1、考研数学（数学二）模拟试卷 440及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列无穷小中阶数最高的是( )（分数：2.00）A.e x e tanxB.C.ln(1+x)sinxD.3.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处可导，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x 0 处连续，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)连续C.若 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，f(x)在 x 0 处
2、连续，且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且f(x 0 )= 4.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0处一定取到极值5.设 0，f(x)在(，)内恒有 f“(x)0，且f(x)x 2 ，记 I= f(x)dx，则有( )（分数：2.00）A.I=0B.I0C.I0
3、D.不能确定6.设 f有一阶连续的偏导数，且 f(x+y，xy)=4(x 2 xyy 2 )，则 xf x (x，y)+yf y (x，y)为( )（分数：2.00）A.2x 2 8xy2y 2B.2x 2 +8xy2y 2C.2x 2 8xy+2y 2D.2x 2 +8xy+2y 27.设 f(x)=x 3 3x+k 只有一个零点，则 k的取值范围是( )（分数：2.00）A.k1B.k1C.k2D.k28.设 （分数：2.00）A.P 1 P 2 1 AB.AP 1 P 2 1C.P 1 AP 2 1D.P 2 1 AP 19.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为四阶方阵，且 1
4、， 2 ， 3 ， 4 为非零向量组，设AX=0的一个基础解系为(1，0，4，0) T ，则方程组 A * X=0的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 + 3 ， 3 ， 4C. 1 ， 3 ， 4D. 1 + 2 ， 2 +2 4 ， 4二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.y“2y3y=e x 的通解 1（分数：2.00）填空项 1:_15.
5、设 A为三阶实对称矩阵， 1 =(m，m，1) T 是方程组 AX=0的解， 2 =(m，1，1m) T 是方程组(A+E)X=0的解，则 m= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 g(x)= （分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(0ab )证明：存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_19.设 f(x)连续且 f(0)=0，f(0)=2，求极限 （分数：2.00）_20.计算积分 x 2 y
6、 2 dxdy，其中 D是由直线 y=2，y=0，x=2 及曲线 x= （分数：2.00）_21.过点 P(0， )作抛物线 y= （分数：2.00）_22.求 z=x 2 2y 2 +2x+4在区域 x 2 +4y 2 4 上的最小值和最大值（分数：2.00）_23.设曲线 y=y(x)过(0，0)点，M 是曲线上任意一点，MP 是法线段，P 点在 X轴上，已知 MP的中点在抛物线 2y 2 =x上，求此曲线的方程（分数：2.00）_24.设 A是三阶实对称矩阵，存在可逆矩阵 P= ，使得 （分数：2.00）_25.设 A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵 （分数：2.00）_考研数学（数学二
7、）模拟试卷 440答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列无穷小中阶数最高的是( )（分数：2.00）A.e x e tanxB. C.ln(1+x)sinxD.解析：解析：e x e tanx =e tanx (e xtanx 1)xtanx， 3.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处可导，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x 0 处连续，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)连续
8、C.若 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，f(x)在 x 0 处连续，且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且f(x 0 )= 解析：解析： 对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在 x=a处不连续，当然也不可导，即x=0是 f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对； 因为 f(x)在 x 0 处连续且在 x 0 的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 f(x)f(x 0 )=f()(xx 0 )或者 =f()，其中 介于 x 0 与 x之间，两边取极限得 存在，即 f(x)在 x 0 处可导，且 f(x 0 )= 4.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A
9、.若 f(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0处一定取到极值 解析：解析： f(x)0=f(x)在 x=0的任意邻域内都不单调减少，(A)不对； f(x)在 x=0处取得极大值，但其在 x=0的任一邻域内皆不单调，(B)不对；5.设 0，f(x)在(，)内恒有 f“(x)0，且f(x)x 2 ，记 I= f(x)dx，则有
10、( )（分数：2.00）A.I=0B.I0 C.I0D.不能确定解析：解析：因为f(x)x 2 ，所以 f(0)=0，由f(x)x 2 ，得 0 x，由迫敛定理得 f(0)=0 由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ ，其中 介于 0与 x之间， 因为在(，)内恒有 f“(x)0，所以 I= f(x)dx= 6.设 f有一阶连续的偏导数，且 f(x+y，xy)=4(x 2 xyy 2 )，则 xf x (x，y)+yf y (x，y)为( )（分数：2.00）A.2x 2 8xy2y 2B.2x 2 +8xy2y 2C.2x 2 8xy+2y 2D.2x 2 +8xy+2y 2 解析：
11、解析：令 x+y=u，xy=v，则 7.设 f(x)=x 3 3x+k 只有一个零点，则 k的取值范围是( )（分数：2.00）A.k1B.k1C.k2 D.k2解析：解析：f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零由 f(x)=3(x 2 1)=0，得驻点 x=1，且由图形可知，x=1 为极大点，x=1为极小点故 f(1)=2+k0=k2 或 f(1)=2+k0=k2，所以选(C)8.设 （分数：2.00）A.P 1 P 2 1 AB.AP 1 P 2 1C.P 1 AP 2 1 D.P 2 1 AP 1解析：解析：9.设 A=
12、( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为四阶方阵，且 1 ， 2 ， 3 ， 4 为非零向量组，设AX=0的一个基础解系为(1，0，4，0) T ，则方程组 A * X=0的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 + 3 ， 3 ， 4C. 1 ， 3 ， 4D. 1 + 2 ， 2 +2 4 ， 4 解析：解析：由 r(A)=3得 r(A * )=1，则 A * X=0的基础解系由 3个线性无关的解向量构成 由 1 4 3 =0得 1 ， 3 成比例，显然(A)、(B)、(C)不对，选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空
13、项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 t=0时，x=1 e x sintx+1=0 两边对 t求导，得 y= 0 t+1 ln(1+u)du两边对t求导，得 12.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x1）解析：解析：13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：改变积分次序得14.y“2y3y=e x 的通解 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C
14、2 e 3x ）解析：解析：特征方程为 2 23=0特征值为 1 =1， 2 =3，则方程 y“2y3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 令原方程的特解为 y 0 (x)=Axe x ，代入原方程得 A= ，于是原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 15.设 A为三阶实对称矩阵， 1 =(m，m，1) T 是方程组 AX=0的解， 2 =(m，1，1m) T 是方程组(A+E)X=0的解，则 m= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 AX=0有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A的特征值， 1 =(m，m，1
15、) T 为其对应的特征向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+B)3，A+E=0，=1 为 A的另一个特征值，其对应的特征向量为 2 =(m，1，1m) T ，因为 A为实对称矩阵，所以 A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=1三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() =f(0)，当 a=f(0)时，g(x)在 x=0处连续 ()当 x0 时，g(x)=当 x=0时， )解析：18.设 f(
16、x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(0ab )证明：存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)=cosx， g(x)=sinx0(axb)， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 令 h(x)=sinx，h(x)=cosx0(axb)， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：19.设 f(x)连续且 f(0)=0，f(0)=2，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x f(xt)= 0 x f(xt)d(xt)= 0 x f(u)du= 0 x f(u)du， 得 0 x f(xt)dtx 2 ， )解析：20.计算积分
17、x 2 y 2 dxdy，其中 D是由直线 y=2，y=0，x=2 及曲线 x= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)2x0，0y2， D 2 =(x，y) x0，0y2， )解析：21.过点 P(0， )作抛物线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点为(a， )， )解析：22.求 z=x 2 2y 2 +2x+4在区域 x 2 +4y 2 4 上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x 2 +4y 2 4 时， 当 x 2 +4y 2 =4时， 则 z=4 cos 2 t2 sin 2 t+4cost+4=6 cos
18、2 t+4cost+2 = 当 ；当 cost=1时，z max =12， 故 z=x 2 2y 2 +2x+4在 x 2 +4y 2 4 上的最小值为 )解析：23.设曲线 y=y(x)过(0，0)点，M 是曲线上任意一点，MP 是法线段，P 点在 X轴上，已知 MP的中点在抛物线 2y 2 =x上，求此曲线的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 M(x，y)，则法线方程为 令 Y=0得 X=yy+x，于是 P点坐标为(yy+x，0)MP 的中点坐标为 ，它位于给定的抛物线上于是有方程 y 2 =yy+2x，即 )解析：24.设 A是三阶实对称矩阵，存在可逆矩阵 P= ，使得 （
19、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =1， 显然 A 1 = 1 ，A 2 =2 2 ，A 3 = 3 ， 即 1 ， 2 ， 3 为分别属于 1 =1， 2 =2， 3 =1 的特征向量， 因为 A是实对称矩阵，所以 解得 a=0，b=2 )解析：25.设 A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Q T AQ= 得 A的特征值为 1 =2， 2 =1， 3 =1，且 1 =2对应的特征向量为 由 A T =A得 B T =(A 2 +2E) T =(A 2 ) T +2E=A 2 +2E=B，即 B为实对称矩阵 显然 B的特征值为 1 =6， 2 = 3 =3，且 B相应于特征值 1 =6的特征向量为 设 B的相应于 2 = 3 =3的特征向量为 ，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以 1 T =0，即 x 1 +x 2 +x 3 =0，于是 B的相应于特征值 2 = 3 =3的线性无关的特征向量为 )解析：
