16 种，其中两次摸取的小球标号都是 1 的情况有 1 种，则 P= . 答案： 17.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AB=4， BC=6，若点 P 在 AD 边上，连接 BP、 PC， BPC 是以 PB 为腰的等腰三角形，则 PB 的长为 . 解析 ： 如图，在矩形 ABCD 中， AB=CD=4， BC=AD=6. 如图 1，当 PB=PC 时，点 P 是 BC 的中垂线与 AD 的交点，则 AP=DP= AD=3. 在 RtABP 中，由勾股定理得 PB= = =5； 如图 2，当 BP=BC=6 时， BPC 也是
11、以 PB 为腰的等腰三角形 .综上所述， PB 的长度是 5 或 6. 答案： 5 或 6. 18.(3分 )一个底面直径为 10cm，母线长为 15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度 . 解析 ： 底面直径为 10cm， 底面周长为 10 ，根据题意得 10= ，解得 n=120. 答案： 120. 19.(3 分 )如图，在正方形 ABCD 中， AC 为对角线，点 E 在 AB 边上， EFAC 于点 F，连接 EC，AF=3， EFC 的周长为 12，则 EC 的长为 . 解析 ： 四边形 ABCD 是正方形， AC 为对角线， EAF=45 ， 又 EFAC ， AFE=90 ，
12、 AEF=45 ， EF=AF=3 ， EFC 的周长为 12， FC=12 -3-EC=9-EC， 在 RtEFC 中， EC2=EF2+FC2， EC 2=9+(9-EC)2，解得 EC=5. 答案： 5. 20.(3 分 )如图，在 ABC 中， 4AB=5AC， AD 为 ABC 的角平分线，点 E在 BC 的延长线上， EFAD于点 F，点 G 在 AF 上， FG=FD，连接 EG 交 AC 于点 H.若点 H是 AC 的中点，则 的值为 . 解析 ： 已知 AD 为角平分线，则点 D 到 AB、 AC 的距离相等，设为 h. = = = = ， BD= CD. 如 图，延长 AC
13、，在 AC 的延长线上截取 AM=AB，则有 AC=4CM.连接 DM. 在 ABD 与 AMD 中， ABDAMD(SAS) ， MD=BD= CD. 过点 M 作 MNAD ，交 EG 于点 N，交 DE于点 K. MNAD ， = = ， CK= CD， KD= CD.MD=KD ，即 DMK 为等腰三角形， DMK=DKM. 由题意，易知 EDG 为等腰三角形，且 1=2 ； MNAD ， 3=4=1=2 ， 又 DKM=3( 对顶角 )DMK=4 ， DMGN ， 四边形 DMNG 为平行四边形， MN=DG=2FD. 点 H 为 AC 中点， AC=4CM， = . MNAD ，
14、= ，即 ， = . 答案： . 三、解答题 (共 8 小题，其中 21-24 题各 6 分， 25-26 题各 8 分， 27-28 题各 10 分，共计 10分 ) 21.(6 分 )先化简，再求代数式 - 的值，其中 x=2cos45+2 ， y=2. 解析 ： 原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将 x 与 y 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = = = ， 当 x=2 +2= +2， y=2 时，原式 = = . 22.(6 分 )如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，四边形 ABCD 的四个顶点都在小正方形的顶点上，点 E 在 BC 边上，且点 E 在
15、小正方形的顶点上，连接 AE. (1)在图中画出 AEF ，使 AEF 与 AEB 关于直线 AE 对称，点 F 与点 B是对称点； (2)请直接写出 AEF 与四边形 ABCD 重叠部分的面积 . 解析 ： (1)根据 AE 为网格正方形的对角线，作出点 B 关于 AE 的对称点 F，然后连接 AF、 EF即可； (2)根据图象，重叠部分为两个直角三角形的面积的差，列式计算即可得解 . 答案： (1)AEF 如图所示； (2)重叠部分的面积 = 44 - 22 =8-2=6. 23.(6 分 )君畅中学计划购买一些文具送给学生，为此学校决定围绕 “ 在笔袋、圆规、直尺、钢笔四种文具中，你最需
16、要的文具是什么？ (必选且只选一种 )” 的问题，在全校满园内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，最需要圆规的学生有多少名？并补全条形统计图； (2)如果全校有 970 名学生，请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名？ 解析 ： (1)由最需要直尺的学生数除以占的百分比求出总人数，确定出最需要圆规的学生数，补全条形统计图即可； (2)求出最需要钢笔的学生占的百分比，乘以 970 即可得到结果 . 答案： (1)根据题意得： 1830%=60( 名 )， 60-(21+18+6)=15(名 )， 则
17、本次调查中，最需要圆规的学生有 15 名，补全条形统计图，如图所示： (2)根据题意得： 970 =97(名 )， 则估计全校学生中最需要钢笔的学生有 97 名 . 24.(6 分 )如图， AB、 CD 为两个建筑物，建筑物 AB 的高度为 60 米，从建筑物 AB的顶点 A点测得建筑物 CD 的顶点 C 点的俯角 EAC 为 30 ，测得建筑物 CD的底部 D点的俯角 EAD为 45 . (1)求两建筑物底部之间水平距离 BD 的长度； (2)求建筑物 CD 的高度 (结果保留根号 ). 解析 ： (1)根据题意得： BDAE ，从而得到 BAD=ADB=45 ，利用 BD=AB=60，求
18、得两建筑物底部之间水平距离 BD 的长度为 60 米； (2)延长 AE、 DC 交于点 F，根据题意得四边形 ABDF 为正方形，根据 AF=BD=DF=60，在 RtAFC中利用 FAC=30 求得 CF，然后即可求得 CD 的长 . 答案： (1)根据题意得： BDAE ， ADB=EAD=45 ， ABD=90 ， BAD=ADB=45 ， BD=AB=60 ， 两建筑物底部之间水平距离 BD 的长度为 60 米； (2)延长 AE、 DC 交于点 F，根据题意得四边形 ABDF 为正方形， AF=BD=DF=60 ， 在 RtAFC 中， FAC=30 ， CF=AFtanFAC=6
19、0 =20 ， 又 FD=60 ， CD=60 -20 ， 建筑物 CD 的高度为 (60-20 )米 . 25.(8 分 )如图， O 是 ABC 的外接圆，弦 BD 交 AC 于点 E，连接 CD，且 AE=DE， BC=CE. (1)求 ACB 的度数； (2)过点 O 作 OFAC 于点 F，延长 FO 交 BE 于点 G， DE=3， EG=2，求 AB的长 . 解析 ： (1)首先得出 AEBDEC ，进而得出 EBC 为等边三角形，即可得出答案； (2)由已知得出 EF， BC 的长，进而得出 CM， BM 的长，再求出 AM 的长，再由勾股定理求出AB 的长 . 答案： (1)
20、在 AEB 和 DEC 中 ， ， AEBDEC(ASA) ， EB=EC ， 又 BC=CE ， BE=CE=BC ， EBC 为等边三角形， ACB=60 ； (2)OFAC ， AF=CF ， EBC 为等边三角形， GEF=60 ， EGF=30 ， EG=2 ， EF=1 ， 又 AE=ED=3 ， CF=AF=4 ， AC=8 ， EC=5， BC=5 ， 作 BMAC 于点 M， BCM=60 ， MBC=30 ， CM= ， BM= = ， AM=AC -CM= ， AB= =7. 26.(8 分 )荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒
21、多用 20 元，若用 400 元购买台灯和用 160 元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半 . (1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ (2)经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的 2 倍还多 8 个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过 670 元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 解析 ： (1)设购买该品牌一个手电筒需要 x 元，则购买一个台灯需要 (x+20)元 .则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程； (2)设公司购买台灯的个数为 a，则还需要购买
22、手电筒的个数是 (2a+8-a)个，则根据 “ 该公司购买台灯 和手电筒的总费用不超过 670 元 ” 列出不等式 . 答案： (1)设购买该品牌一个手电筒需要 x 元，则购买一个台灯需要 (x+20)元 . 根据题意 得 = 解得 x=5 经检验， x=5 是原方程的解 .所以 x+20=25. 答：购买一个台灯需要 25 元，购买一个手电筒需要 5 元； (2)设公司购买台灯的个数为 a，则还需要购买手电筒的个数是 (2a+8-a) 由题意得 25a+5(2a+8-a)670 ， 解得 a21 ， 荣庆公司最多可购买 21 个该品牌的台灯 . 27.(10 分 )如图，在平面直角坐标中，点
23、 O 为坐标原点，直线 y=-x+4 与 x 轴交于点 A，过点A 的抛物线 y=ax2+bx 与直线 y=-x+4 交于另一点 B，且点 B 的横坐标为 1. (1)求 a， b 的值； (2)点 P 是线段 AB 上一动点 (点 P 不与点 A、 B 重合 )，过点 P作 PMOB 交第一象限内的抛物线于点 M，过点 M 作 MCx 轴于点 C，交 AB于点 N，过点 P 作 PFMC 于点 F，设 PF的长为t， MN 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式 (不要求写出自变量 t的取值范围 )； (3)在 (2)的条件下，当 SACN =SPMN 时，连接 ON，点 Q 在线段
24、BP 上，过点 Q 作 QRMN 交 ON于点 R，连接 MQ、 BR，当 MQR -BRN=45 时，求点 R 的坐标 . 解析 ： (1)利用已知得出 A， B 点坐标，进而利用待定系数法得出 a， b 的值； (2)已知 MN=d， PF=t，由图可知 MN=MF+FN，不妨将 MF 和 FN 用 PF代替，即可得到 MN与 PF的关系：利用 45 的直角三角形和平行线性质可推得 FN=PF=t， MPF=BOD ，再利用tanBOD=tanMPF ，得 = =3，从而有 MF=3PF=3t，从而得出 d 与 t 的函数关系； (3)过点 N 作 NHQR 于点 H，由图象可知 R 点横
25、坐标为 OC-HN，纵坐标为 CN-RH.OC=OA-AC，其中 OA 已知，利用 SACN =SPMN 求得 AC=2t，再将用 t 表示的 M 点坐标代入抛物线解析式求得t 值，即得 AC 的值，又由 (2)中 AC=CN，可知 CN，则求得 HN 和 RH 的值是关键 .根据tanHNR=tanNOC ，可得 = = ，设 RH=n， HN=3n，勾股定理得出 RN 的值，再利用已知条件证得 PMQNBR ，建立比例式求得 n 值，即可得出 HN 和 RH 的值，从而得到 R 的坐标 . 答案： (1)y= -x+4 与 x 轴交于点 A， A(4 ， 0)， 点 B 的横坐标为 1，且
26、直线 y=-x+4 经过点 B， B(1 ， 3)， 抛物线 y=ax2+bx 经过 A(4， 0)， B(1， 3)， ，解得： ， a= -1， b=4； (2)如图，作 BDx 轴于点 D，延长 MP 交 x 轴于点 E， B(1 ， 3)， A(4， 0)， OD=1 ， BD=3， OA=4， AD=3 ， AD=BD ， BDA=90 ， BAD=ABD=45 ， MCx 轴， ANC=BAD=45 ， PNF=ANC=45 ， PFMC ， FPN=PNF=45 ， NF=PF=t ， PFM=ECM=90 ， PFEC ， MPF=MEC ， MEOB ， MEC=BOD ，
27、MPF=BOD ， tanBOD=tanMPF ， = =3，MF=3PF=3t ， MN=MF+FN ， d=3t+t=4t ； (3)如备用图，由 (2)知， PF=t， MN=4t， S PMN = MNPF= 4tt=2t 2， CAN=ANC ， CN=AC ， S ACN = AC2， S ACN =SPMN ， AC2=2t2， AC=2t ， CN=2t ， MC=MN+CN=6t ， OC=OA -AC=4-2t， M(4 -2t， 6t)， 由 (1)知抛物线的解析式为： y=-x2+4x， 将 M(4-2t， 6t)代入 y=-x2+4x 得： -(4-2t)2+4(4-
28、2t)=6t，解得： t1=0(舍 )， t2= ， PF=NF= ， AC=CN=1， OC=3， MF= ， PN= ， PM= ， AN= ， AB=3 ， BN=2 ，作 NHRQ 于点 H， QRMN ， MNH=RHN=90 ， RQN=QNM=45 ， MNH=NCO ， NHOC ， HNR=NOC ， tanHNR=tanNOC ， = = ， 设 RH=n，则 HN=3n， RN= n， QN=3 n， PQ=QN -PN=3 n- ， ON= = ， OB= = ， OB=ON ， OBN=BNO ， PMOB ， OBN=MPB ， MPB=BNO ， MQR -BRN
29、=45 ， MQR=MQP+RQN=MQP+45 ， BRN=MQP ， PMQ NBR ， = ， = ，解得： n= ， R 的横坐标为： 3- = ， R 的纵坐标为： 1- = ， R( ， ). 28.(10分 )如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点 E，且 ACBD ， ADB=CAD+ABD ，BAD=3CBD . (1)求证： ABC 为等腰三角形； (2)M 是线段 BD 上一点， BM： AB=3： 4，点 F 在 BA 的延长线上，连接 FM， BFM 的平分线 FN交 BD 于点 N，交 AD 于点 G，点 H为 BF中点，连接 MH，当 GN=GD
30、 时，探究线段 CD、 FM、 MH之间的数量关系，并证明你的结论 . 解析 ： (1)根据等式的性质，可得 APE=ADE ，根据等腰三角形的性质，可得 PAD=2 ，根据直角三角形的性质，可得 AEB+CBE=90 ，根据等式的性质，可得 ABC=ACB ，根据等腰三角形的判定，可得答案； (2)根据相似三角形的判定与性质，可得 ABE=ACD ，根据等腰三角 形的性质，可得GND=GDN ，根据对顶角的性质，可得 AGF 的度数，根据三角形外角的性质， AFG 的度数，根据直角三角形的性质，可得 BF与 MH的关系，根据等腰三角形的性质，可得 FRM=FMR ，根据平行线的判定与性质，可
31、得 CBD=RMB ，根据相似三角形的判定与性质，可得，根据线段的和差，可得 BR=BF-FR，根据等量代换，可得答案 . 答案： (1)证明：如图 1，作 BAP=DAE ， AP 交 BD 于 P， 设 CBD= ， CAD= ， ADB=CAD+ABD ， APE=BAP+ABD ， APE=ADE ， AP=AD. ACBD PAE=DAE= ， PAD=2 ， BAD=3. BAD=3CBD ， 3=3 ， =. ACBD ， ACB=90 -CBE=90 -=90 -. ABC=180 -BAC -ACB=90 - ， ACB=ABC ， ABC 为等腰三角形； (2)2MH=FM
32、+ CD.证明：如图 2， 由 (1)知 AP=AD， AB=AC， BAP=CAD= ， ABPACD ， ABE=ACD. ACBD ， GDN=90 - ， GN=GD ， GND=GDN=90 - ， NGD=180 -GND -GDN=2. AGF=NGD=2. AFG=BAD -AGF=3 -2=. FN 平分 BFM ， NFM=AFG= ， FMAE ， FMN=90. H 为 BF 的中点， BF=2MH. 在 FB 上截取 FR=FM，连接 RM， FRM=FMR=90 -. ABC=90 - ， FRM=ABC ， RMBC ， CBD=RMB. CAD=CBD= ， RMB=CAD. RBM=ACD ， RMBDAC ， ， BR= CD. BR=FB -FM， FB -FM=BR= CD， FB=FM+ CD.2MH=FM+ CD.
