1、考研数学（数学三）模拟试卷 475 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)=cosx+xsinx 在(一 2，2)内零点的个数为（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.设 m 与 n 是正整数，则 0 1 x m (lnx) n dx= （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在a，b上可导，f(x)+f(x) 2 一 a x f(t)dt=0，且 a b f(t)dt=0，则 a x f(t)dt在(a，b
2、)内必定（分数：2.00）A.恒为正B.恒为负C.恒为零D.变号5.设 D 是以点 A(1，1)，B(一 1，1)，C(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，则 （分数：2.00）A.2B.5C.8D.66.设 1 ， 2 ， 3 为 3 个 n 维向量，AX=0 是 n 元齐次方程组。则( )正确（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， 3 都是 AX=0 的解，并且线性无关，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0 的一个基础解系B.如果 1 ， 2 ， 3 都是 AX=0 的解，并且 r(A)=n 一 3，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0 的一个基础解系C.如果 1 ， 2 ， 3 等价
3、于 AX=0 的一个基础解系则它也是 AX=0 的基础解系D.如果 r(A)=n 一 3，并且 AX=0 每个解都可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0 的一个基础解系7.下列矩阵中不相似于对角矩阵的是 （分数：2.00）A.B.C.D.8.在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次设事件 A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p(0p1)，则（分数：2.00）A.AB 与 C 独立B.BC 与 A 独立C.AC 与 B 独立D.A，B，C 相互独立9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X
4、3 ，X 4 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，已知 （分数：2.00）A.y y 1- =1B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知当 x0 与 y0 时 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_15.设试验的成功率 P=20，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 = 1(1)=08413，(3)=09987)（分数：2.00）
5、填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 b 为常数(I)求曲线 L： （分数：2.00）_18.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有 (I)求 f(1)及 （分数：2.00）_19.求 f(x，y，z)=2x+2yz 2 +5 在区域 ：x 2 +y 2 +z 2 2 上的最大值与最小值（分数：2.00）_20.设曲线 y=y(x)上任意一点的切线在 y 轴上的截距与法线在 x 轴上的截距之比为 3，求 y(x)（分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，试证：
6、（分数：2.00）_22.已知四元齐次方程组(I) （分数：2.00）_23.已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 =一 1 一 3 2 3 3 ，A 2 =4 1 +4 2 + 3 ，A 3 =一 2 1 +3 3 求 A 的特征值 求 A 的特征向量 求 A*一 6E 的秩（分数：2.00）_24.设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 p假定各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY（分数：2.0
7、0）_25.历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了 12000 次，正面出现 6019 次，现在我们若重复他的试验，试求：(I)抛掷 12000 次正面出现频率与概率之差的绝对值不超过当年皮尔逊试验偏差的概率；()要想使我们试验正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于20，现在我们应最多试验多少次? （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 475 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)=c
8、osx+xsinx 在(一 2，2)内零点的个数为（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析：解析：f(x)为偶函数，f(0)=1，故只需讨论(0，2)内零点的个数 由此可知，f(x)在3.设 m 与 n 是正整数，则 0 1 x m (lnx) n dx= （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：用分部积分法计算这里积分下限 0 是瑕点，从而在积分下限处都理解为求极限 继续进行分部积分可得4.设 f(x)在a，b上可导，f(x)+f(x) 2 一 a x f(t)dt=0，且 a b f(t)dt=0，则 a x f(t)dt在(a，b)内必定（分数：2.00）
9、A.恒为正B.恒为负C.恒为零 D.变号解析：解析：设 F(x)= a x f(t)dt，若 F(x)在(a，b)内可取正值，由于 F(a)=F(b)=0，故 F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知 F(x)必在(a，b)内存在正的极大值，记该极大值点为 x 0 ，于是 F(x 0 )=0，F(x 0 )0即 f(x 0 )=0， 代入原方程，得 5.设 D 是以点 A(1，1)，B(一 1，1)，C(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，则 （分数：2.00）A.2B.5C.8 D.6解析：解析：D 如图所示，连 将 D 分成 D=D 1 D 2 ，D 1 ，D 2 分别关于 x，y
10、轴对称 6.设 1 ， 2 ， 3 为 3 个 n 维向量，AX=0 是 n 元齐次方程组。则( )正确（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， 3 都是 AX=0 的解，并且线性无关，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0 的一个基础解系B.如果 1 ， 2 ， 3 都是 AX=0 的解，并且 r(A)=n 一 3，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0 的一个基础解系C.如果 1 ， 2 ， 3 等价于 AX=0 的一个基础解系则它也是 AX=0 的基础解系D.如果 r(A)=n 一 3，并且 AX=0 每个解都可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0 的一
11、个基础解系 解析：解析：(A)缺少 nr(A)=3 的条件 (B)缺少 1 ， 2 ， 3 线性无关的条件 (C)例如 1 ， 2 是基础解系 1 + 2 = 3 ，则 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 等价，但是 1 ， 2 ， 3 不是基础解系 要说明(D)的正确性，就要证明 1 ， 2 ， 3 都是 AX=0 的解，并且线性无关方法如下： 设 1 ， 2 ， 3 是 AX=0 的一个基础解系，则由条件， 1 ， 2 ， 3 可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，于是 3r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 , 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )=3，
12、则 r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=3， 于是 1 ， 2 ， 3 线性无关，并且和 1 ， 2 ， 3 等价，从而都是 AX=0 的解7.下列矩阵中不相似于对角矩阵的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：(A)矩阵的 3 个特征值两两不同，(D)是实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵 (C)矩阵的秩为 1，它的特征值都为 0，其重数 33 一(C)矩阵的秩因此(C)不相似于对角矩阵 (B)矩阵的秩也为 1，它的特征值为 0，0，6，0 的重数 2=3 一(B)矩阵的秩因此相似于对角矩阵8.在考核中
13、，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次设事件 A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p(0p1)，则（分数：2.00）A.AB 与 C 独立 B.BC 与 A 独立C.AC 与 B 独立D.A，B，C 相互独立解析：解析：依题意 A 与 B 为对立事件，因此 AB=9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，已知 （分数：2.00）A.y y 1- =1 B.C.D.解析：解析：依题意可知，X 1 2 +X 2 2 与 X 3 2 +X 4 2 相互独立且都服从自由度为 2
14、的 2 分布，因此 Y= 因为 PYy =，即 y =F (2，2)，又 1=1 一 PYy =PYy =PYy = 而 由 =PYy 可知 y 1- = 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x）解析：解析：因为11.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 10!2 10 ）解析：解析：12.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4e）解析：解析：由 g(x)在点 x=0 处连续及 g(x)=1+2c+o(x)(x0) 由复合函数求导法及变限积分求导法13
15、.已知当 x0 与 y0 时 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：27）解析：解析：A 相似于 B，则 A*+3E 相似于 B*+3E，于是|A*+3E|=|B*+3E|15.设试验的成功率 P=20，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 = 1(1)=08413，(3)=09987)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：084）解析：解析：以 X 表示“100 次独立重复试验成功的次数”，则 X 服从参数为 n=100
16、，p=020 的二项分布，且 根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知随机变量 近似服从分布 N(0，1)，于是 =P16X32=三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 b 为常数(I)求曲线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)求 的斜渐近线由于 所以斜渐近线方程为 y=2x 一 4 如果 2b+15+10，即如果 b一 8，无论 b一 8 还是 b一 8，均有 Int(t+2) 2b+15 =，从而与 A为有限值矛盾当 b=一 8 时有 )解析：18.设函数 f(x)在 x=1 的某邻
17、域内连续，且有 (I)求 f(1)及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由条件知 f(x+1)+1+3sin 2 x=0 f(x+1)+3sin 2 x=f(1)+0=0 f(1)=0 又在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin 2 x0，现利用等价无穷小因子替换:当 x0 时，ln1+f(x+1)+3sin 2 x一 f(x+1)+3sin 2 x， )解析：19.求 f(x，y，z)=2x+2yz 2 +5 在区域 ：x 2 +y 2 +z 2 2 上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x，y，z)在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值
18、 第一步，先求f(x，y，z)在 内的驻点 由 知 f(x，y，z)在 内无驻点，因此 f(x，y，z)在 的最大、最小值都只能在 的边界上达到 第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x 2 +y 2 +z 2 =2 上的最大、最小值，即求 f(x，y，z)在条件 x 2 +y 2 +z 2 2=0 下的最大、最小值 令 F(x，y，z，)=2x+2yz 2 +5+(x 2 +y 2 +z 2 2)，解方程组 )解析：20.设曲线 y=y(x)上任意一点的切线在 y 轴上的截距与法线在 x 轴上的截距之比为 3，求 y(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)先求截距并列方程 曲线
19、 y=y(x)在 点(x，y(x)处的切线方程是 Y 一y(x)=y(x)(X 一 x) 令 X=0，得 y 轴上截距 Y=y(x)一 xy(x) 相应的法线方程是 令 Y=0，得 x 轴上截距 X=x+y(x)y(x) 2)求解方程 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不等式(可用单调性方法)F(x)单调不减，故 F(x)F(a)=0(xa，b) 特别有 F(b)0，即 )解析：22.已知四元齐次方程组(I) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：条件即(I)和()的联立方程组和
20、(I)同解，也就是矩阵 B= 和 的秩相等 对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯形矩阵的上面 3 行是由 A 变来的显然 a=0 时 r(A)=1，r(B)=2，因此 a0 因为 a0，所以 r(A)=3要使得 r(B)=3，a=12 )解析：23.已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 =一 1 一 3 2 3 3 ，A 2 =4 1 +4 2 + 3 ，A 3 =一 2 1 +3 3 求 A 的特征值 求 A 的特征向量 求 A*一 6E 的秩（分数：2.00）_正确答案：(正确答
21、案：记 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 是线性无关，所以 P 是可逆矩阵 AP=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=(一 1 一 3 2 3 3 ，4 1 +4 2 + 3 ，一 2 1 +3 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 记 B= 则 AP=PB，即 P -1 AP=B，A 与 B 相似，特征值一样 求 B 的特征多项式 |EB|= =( 一 1)( 一 2)( 一 3) 得 A 的特征值为 1，2，3 先求B 的特征向量，用 P 左乘之得到 A 的特征向量(如果 B=，则 P -1 AP=，即 A(P)=(P) 对于特征值 1： B 的属于特征值 1 的特征向
22、量(即(BE)x=0 的非零解)为 c(1，1，1) T ，c0则 A 的属于特征值 1 的特征向量为 c( 1 + 2 + 3 ) T ，c0 对于特征值 2： B的属于特征值 2 的特征向量(即(B 一 2E)x=0 的非零解)为 c(2，3，3) T ，c0则 A 的属于特征值 2 的特征向量为 c(2 1 +3 2 +3 3 ) T ，c0 对于特征值 3： B 的属于特征值 3 的特征向量(即(B 一 3E)x=0 的非零解)为 c(1，3，4) T ，c0则 A 的属于特征值 3 的特征向量为 c( 1 +3 2 +4 3 ) T ，c0 由 A 的特征值为 1，2，3，|A|=6
23、于是 A*的特征值为 6，3，2，A*一 6E 的特征值为 0，一 3，一 4 )解析：24.设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 p假定各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，PX=m= m=0，1，2，；0 购买 A 类商品的人数 Y，在进入超市的人数 X=m 的条件下服从二项分布 B(m，P)，即 PY=k|X=m=C m k p k q m-k ，k=0，1，2，m；q=1 一 p 由全概率公
24、式有 又因为当 mk 时，PY=k|X=m=0，所以 )解析：25.历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了 12000 次，正面出现 6019 次，现在我们若重复他的试验，试求：(I)抛掷 12000 次正面出现频率与概率之差的绝对值不超过当年皮尔逊试验偏差的概率；()要想使我们试验正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于20，现在我们应最多试验多少次? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)设 X 表示试验中正面出现的次数，则 XB(12000，05)，且EX=np=6000。DX=npq=3000由于 n=12000 相当大，因此 近似服从正态分布 N(0，1)，于是 ()设至多试验 n 次，Y 为 n 次中正面出现的次数，显然 YB(n，05)，EY=05n，DY=025n，于是 )解析：
