1、考研数学（数学二）模拟试卷 447 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.f(x)=cosx+(2x3) 3 + （分数：2.00）A.正好 1 个B.正好 2 个C.正好 3 个D.多于 3 个3.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.至少 3 条4.“|f(x)|在 x=a 处可导”是“f(x)在 x=a 处可导”的 ( )（分数：2.00）A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.既非充分又非必要条件D.充分必要条件5
2、.由方程 2y 3 2y 2 +2xy+yx 2 =0 确定的函数 y=y(x) ( )（分数：2.00）A.没有驻点B.有驻点但不是极值点C.驻点为极小值点D.驻点为极大值点6.( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 p(x)，q(x)，f(x)0 均是关于 x 的已知连续函数，y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)是 y+ p(x)y+q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解，C 1 ，C 2 是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 + (C 2 C 1 ) y 2 (1+ C 2 ) y 3 B.(C 1 C 2 )y 1
3、+( C 2 1) y 2 +(1C 1 ) y 3 C.(C 1 +C 2 ) y 1 +(C 1 C 2 )y 2 +(1C 1 ) y 3 D.C 1 y 1 + C 2 y 2 +(1C 1 C 2 ) y 3 8. 1 ， 2 ， 3 ， 4 均是 3 维非零向量则下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 + 3 ， 2 + 4 线性相关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关C.若 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性无关D.若 4 不可
4、由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关9.设 ，则 A 相似于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_12. 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 z=(1+x 2 y) xyz ，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y3y+2y=xe x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 是可逆矩阵，且 ，若 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.求 （分数：2.00）_18.设 f(x)在 x=0 处连续，且 x0 时， （分数：2.00）_19.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，(x1) 2 +y 2 1求 （分数：2.00）_20.求函数 在约束条件 （分数：2.00）_设 是常数，考虑积分 （分数：4.00）(1).证明上述积分总是收敛的；（分数：2.00）_(2).求上述积分的值（分数：2.00）_21.设微分方程 （分数：2.00）_22.设平面图形 D 由摆线 x=a(tsint)，y=a(1cost)，0t2 兀，a0 的第一拱与 x 轴围成，求该图形 D 对 y 轴的
6、面积矩 M y （分数：2.00）_23.设矩阵 （分数：2.00）_设齐次线性方程组 Ax=O 为 在方程组(*)的基础上增添一个方程 2x 1 +ax 2 4x 3 +bx 4 =0，得齐次线性方程组 Bx=0 为 （分数：4.00）(1).求方程组(*)的基础解系和通解；（分数：2.00）_(2).问 a，b 满足什么条件时，方程组(*)和(*)是同解方程组（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 447 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析
7、：2.f(x)=cosx+(2x3) 3 + （分数：2.00）A.正好 1 个B.正好 2 个C.正好 3 个 D.多于 3 个解析：解析：易知 f(1)=0， 所以 f(x)在(，+)上至少有 3 个零，又因 f(x)=sinx+6(2x3) 2 + 3.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.至少 3 条 解析：解析： 有一条垂直渐近线 x=0 有一条斜渐近线 又有一条斜渐近线4.“|f(x)|在 x=a 处可导”是“f(x)在 x=a 处可导”的 ( )（分数：2.00）A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.既非充分又非必要条件 D.充分必要条件解析：解
8、析：举反例说明既非充分又非必要条件例如设5.由方程 2y 3 2y 2 +2xy+yx 2 =0 确定的函数 y=y(x) ( )（分数：2.00）A.没有驻点B.有驻点但不是极值点C.驻点为极小值点 D.驻点为极大值点解析：解析：将所给方程两边对 x 求导数(y 看成由此式确定的 x 的函数)，有 6y 2 y4yy+2y+2xy+y2x=0， (6y 2 4y +2x+1)y+2(yx)=0 先考虑驻点，令 y=0，得y=x，再与原方程联立： 得 2x 3 2x 2 +2x 2 +xx 2 =0， 即 x (2x 2 x+1)=0 由于 2x 2 x+1 无实根，故得唯一实根 x=0，相应
9、地有 y=0在此点有 y=0不选 A 再看此点是否为极值点，求二阶导数，由 6.( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由积分上、下限知，积分区域 D=D 1 D 2 =(x，y)|0x1，0y1(x，y)|lnyx1，1ye =(x，y)|0ye x ，0y1 原式= 而 可看成圆心为原点，半径为 e x 的 圆面积，为 所以 原式= 7.设 p(x)，q(x)，f(x)0 均是关于 x 的已知连续函数，y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)是 y+ p(x)y+q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解，C 1 ，C 2 是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 (
10、)（分数：2.00）A.C 1 y 1 + (C 2 C 1 ) y 2 (1+ C 2 ) y 3 B.(C 1 C 2 )y 1 +( C 2 1) y 2 +(1C 1 ) y 3 C.(C 1 +C 2 ) y 1 +(C 1 C 2 )y 2 +(1C 1 ) y 3 D.C 1 y 1 + C 2 y 2 +(1C 1 C 2 ) y 3 解析：解析：实际上有下述定理设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0，考虑下述两个方程 y+p(x)y+q(x)y= f(x) (*) 及对应的齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 (*) 设 y 1 (x)，y 2 (x)
11、，y 3 (x)是(*)的 3 个解，A，B，C 为常数并设 y=A y 1 (x)+B y 2 (x)+Cy 3 (x) (*) 则(*)是(*)的解的充要条件是 A+B+C=1； 式(*)是(*)的解的充要条件是 A+B+C=0 设 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)是(*)的 3 个线性无关的解，A，B，C 中两个为任意常数 则(*)是(*)的通解的充要条件是 A+B+C=1； 式(*)是(*)的通解的充要条件是 A+B+C=0 本题用到上述验算上述 y 1 ，y 2 ，y 3 的系数之和，D 的系数之和为 C 1 +C 2 +(1C 1 C 2 )=1所以 D 是通解8.
12、1 ， 2 ， 3 ， 4 均是 3 维非零向量则下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 + 3 ， 2 + 4 线性相关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关C.若 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性无关D.若 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 解析：解析：对于 A，若 1 =(1，0，0)， 2 =(2，0，0) 1 ， 2 线性相关； 3 =(0，0，3)， 4 =(0，0，4) 3 ， 4 线性
13、相关 但 1 + 2 = (1，0，3)， 3 + 4 = (2，0，4)线性无关A 不成立 对于 B， 1 ， 2 ， 3 线性无关若取 1 = 1 ，则 1 + 1 =0，故 1 + 1 ， 2 + 1 ， 3 + 1 线性无关 B 不成立 对于 C，若 2 = 1 且 1 = 1 + 2 +2 3 但 1 ， 2 ， 3 ，线性相关C 不成立 由排除法应选 D对于 D，因为 4 个三维向量必线性相关若 1 ， 2 ， 3 ，线性无关则 1 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 (且表示法唯一)现 1 不能 1 ， 2 ， 3 线性表出，故 1 ， 2 ， 3 必线性相关，故应选D9.设
14、，则 A 相似于 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 是实对称阵，必相似于其特征值为对角元素的对角阵因 因选项 C 中矩阵 也有 1 =1， 2 =3，且 1 2 ， 故 由相似关系的传递性，得 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f(x)的表达式有 最后，分别写出自变量的取值范周，易见第 4 式中11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析：令 x1=u，
15、则 13.设 z=(1+x 2 y) xyz ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3xy 2 (1+x 2 y) xy2 ln(1+x 2 y)）解析：解析：由 z=(1+x 2 y) xy2 e xy2ln(1+x2y) ，易知 14.微分方程 y3y+2y=xe x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e x +C 2 e 2x ( ）解析：解析：对应的齐次方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 设原方程的一个特解为 y * =x(Ax+B)e x ，代入方程，得 y * =( x 2 x)e x ，所以
16、通解为 C 1 e x +C 2 e 2x ( 15.设 是可逆矩阵，且 ，若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：经观察，C 是由 A 经初等变换得到的，A 的 1，2 行互换后，再将第 3 列加到第 1 列得到 C，即 C=E 12 AE 31 (1)，故 C 1 =E 12 AE 31 (1) 1 = E 31 1 (1)A 1 E 31 (1)A1E 12 =*三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由拉格朗日中值定理，有 tan(ta
17、n x) tan(sin x)=Sec 2 (tan xsin x)，其中 介于 tan x 与 sin x 之间又 ，于是 )解析：18.设 f(x)在 x=0 处连续，且 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在 x=0 处连续，所以 )解析：19.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，(x1) 2 +y 2 1求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 用极坐标，如图所示，点 A 对应的极角为 由于 D 关于 x 轴对称，为 y 的奇函数， )解析：20.求函数 在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求函数 在约束条件 下的最大值与最小
18、值，等价于求函数 v=x 2 +y 2 +z 2 在同样的约束条件下的最大值与最小值令 F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z 2 +(x 2 +y 2 z 2 )+(x+y+z4) 得(+1)( xy)=0若 =1由可得，=0由得 与式矛盾故只能推得 x=y再由，两式，得(x 1 ，y 1 ，z 1 )或(x 2 ，y 2 ，z 2 )=(2，2，8) 由约束条件 x 2 +y 2 z=0 及 x+y+z4=0，可见 (x，y，z)只能在有限范围内变动，可见 在此范围内必存在最小值与最大值所以 )解析：设 是常数，考虑积分 （分数：4.00）(1).证明上述积分总是收敛的；（分数：2.0
19、0）_正确答案：(正确答案：若 0，则题给被积函数在区间0， +)上连续且为正值，且 左边积分随 X 的增大而增大，但积分值小于 ，所以 若 所以 x=0 不是瑕点，为讨论 x+的情形，令 =，0，于是 与上面谈论类似，知 )解析：(2).求上述积分的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作积分变量代换，令 有 )解析：21.设微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0，该微分方程可写为 由一阶线性非齐次微分方程通解公式得 对于不同的 C 求 V 的最小值，令 时对应的解 )解析：22.设平面图形 D 由摆线 x=a(tsint)，y=a(1cost)，0t2 兀，a0
20、 的第一拱与 x 轴围成，求该图形 D 对 y 轴的面积矩 M y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题中所给的 D 是一个以摆线一拱 x=a(tsint)，y= a(1cost)，0t2,a0 为上边界，x 轴为下边界，从 x=0 到 x=2a 的曲边梯形取竖条，其面积微元为 ydx，它对 y 轴的面积为xydx，所以 D 对 y 轴的面积矩为 M y = 0 2a xydx (*) 现在按此公式求 M y 将摆线表达式代入式(*)，可以看成将积分变量由 x 换成 t，得 M y = 0 2a xydx= 0 2 a 3 (tsint)(1cost) 2 dt =a 3 0 2 t(
21、1cost) 2 dta 3 0 2 sint(1cost) 2 dt 其中 I 1 = 0 2 t(1cost) 2 dt， I 2 = 0 2 sint(1cost) 2 dt 现用一个巧妙的办法计算 I 1 ，令 t=2u，则 I 1 = 0 2 (2u) (1cosu) 2 (du) = 0 2 2(1cosu) 2 du 0 2 u(1cosu) 2 du， 故 2I 1 = 0 2 2(1cosu) 2 du， )解析：23.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 =(+2)(1) 2 1=(+2)(2)，知 A 有特征值 1 =2， 1 =0， 3 =2 由于 A
22、 是实对称矩阵(或 A 有三个不同的特征值)，故 ，且存在正交矩阵 P，使得 P 1 AP= 1 故 A=P 1 P 1 ，代入矩阵 B，有 B=(E+A) n =(P 1 +P 1 P 1 ) n =P(E+ 1 )P 1 n =p(E+ 1 ) n P 1 )解析：设齐次线性方程组 Ax=O 为 在方程组(*)的基础上增添一个方程 2x 1 +ax 2 4x 3 +bx 4 =0，得齐次线性方程组 Bx=0 为 （分数：4.00）(1).求方程组(*)的基础解系和通解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).问 a，b 满足什么条件时，方程组(*)和(*)是同解方程组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组（*），（*）是通解方程=方程组（*）的通解方程组（*）的第 4 个方程 将（*）的通解代入，得 2(3k)+a(5k)4k+0=0，即5ak=10k，又 k 是任意常数，得a=2故当 a=2，b 为任意值时，方程组（*），（*）同解)解析：
