1、考研数学（数学二）模拟试卷 448 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在区间a，b上存在一阶导数，且 f(a) f(b)则必存在 x 0 (a，b)使 ( )（分数：2.00）A.f(x 0 ) f(a)B.f(x 0 ) f(b)C.f(x 0 )= D.f(x 0 )= 4.设函数 z=z(z，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F 2 0则 （分数：2.00）A.xB.yC.zD
2、.05.设 （分数：2.00）A.f(x)与 g(x)都存在原函数B.f(x)与 g(x)都不存在原函数C.f(x)存在原函数，g(x)不存在原函数D.f(x)不存在原函数，g(x)存在原函数6.设 F(x)可导，下述命题：F(x)为偶函数的充要条件是 F(x)为奇函数；F(x)为奇函数的充要条件是 F(x)为偶函数；F(x)为周期函数的充要条件是 F(x)为周期函数正确的个数是 ( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个7.设 （分数：2.00）A.偏导数存在，但函数不连续B.偏导数不存在，但函数连续C.偏导数存在，函数连续，但函数不可微D.函数可微8.设 E 是 n
3、阶单位阵，E+A 是 n 阶可逆阵，则下列关系式中不恒成立的是( )（分数：2.00）A.(EA)(E+A) 2 =(E+A) 2 (EA)B.(EA)(E+A) T =(E+A) T (EA)C.(EA)(E+A) 1 =(E+A) 1 (EA)D.(EA)(E+A) * =(E+A) * (EA)9.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则和()等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 C. 1 2 ， 2 + 3 ， 3 4 ， 4 + 1 D. 1 ， 1 2
4、 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_12.心形线 r=a(1+cos)(常数 a0)的全长为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x 0 )存在，且 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 3 阶矩阵，满足 A 2 =A，则(A+3E) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤。_17.设平面区域 D 是由参数方程 0t2 给出的曲线与 x 轴围成的区域，求二重积分 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).讨论函数 f(x)的奇偶性、单调性、极值；（分数：2.00）_(2).讨论曲线 y=f(x)的凹凸性、拐点、渐近线，并根据以上的讨论结果，画出函数 y=f(x)的大致图形（分数：2.00）_18.设 a，b，n 都是常数， 已知 （分数：2.00）_19.一容器在开始时盛有盐水 100 升，其中含净盐 10 千克，然后以每分钟 2 升的速率注入清水，同时又以每分钟 2 升的速率将含盐均匀的盐水放出，并设容器中装有搅拌器使容器中的溶液总保持均匀求
6、经过多少分钟，容器内含盐的浓度为初始浓度的一半?（分数：2.00）_20.设 z=z(x，y)是由方程 x 2 +2yz=e z 所确定，求 （分数：2.00）_21.求由方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xzz+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值（分数：2.00）_22.(1)设圆盘的半径为 R，厚为 h点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方，求该圆盘的质量 m；(2)将以曲线 （分数：2.00）_设 3 维向量组 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关（分数：4.00）(1).证明存在非零 3 维向量 ， 既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性
7、表出；（分数：2.00）_(2).若 1 =(1，2，3) T ， 2 =(2，1，1) T ， 1 = (2，1，4) T ， 2 =(5，3，5) T 求既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出的所有非零向量 （分数：2.00）_23.(1)设 A，B 是 n 阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明 AB 和 BA 有相同的特征值，且 ABBA；(2)对一般的 n 阶矩阵 A，B，证明 AB 和 BA 有相同的特征值，并请同是否必有 ABBA?说明理由（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 448 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题
8、数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：作积分变量代换 u=xt，3.设 f(x)在区间a，b上存在一阶导数，且 f(a) f(b)则必存在 x 0 (a，b)使 ( )（分数：2.00）A.f(x 0 ) f(a)B.f(x 0 ) f(b)C.f(x 0 )= D.f(x 0 )= 解析：解析：由于 f(a)f(b)，不妨设 f(a) f(b)，类似地可证 f(a) 5f(b)+2f(a) f(b) 一般地，设 为介于 f(a)与 f(b)之间的任意一个确定
9、的值在本题条件下有结论：存在 x 0 (a，b)使 f(x 0 )= 这个定理有点类似于连续函数介值定理，不过这里并不需要 f(x)连续而只要在a，b 上 f(x)存在即可此定理在一般教科书上没有讲，但考研中经常用到证明如下：令 (x)= f (x)x 有 (x)= f(x) (a)= f(a)0 于是知，存在 x 1 (a，b)使 (x 1 )2(a，b) (b)使中 (x 2 )0(a，b)，由费马定理知，有 (x 0 )=0即存在 x 0 (a，b)使 f(x 0 )= 回到本题，由于 = 5f(b)+2f(a)介于 f(a) 与 f(b)之间，所以存在 x 0 (a，b)使 f(x 0
10、 )= 4.设函数 z=z(z，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F 2 0则 （分数：2.00）A.xB.yC.z D.0解析：解析：方程 两边对 x 求偏导数，得 再将方程两边对 y 求偏导数，得5.设 （分数：2.00）A.f(x)与 g(x)都存在原函数B.f(x)与 g(x)都不存在原函数C.f(x)存在原函数，g(x)不存在原函数D.f(x)不存在原函数，g(x)存在原函数 解析：解析：g(x)在(1，1)内连续，所以存在原函数，f(x)在 x=0 处为第一类间断点，所以不存在原函数，如果 F(x)是 f(x)在区间(1，1)内的一个原函数f(x)=F(x)，而 f(x)
11、在 x=0 处为第一类间断点，而作为导函数 F(x)来说，是不可能存在第一类间断点的6.设 F(x)可导，下述命题：F(x)为偶函数的充要条件是 F(x)为奇函数；F(x)为奇函数的充要条件是 F(x)为偶函数；F(x)为周期函数的充要条件是 F(x)为周期函数正确的个数是 ( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析：解析：是正确的，证明如下：设 F(x)= f(x)为奇函数则 (x)= 0 x f (t)dt 必是偶函数证明如下： (x)= 0 x f (t)dt= 0 x f(t)(dt)= 0 x f(t)dt=(x) 又因 f(x)的任意一个原函数必是 (x
12、)+C 的形式，所以 f(x)的任意一个原函数必是偶函数必要性证毕 设 F(x)为偶函数： F(x)=F(x)， 两边对 x 求导，得 F(x)= F(x)， 所以 F(x)为奇函数，充分性证毕 是不正确的反例：(x 3 +1)=3x 2 为偶函数，但 x 3 +1 并非奇函数，必要性不成立 是不正确的反例：(sin x+x) =cosx+1 为周期函数，但 sin x+x 不是周期函数，必要性不成立7.设 （分数：2.00）A.偏导数存在，但函数不连续B.偏导数不存在，但函数连续C.偏导数存在，函数连续，但函数不可微D.函数可微 解析：解析：|f(x，y)|x 2 +y 2 ，令(x，y)(
13、0，0)，由夹逼定理有 故 A 不正确 同理f y (0，0)=0故 B 不正确 考虑点 O(0，0)处的f， 8.设 E 是 n 阶单位阵，E+A 是 n 阶可逆阵，则下列关系式中不恒成立的是( )（分数：2.00）A.(EA)(E+A) 2 =(E+A) 2 (EA)B.(EA)(E+A) T =(E+A) T (EA) C.(EA)(E+A) 1 =(E+A) 1 (EA)D.(EA)(E+A) * =(E+A) * (EA)解析：解析：因 EA=AE=A，AA 2 =A 2 A=A 3 ，AA 1 =A 1 A=E，AA * =A * A=|A|E，故知 A 和 E，A 2 ，A 1
14、，A * 乘法运算均可交换 但(E+A)(E+A) T (E+A) T (E+A)例 9.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则和()等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 C. 1 2 ， 2 + 3 ， 3 4 ， 4 + 1 D. 1 ， 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 解析：解析：两个向量组可以相互表出=两个向量组等价 两个向量组等价=等秩，但反之不成立，等秩不一定等价(但不等秩必不等价) 对于选项 D 令 1 = 1 ， 2 = 1 2 ，
15、3 = 2 3 ， 4 = 3 4 ， 5 = 4 5 ，则 1 = 1 ， 2 = 1 1 = 1 2 ， 3 = 2 3 = 1 2 3 ， 4 = 3 4 = 1 2 3 4 ， 故 D 和D 可相互表出，是等价向量组应选 D二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 ）解析：解析： 11.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xe 1x ）解析：解析：此为一阶齐次方程令 y=ux，有 ，原方程化为 12.心形线 r=a(1+cos)(常数 a0)的全长为 1（分数：2.00）填空项 1
16、:_ （正确答案：正确答案：8a）解析：解析：弧长13.设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2xy)dxxdy）解析：解析：设 xy=u， =v，有 x 2 = 则 f(u，v)=uv( 14.设 f(x 0 )存在，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 令 xx 0 ，两边取极限，由题设，知右边第一项趋于 1，第二项由洛必达法则有 所以 f(x 0 )=1+ 15.设 A 是 3 阶矩阵，满足 A 2 =A，则(A+3E) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
17、(A4E)）解析：解析：由题设 A 2 =A，则 A 2 A=(A+3E)(A4E)+12E=O即 (A+3E)(A4E)=12E， 整理得 (A+3E)(A4E)=E， 故得 (A+3E) 1 = 三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设平面区域 D 是由参数方程 0t2 给出的曲线与 x 轴围成的区域，求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先对 y 后对 x 积分，摆线纵坐标记为 y(x)，于是 上式中的 y=y(x)通过参数式联系着对上式作积分变量代换 x=a(tsin t)，从而 y(x)成为 t
18、的函数 y(t)=a(1cost)，于是)解析：设 （分数：4.00）(1).讨论函数 f(x)的奇偶性、单调性、极值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为二次式 x 2 x+1 的判别式(1) 2 4=3 2 x+10 恒成立，f(x)的定义域为(，+) 又 f(x)=f(x)，所以 f(x)为奇函数 当 0x 时，f(x) 时，f(x)的分子中两项分别记为 a，b，a0，b0，考虑 故 0ab所以当 x )解析：(2).讨论曲线 y=f(x)的凹凸性、拐点、渐近线，并根据以上的讨论结果，画出函数 y=f(x)的大致图形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(0)=0 所以
19、当x0 时，曲线 y=f(x)是凸的，当 0x+时，曲线是凹的点(0，f(0)为拐点易知无铅直渐近线考虑水平渐近线： 所以沿 x+方向有水平渐近线 y=1由于 f(x)为奇函数，所以沿 x+方向有一条水平渐近线 y=1 大致图形如下：)解析：18.设 a，b，n 都是常数， 已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 先将 (x)=arctanx 按麦克劳林公式展开至 n=7有 (0)=0， (0)=0由 有 (x)(1+x 2 )=1，记 (x)=g(x)，得 g(x)(1+x 2 )=1 将上式两边对 x 求 n 阶导数，由莱布尼茨高阶导数公式，有 g (n) (x)(1+x 2 )
20、+C n 1 g (n1) (x)2x+C n 2 g (n2) (x)2=0，n=2，3， 以 x=0 代入，得 g (n) (0)+n(n1)g (n2) (0)=0 g (n) (0)=n(n1)g (n2) (0) 即 (n+1) (0)=n(n1) (n1) (0)n=2，3， 由于已有 (0)=0，(0)=1，(0)=0，再由递推公式(*)得 “ (0)=2(0)=2， (4) (0)=0， (5) (0)=12“ (0)=24， (6) (0)=0， (7) (0)=30 (5) (0)=720 要使 n 尽可能的大，并使上述极限存在且不为零，先令 试之，得 的分子中 x 7 的
21、系数，得 取 n=7，上式成为 )解析：19.一容器在开始时盛有盐水 100 升，其中含净盐 10 千克，然后以每分钟 2 升的速率注入清水，同时又以每分钟 2 升的速率将含盐均匀的盐水放出，并设容器中装有搅拌器使容器中的溶液总保持均匀求经过多少分钟，容器内含盐的浓度为初始浓度的一半?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设从实验开始算起 t 分钟时，容器中含净盐 x 千克，此时容器内溶液为 100+2t2t=100(升)， 则含盐的浓度为 千克升， 从 t 到 t+dt 这段时间内，溶液中含盐量改变了 dx(dx0)，这些盐，以浓度为 体积为 2dt 的溶液的形式排出去，所以 这就是要建
22、立的微分方程由初始条件 x| t=0 =10(千克)，按分离变量的方法解得 初始浓度为 (千克升)，要使浓度为初始浓度的一半，即达到 (千克升)，应使 )解析：20.设 z=z(x，y)是由方程 x 2 +2yz=e z 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x 2 +2yz=e z 两边对 x，y 分别求偏导数，得 将 对 y 求偏导数，其中 z 应看作 x，y 的函数，有 )解析：21.求由方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xzz+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 F(x，y，z)=2x 2 +2y 2 +z
23、2 +8xzz+8，且令 解得 y=0，4x+8z=0，再与 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xzz+8=0 联立，解得两组解为 再求二阶偏导数并以两组解分别代入，得 所以，在点(x，y，z) 1 处，B 2 AC 0，故 z=1 为极小值；在点(x，y，z) 2 处B 2 AC )解析：22.(1)设圆盘的半径为 R，厚为 h点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方，求该圆盘的质量 m；(2)将以曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)如图(a)所示，以环细分圆盘，设环的宽度为 dr，内半径为 r，在环上点密度视为不变，为 r 2 ，质量微元为 dm= r 2 2
24、rdrh于是该圆盘的质量为 (2)如图(b)所示，该旋转体可看成由一个个薄片组成，由上一题，每一薄片的质量 其中 R 为 x 处的旋转半径，即 y，于是质量微元为 所以物体的质量为 )解析：设 3 维向量组 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关（分数：4.00）(1).证明存在非零 3 维向量 ， 既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是 3 维向量，4 个 3 维向量必线性相关由定义知，存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ， 1 ， 2 ，使得 k 1 1 + k 2 2 + 1 1 +
25、 2 2 =0 得 k 1 1 + k 2 2 = 1 1 2 2 取 = k 1 1 + k 2 2 = 1 1 2 2 ， 若 =0，则 k 1 1 + k 2 2 = 1 1 2 2 =0 因 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 也线性无关，从而得出 k 1 =k 2 ，且 1 = 2 ，这和 4 个 3 维向量必线性相关矛盾，故 0 即为所求的既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出的非零向量)解析：(2).若 1 =(1，2，3) T ， 2 =(2，1，1) T ， 1 = (2，1，4) T ， 2 =(5，3，5) T 求既可由 1 ， 2 线性表出，也可由
26、1 ， 2 线性表出的所有非零向量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 = k 1 1 + k 2 2 = 1 1 2 2 ，则得齐次线性方程组是k 1 1 + k 2 2 + 1 1 + 2 2 =0 将 1 ， 2 ， 1 ， 2 合并成矩阵，并作初等行变换得 解得 (k 1 ，k 2 ， 1 ， 2 )=k(1，2，1，1) 故既可由 1 ， 2 线性表出，又可以 1 ， 2 线性表出的所有非零向量为 其中 k 是任意的非零常数 或 )解析：23.(1)设 A，B 是 n 阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明 AB 和 BA 有相同的特征值，且 ABBA；(2)对一般的 n
27、阶矩阵 A，B，证明 AB 和 BA 有相同的特征值，并请同是否必有 ABBA?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)因为 A 有 n 个互不相同的非零特征值 =1，2，n，|A|=n!0，故 A 为可逆矩阵，从而有 |EAB|=|A(A 1 B)|=|A(EBA)A 1 | =|A|EBA|A 1 |=|EBA| 即 AB 和 BA 有相同的特征多项式故有相同的特征值 又若取可逆矩阵 P=A，则有 P 1 ABP=A 1 ABA=BA，故有 ABBA (2)若 AB 有特征值 =0，则|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|=0故 BA 也有特征值=0 若 AB 有特征值 0，按定义，有 AB=(0)， 其中 是 AB 的对应特征值 的特征向量 用 B 左乘上式两端，得 BAB=B， 即 BA(B)= (B)， 其中 B0(若 B=0，则有AB=0因 0，得 =0，这和 0 矛盾)BA 也有非零特征值 ，对应的特征向量为 B 故 AB 和 BA 有相同的特征值 一般 AB 与 BA 不相似例如， )解析：
