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    【考研类试卷】考研数学(数学二)模拟试卷446及答案解析.doc

    • 资源ID:1397397       资源大小:180.50KB        全文页数:9页
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    【考研类试卷】考研数学(数学二)模拟试卷446及答案解析.doc

    1、考研数学(数学二)模拟试卷 446 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 (分数:2.00)A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导3.当 x0 时,下列 3 个无穷小 (分数:2.00)A.,B.,C.,D.,4.设 (分数:2.00)A.maxf(x),g(x)B.minf(x),g(x)C.f(x)g(x)D.f(x)+g(x)5.设 f(x,y)=|xy|(x,y),其中 (x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,则“(0,0

    2、)=0”是“f(x,y)在点(0,0)处可微”的 ( )(分数:2.00)A.必要条件而非充分条件B.充分条件而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件6.设 (分数:2.00)A.a n+2 =a n+1 + a n B.a n+3 =a n C.a n+4 =a n+2 + a n D.a n+6 =a n 7.设 A,B,C 为常数,则微分方程 y+2y+5y=e x cos 2 x 有特解形式 ( )(分数:2.00)A.e x (A+Bcos2x+Csin2x)B.e x (A+Bxcos2x+Cxsin2x)C.e x (Ax+Bcos2x+Csin2x)D.e x (A

    3、x+Bxcos2x+Cxsin2x)8.已知 n 维向量组 1 , 2 , 3 , 4 是线性方程组 Ax=0 的基础解系,则向量组 a 1 +b 4 ,a 2 +b 3 ,a 3 +b 2 ,a 4 +b 1 也是 Ax=0 的基础解系的充分必要条件是 ( )(分数:2.00)A.a=bB.abC.abD.ab9.设 ,则 A 合同于 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:12.00)10.设 y=y(x)由方程 所确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_11.在(,+)内连续的充要条件是 a= 1,b= 2 (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_

    4、12.设 y=y(x)由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0 及 y(0)=0 所确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_13.设 y的系数为 1 的某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解为 y 1 * =(1x+x 2 )e x 与 y 1 * = x 2 e x 则该微分方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_14.设 f(lnx)=xlnx,则 f (n) (x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_15.设 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 f(x)其有二阶连续导数,f(0

    5、)=0,f(0)=0,f(0)0在曲线 y= f(x)上任意一点(x,f(x)(x0)处作切线,此切线在 x 轴上的截距记为 u,求 (分数:2.00)_18.设 a 为正常数,f(x)=xe a ae x x+a证明:当 xa 时,f(x)0在曲线 y= f(x)上任意一点(x,f(x)(x0)处作切线,此切线在 x 轴上的截距记为 u,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 f(0)=0 及 f(0)0,故存在 x=0 的一个去心邻域 U,使得当 xU 时,f(x)0过点(x,f(x)(x0)的切线方程为 Yf(x)=f(x)=f(x)(Xx) 令 Y=0,得截距 )解析:18

    6、.设 a 为正常数,f(x)=xe a ae x x+a证明:当 xa 时,f(x)0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(a)=0,f(x)=e a ae x 1,f(x)=ae x a ae x 1,(a)| a=0 ,(a)=ae x 0),即 f(a)0) 将 f(x)在 x=a 处按二阶泰勒公式展开: )解析:19.(1)求定积分 a n = 0 2 x(2xx 2 ) n dx,n=1,2,; (2)对于(1)中的 a n ,证明 a n+1(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)当 n2 时,计算 a n = 0 2 x(2xx 2 ) n dx= 0 2 x1(

    7、1x) 2 n dx, 作积分变量代换,令 1x=t,于是 a n = 1 1 (1t)(1t 2 ) n (dt)= 1 1 (1t 2 ) n dt 1 1 t(1t 2 ) n dt = 1 1 (1t 2 ) n dt =2 0 1 (1t 2 ) n dt 下面用分部积分计算: 所以 由此迭代式得 (2) 由 a n 的迭代式显然有 0a n a n1 (n=2,3,)又 )解析:设微分方程及初始条件为 (分数:4.00)(1).求满足上述微分方程及初始条件的特解;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:改写所给方程 由一阶线性微分方程的通解公式得通解 由初始条件y(1)=y 1

    8、,得 C=(y 1 +1)e 1 ,得初值问题的特解为 )解析:(2).是否存在常数 y 1 ,使对应的解 y=y(x)存在斜渐近线?若存在请求出此 y 1 ,及相应的斜渐近线方程(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:若 y(1)1,则 ,无斜渐近线若 y 1 =1,则 故此时有斜渐近线 )解析:20.设 f(x,y)=maxx,y,D=(x,y)|0x1,0y1) 求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:如图所示,曲线 y=x 和 y=x 2 ,将 D 划分成三块:D 1 D 2 D 3 , )解析:过坐标原点作曲线 y=e x 的切线,该切线与曲线 y=e x 以及 x 轴围成的

    9、向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D求(分数:4.00)(1).D 的面积 A;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:如图所示,设切点坐标为 P(x 0 ,y 0 ),于是曲线 y=e x 在点 P 的切线斜率为 y(x 0 )=e x0 , 切线方程为 yy 0 =e x0 (xx 0 ) 它经过点(0,0),所以y 0 =x 0 e x0 又因 y 0 =e x0 ,代入求得 x 0 =1, 从而 y 0 =e x0 =e,切线方程为 y=ex 取水平条面积元素,则 D 的面积 )解析:(2).D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积 V(分数:2.00)_正确答案:(正确答

    10、案:D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为 )解析:21.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:此为 y=f(y,y)型令 原方程化为 当 x=0 时,y=1,y=1代入得 1=(1+C 1 ),所以 C 1 =0,于是得 p 2 =y 4 ,故 p=y 2 (因 y=1 时,y=1,取正号),于是有 再分离变量积分得 将 x=0 时,y=1 代入得 C 2 =1从而得解 )解析:22.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将( 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 )作初等行变换,有 向量组 故应取 a=1,b=2,c=2 当 a=1,b=2,c=2

    11、时, 故( 1 , 2 , 3 )( 1 , 2 , 3 ),从而有 ( 1 , 2 , 3 )( 1 , 2 , 3 ) 求 1 由 1 , 2 , 3 线性表出的表出式,即解方程组 得通解为 l(4,1,2) T +(1,0,0) T 即 1 =(4l+1) 1 +l 2 +2l 3 求 1 由 1 , 2 , 3 线性表出的表出式,即解方程组 )解析:设 (分数:4.00)(1).A 是否相似于 B,说明理由;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 , 知 A 有特征值 1 = 2 =1, 3 =1, 当 1 = 2 =1, 所以 A 的对应于二重特征值 1 = 2 =1 的线性无关的特征向量有两个,则 A 可相似于对角矩阵 故 由 ,知 B 有特征值 1 = 2 =1, 3 =1,又 B 是实对称矩阵 故 则由相似矩阵的传递性知 )解析:(2).A 和 C 是否相似,说明理由(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 ,知 C 有特征值 1 = 2 =1, 3 =1 当 1 = 2 =1 时, )解析:


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