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    【考研类试卷】考研数学(数学二)模拟试卷440及答案解析.doc

    • 资源ID:1397391       资源大小:172KB        全文页数:8页
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    【考研类试卷】考研数学(数学二)模拟试卷440及答案解析.doc

    1、考研数学(数学二)模拟试卷 440及答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.下列无穷小中阶数最高的是( )(分数:2.00)A.e x e tanxB.C.ln(1+x)sinxD.3.下列命题正确的是( )(分数:2.00)A.若 f(x)在 x 0 处可导,则一定存在 0,在xx 0 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x 0 处连续,则一定存在 0,在xx 0 内 f(x)连续C.若 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导,f(x)在 x 0 处

    2、连续,且 存在,则 f(x)在 x 0 处可导,且f(x 0 )= 4.下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A.若 f(x 0 )0,则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值,则当 x(x 0 ,x 0 )时,f(x)单调增加,当 x(x 0 ,x 0 +)时,f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值,则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数,f“(0)0,则 f(x)在 x=0处一定取到极值5.设 0,f(x)在(,)内恒有 f“(x)0,且f(x)x 2 ,记 I= f(x)dx,则有( )(分数:2.00)A.I=0B.I0C.I0

    3、D.不能确定6.设 f有一阶连续的偏导数,且 f(x+y,xy)=4(x 2 xyy 2 ),则 xf x (x,y)+yf y (x,y)为( )(分数:2.00)A.2x 2 8xy2y 2B.2x 2 +8xy2y 2C.2x 2 8xy+2y 2D.2x 2 +8xy+2y 27.设 f(x)=x 3 3x+k 只有一个零点,则 k的取值范围是( )(分数:2.00)A.k1B.k1C.k2D.k28.设 (分数:2.00)A.P 1 P 2 1 AB.AP 1 P 2 1C.P 1 AP 2 1D.P 2 1 AP 19.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )为四阶方阵,且 1

    4、, 2 , 3 , 4 为非零向量组,设AX=0的一个基础解系为(1,0,4,0) T ,则方程组 A * X=0的基础解系为( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 3B. 1 + 3 , 3 , 4C. 1 , 3 , 4D. 1 + 2 , 2 +2 4 , 4二、填空题(总题数:6,分数:12.00)10.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_11.设 y=y(x)由 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_12.曲线 y= (分数:2.00)填空项 1:_13.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_14.y“2y3y=e x 的通解 1(分数:2.00)填空项 1:_15.

    5、设 A为三阶实对称矩阵, 1 =(m,m,1) T 是方程组 AX=0的解, 2 =(m,1,1m) T 是方程组(A+E)X=0的解,则 m= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.设 f(x)二阶可导,且 f(0)=0,令 g(x)= (分数:2.00)_18.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导(0ab )证明:存在 ,(a,b),使得(分数:2.00)_19.设 f(x)连续且 f(0)=0,f(0)=2,求极限 (分数:2.00)_20.计算积分 x 2 y

    6、 2 dxdy,其中 D是由直线 y=2,y=0,x=2 及曲线 x= (分数:2.00)_21.过点 P(0, )作抛物线 y= (分数:2.00)_22.求 z=x 2 2y 2 +2x+4在区域 x 2 +4y 2 4 上的最小值和最大值(分数:2.00)_23.设曲线 y=y(x)过(0,0)点,M 是曲线上任意一点,MP 是法线段,P 点在 X轴上,已知 MP的中点在抛物线 2y 2 =x上,求此曲线的方程(分数:2.00)_24.设 A是三阶实对称矩阵,存在可逆矩阵 P= ,使得 (分数:2.00)_25.设 A为三阶实对称矩阵,且存在正交矩阵 (分数:2.00)_考研数学(数学二

    7、)模拟试卷 440答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.下列无穷小中阶数最高的是( )(分数:2.00)A.e x e tanxB. C.ln(1+x)sinxD.解析:解析:e x e tanx =e tanx (e xtanx 1)xtanx, 3.下列命题正确的是( )(分数:2.00)A.若 f(x)在 x 0 处可导,则一定存在 0,在xx 0 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x 0 处连续,则一定存在 0,在xx 0 内 f(x)连续

    8、C.若 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导,f(x)在 x 0 处连续,且 存在,则 f(x)在 x 0 处可导,且f(x 0 )= 解析:解析: 对任意的 a0,因为 不存在,所以 f(x)在 x=a处不连续,当然也不可导,即x=0是 f(x)唯一的连续点和可导点,(A),(B)不对; 因为 f(x)在 x 0 处连续且在 x 0 的去心邻域内可导,所以由微分中值定理有 f(x)f(x 0 )=f()(xx 0 )或者 =f(),其中 介于 x 0 与 x之间,两边取极限得 存在,即 f(x)在 x 0 处可导,且 f(x 0 )= 4.下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A

    9、.若 f(x 0 )0,则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值,则当 x(x 0 ,x 0 )时,f(x)单调增加,当 x(x 0 ,x 0 +)时,f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值,则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数,f“(0)0,则 f(x)在 x=0处一定取到极值 解析:解析: f(x)0=f(x)在 x=0的任意邻域内都不单调减少,(A)不对; f(x)在 x=0处取得极大值,但其在 x=0的任一邻域内皆不单调,(B)不对;5.设 0,f(x)在(,)内恒有 f“(x)0,且f(x)x 2 ,记 I= f(x)dx,则有

    10、( )(分数:2.00)A.I=0B.I0 C.I0D.不能确定解析:解析:因为f(x)x 2 ,所以 f(0)=0,由f(x)x 2 ,得 0 x,由迫敛定理得 f(0)=0 由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ ,其中 介于 0与 x之间, 因为在(,)内恒有 f“(x)0,所以 I= f(x)dx= 6.设 f有一阶连续的偏导数,且 f(x+y,xy)=4(x 2 xyy 2 ),则 xf x (x,y)+yf y (x,y)为( )(分数:2.00)A.2x 2 8xy2y 2B.2x 2 +8xy2y 2C.2x 2 8xy+2y 2D.2x 2 +8xy+2y 2 解析:

    11、解析:令 x+y=u,xy=v,则 7.设 f(x)=x 3 3x+k 只有一个零点,则 k的取值范围是( )(分数:2.00)A.k1B.k1C.k2 D.k2解析:解析:f(x)为三次函数,至少有一个零点,因为函数不单调,故要使函数只有一个零点,必须极小值大于零或极大值小于零由 f(x)=3(x 2 1)=0,得驻点 x=1,且由图形可知,x=1 为极大点,x=1为极小点故 f(1)=2+k0=k2 或 f(1)=2+k0=k2,所以选(C)8.设 (分数:2.00)A.P 1 P 2 1 AB.AP 1 P 2 1C.P 1 AP 2 1 D.P 2 1 AP 1解析:解析:9.设 A=

    12、( 1 , 2 , 3 , 4 )为四阶方阵,且 1 , 2 , 3 , 4 为非零向量组,设AX=0的一个基础解系为(1,0,4,0) T ,则方程组 A * X=0的基础解系为( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 3B. 1 + 3 , 3 , 4C. 1 , 3 , 4D. 1 + 2 , 2 +2 4 , 4 解析:解析:由 r(A)=3得 r(A * )=1,则 A * X=0的基础解系由 3个线性无关的解向量构成 由 1 4 3 =0得 1 , 3 成比例,显然(A)、(B)、(C)不对,选(D)二、填空题(总题数:6,分数:12.00)10.= 1 (分数:2.00)填空

    13、项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:11.设 y=y(x)由 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:当 t=0时,x=1 e x sintx+1=0 两边对 t求导,得 y= 0 t+1 ln(1+u)du两边对t求导,得 12.曲线 y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=2x1)解析:解析:13.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:改变积分次序得14.y“2y3y=e x 的通解 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=C 1 e x +C

    14、2 e 3x )解析:解析:特征方程为 2 23=0特征值为 1 =1, 2 =3,则方程 y“2y3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 令原方程的特解为 y 0 (x)=Axe x ,代入原方程得 A= ,于是原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 15.设 A为三阶实对称矩阵, 1 =(m,m,1) T 是方程组 AX=0的解, 2 =(m,1,1m) T 是方程组(A+E)X=0的解,则 m= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:由 AX=0有非零解得 r(A)3,从而 =0 为 A的特征值, 1 =(m,m,1

    15、) T 为其对应的特征向量; 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+B)3,A+E=0,=1 为 A的另一个特征值,其对应的特征向量为 2 =(m,1,1m) T ,因为 A为实对称矩阵,所以 A的不同特征值对应的特征向量正交,于是有 m=1三、解答题(总题数:10,分数:20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:17.设 f(x)二阶可导,且 f(0)=0,令 g(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:() =f(0),当 a=f(0)时,g(x)在 x=0处连续 ()当 x0 时,g(x)=当 x=0时, )解析:18.设 f(

    16、x)在a,b上连续,在(a,b)内可导(0ab )证明:存在 ,(a,b),使得(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 g(x)=cosx, g(x)=sinx0(axb), 由柯西中值定理,存在 (a,b),使得 令 h(x)=sinx,h(x)=cosx0(axb), 由柯西中值定理,存在 (a,b),使得 )解析:19.设 f(x)连续且 f(0)=0,f(0)=2,求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 0 x f(xt)= 0 x f(xt)d(xt)= 0 x f(u)du= 0 x f(u)du, 得 0 x f(xt)dtx 2 , )解析:20.计算积分

    17、x 2 y 2 dxdy,其中 D是由直线 y=2,y=0,x=2 及曲线 x= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 D 1 =(x,y)2x0,0y2, D 2 =(x,y) x0,0y2, )解析:21.过点 P(0, )作抛物线 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设切点为(a, ), )解析:22.求 z=x 2 2y 2 +2x+4在区域 x 2 +4y 2 4 上的最小值和最大值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x 2 +4y 2 4 时, 当 x 2 +4y 2 =4时, 则 z=4 cos 2 t2 sin 2 t+4cost+4=6 cos

    18、2 t+4cost+2 = 当 ;当 cost=1时,z max =12, 故 z=x 2 2y 2 +2x+4在 x 2 +4y 2 4 上的最小值为 )解析:23.设曲线 y=y(x)过(0,0)点,M 是曲线上任意一点,MP 是法线段,P 点在 X轴上,已知 MP的中点在抛物线 2y 2 =x上,求此曲线的方程(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 M(x,y),则法线方程为 令 Y=0得 X=yy+x,于是 P点坐标为(yy+x,0)MP 的中点坐标为 ,它位于给定的抛物线上于是有方程 y 2 =yy+2x,即 )解析:24.设 A是三阶实对称矩阵,存在可逆矩阵 P= ,使得 (

    19、分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()A 的特征值为 1 =1, 2 =2, 3 =1, 显然 A 1 = 1 ,A 2 =2 2 ,A 3 = 3 , 即 1 , 2 , 3 为分别属于 1 =1, 2 =2, 3 =1 的特征向量, 因为 A是实对称矩阵,所以 解得 a=0,b=2 )解析:25.设 A为三阶实对称矩阵,且存在正交矩阵 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 Q T AQ= 得 A的特征值为 1 =2, 2 =1, 3 =1,且 1 =2对应的特征向量为 由 A T =A得 B T =(A 2 +2E) T =(A 2 ) T +2E=A 2 +2E=B,即 B为实对称矩阵 显然 B的特征值为 1 =6, 2 = 3 =3,且 B相应于特征值 1 =6的特征向量为 设 B的相应于 2 = 3 =3的特征向量为 ,因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交,所以 1 T =0,即 x 1 +x 2 +x 3 =0,于是 B的相应于特征值 2 = 3 =3的线性无关的特征向量为 )解析:


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