1、考研数学（数学三）模拟试卷 474 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)=x 3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围为（分数：2.00）A.|k|2B.|k|1C.|k|1D.|k|23.设 f(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶而非等价无穷小D.等价无穷小4.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)+f(1 一 x)0，则 （分数：2.00）A.0B.C.D.15.极数 （分数：2.00）A.(0
2、，4)B.0，4)C.(0，2)D.0，2)6.设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到的矩阵，则（分数：2.00）A.把 A -1 第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到 B -1 B.把 A -1 第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到 B -1 C.把 A -1 第 2 行的一 3 倍加到第 4 行上得到 B -1 D.把 A -1 第 4 行的一 3 倍加到第 2 行上得到 B -1 7.设 4 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，已知齐次方程组 AX=0 的通解为 c(1，一 2，1，0) T ，c 任意则下列选项中不对的是
3、（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 线性无关C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关8.将一枚均匀的骰子投掷三次，记事件 A 表示“第一次出现偶数点”，事件 B 表示“第二次出现奇数点”，事件 C 表示“偶数点最多出现一次”，则（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立B.A 与 BC 独立C.B 与 AC 独立D.C 与 AB 独立9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(0，1)的简单随机样本, 是样本均值与样本方差，则下列不服从 2 (n 一 1)分布的随机变量是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总
4、题数：6，分数：12.00)10.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.已知函数 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值则曲线 y=f(x)的拐点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.二阶微分方程 y”=e 2y 满足条件 y(0)=0,y(0)=1 的特解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，一 2，3则(A*)*的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p(
5、0p1)现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求 n 及 a 的值 （分数：2.00）_18.求常数 k 的取值范围，使得 f(x)=kln(1+n)一 arctanx 当 x0 时单调增加（分数：2.00）_19.设函数 f(x，y)= 计算二重积分 （分数：2.00）_20.作自变量替换 把方程 （分数：2.00）_21.证明推广的积分中值定理：设 F(x)与 G(x)都是区
6、间a，b上的连续函数，且 G(x)0，G(x)0，则至少存在一点 a，b使得 a b F(x)G(x)dx=F() a b G(x)dx（分数：2.00）_22. 1 =(1，0，0，1) T ， 2 =(1，1，0，0) T ， 3 =(0，2，一 1，一 3) T ， 4 =(0，0，3，a) T ，=(1，b，3，2) T ， a 取什么值时 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?此时求 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出 在 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的情况下，b 取什么值时 可用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?
7、写出一个表示式（分数：2.00）_23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) （分数：2.00）_24.设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_25.进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为 5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：(I)试验成功率 p 的矩估计值； ()试验失败率 q 的最大似然估计值（分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 474 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选
8、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)=x 3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围为（分数：2.00）A.|k|2 B.|k|1C.|k|1D.|k|2解析：解析：f(x)为三次多项式，至少有一个零点， = y=f(x)只有以下三种情形f(一 1)，f(1)0 k2；f(一 1)，f(1)0 k一 2 因此 f(x)只有一个零点3.设 f(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小 C.同阶而非等价无穷小D.等价无穷小解析：解析：这是考察如下的 型极限，由洛必达法则与等价无穷小替换得 其中用了下面的等价无穷小
9、替换:x0 时 =x 2 ln(1+x 2 )x 4 ， sin(1 一 cosx) 2 (1 一 cosx) 2 4.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)+f(1 一 x)0，则 （分数：2.00）A.0B. C.D.1解析：解析：该积分不可能直接计算，需作变量替换得出一个类似的积分，二者合并后消去 f(x) 令 1x=t，x=1 一 t 则5.极数 （分数：2.00）A.(0，4) B.0，4)C.(0，2)D.0，2)解析：解析：因题设的幂级数是缺项幂级数，故可直接用比值判别法讨论其收敛性。 首先当 x 一 2=0 即x=2 时级数收敛当 x2 时 由此可知当 0|x-2|2 0x2
10、 或 2x4 时级数绝收敛 又当 x=0 和 x=4 时得正项级数6.设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到的矩阵，则（分数：2.00）A.把 A -1 第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到 B -1 B.把 A -1 第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到 B -1 C.把 A -1 第 2 行的一 3 倍加到第 4 行上得到 B -1 D.把 A -1 第 4 行的一 3 倍加到第 2 行上得到 B -1 解析：解析：B=AE(2，4(3)，B -1 =E(2，4(3) -1 A -1 =E(2，4(一 3)A -1 ，因此 B -1 是
11、把 A -1 第 4行的一 3 倍加到第 2 行上得到。7.设 4 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，已知齐次方程组 AX=0 的通解为 c(1，一 2，1，0) T ，c 任意则下列选项中不对的是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 线性无关C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关 解析：8.将一枚均匀的骰子投掷三次，记事件 A 表示“第一次出现偶数点”，事件 B 表示“第二次出现奇数点”，事件 C 表示“偶数点最多出现一次”，则（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立B.A 与 BC 独立C.B 与 AC 独立D.
12、C 与 AB 独立 解析：9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(0，1)的简单随机样本, 是样本均值与样本方差，则下列不服从 2 (n 一 1)分布的随机变量是 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于 X i N(0，1)，故 X i 2 2 (1)，由 2 分布的可加性知 故(A)正确，可知(B)不服从 2 (n 一 1)分布，因此应选(B) 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用洛必达法则求极限 ，因为11.已知函数 f(x)=ax 3 +x 2 +2
13、在 x=0 和 x=一 1 处取得极值则曲线 y=f(x)的拐点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：函数表达式含有未知参数 a，可由已知 x=0，x=一 1 处取极值来确定 a 的值 f(x)=3ax 2 +2x=x(3ax+2)，驻点为 x=0，x= 由 x=0，x=一 1 是极值点，可知 于是 f(x)=2x(x+1)，f”(x)=4x+2 令 f“(x)=0，得 又 f“(x)在 左右异号，故曲线的拐点为 12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是一元函数 z= 0 t 0 u f(u，v)dvdu
14、与二元函数 t=xy 2 的复合函数，由一阶全微分形式不变性可得 13.二阶微分方程 y”=e 2y 满足条件 y(0)=0,y(0)=1 的特解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 ln(1 一 x)）解析：解析：题设的二阶微分方程不显含自变量 x，令 y=p 并以 y 为自变量可降阶为关于 p 的一阶微分方程 注意当令 y=p 时 =2e 2y ，分离变量有 2pdp=2e 2y dy，积分即得其通解为 p 2 =e 2y +C 利用题设的初值知当 y=0 时 p=1，由此可确定常数 C=0于是得到新方程 p 2 =e 2y ，因为初值 p=10，故可求
15、p0 的解，即应解微分方程 p=e y ，即 14.已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，一 2，3则(A*)*的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 6，12，一 18）解析：解析：利用性质：可逆矩阵的行列式除以各特征值，就得到其伴随矩阵的各特征值|A|=1(一 2)3=一 6，于是 A*的特征值为一 6，3，一 2，|A*|=36则(A*)*的特征值为一 6，12，一 1815.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 p=
16、 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先求出 X 的概率分布，再用期望定义求解 p 的值依题意 X 取值为 2，3，且 PX=n=pq n-1 +qp n-1 ， (q=1 一 p) 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求 n 及 a 的值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求常数 k 的取值范围，使得 f(x)=kln(1+n)一 arctanx 当 x0 时单调增加（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x(0，+)时 f(x)单调增
17、加.f(x)0(x(0，+)且在(0，+)的 子区间上 f(x)0 f(x)=kln(1+x)一 aretanx，则 若 k0，则 f(x)0(x0)，于是只需考察k0 的情形 令 g(x)=kx 2 一 x+k 一 1，则当 x0 时 f(x)与 g(x)同号 由于 g(x)满足 )解析：19.设函数 f(x，y)= 计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，设在直线 y=1 下方的部分记为 D 1 在 y=1 上方的部分记为 D 2 ，且 D 2 在 y 轴右侧的部分记为 D 2 ，于是 )解析：20.作自变量替换 把方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
18、(1)先求 再将求导，得 将，代入原方程得 ()求解二阶常系数线性方程 相应的特征方程 2 +2+1=0，有重根 =一 1 非齐次方程可设特解y*=Asint+Bcost，代入得 一(Asint+Bcost)+2(AcostBsint)+(Asint+Bcost)=2sint， 即 AcostBsint=sint 比较系数得 A=0，B=一 1 即 y*(t)=一 cost，因此的通解为 y=(C 1 +C 2 t)e -t 一cost ()原方程的通解为 )解析：21.证明推广的积分中值定理：设 F(x)与 G(x)都是区间a，b上的连续函数，且 G(x)0，G(x)0，则至少存在一点 a，
19、b使得 a b F(x)G(x)dx=F() a b G(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)在a，b上的最大值与最小值分别是 M 与 m，利用 G(x)0 且 G(x)0 即知当 xa，b时 mG(x)F(x)G(x)MG(x)， 由定积分的性质即知 m a b G(x)dx= a b mG(x)dx a b F(x)G(x)dx a b MG(x)dx=M a b G(x)dx， 由于 G(x)0 且 G(x)0，故 a b G(x)dx0从而有 再由 F(x)是以 m 与 M 分别为其最小值与最大值的区间a，b上的连续函数即知存在a，b使得 )解析：22. 1
20、=(1，0，0，1) T ， 2 =(1，1，0，0) T ， 3 =(0，2，一 1，一 3) T ， 4 =(0，0，3，a) T ，=(1，b，3，2) T ， a 取什么值时 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?此时求 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出 在 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的情况下，b 取什么值时 可用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?写出一个表示式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两个小题都关系到秩， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )4； 可用 1
21、， 2 ， 3 ， 4 线性表示 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )因此应该从计算这两个秩着手 以 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为列向量构造矩阵( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)，然后用初等行变换把它化为阶梯形矩阵： r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )4 )解析：23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵 它的秩为 1，则 a=4 A= 的秩为 1，则特征值为0，0，9 属于 0 的特征向量即 AX=0 的非零解，求出此方程组的一个基础解系： 1 =
22、(0，1，1) T ， 2 =(2，0，1) T ，对它们作施密特正交化得 再求得属于 9 的一个特征向量 3 =(1，2，一2) T ，作单位化得 3 =(13，23，一 23) T 令 Q=( 3 ， 1 ， 2 )= )解析：24.设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)先求 X 的边缘密度对任意 x0，有 对于任意 x0，有一xy+，因此 故对于任意 x，随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度为 ()为判断独立性，需再求 Y 的边缘密度 由于 f X (x).f Y (y)f(x，y)，故 X，Y 不独立 )解析：25.进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为 5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：(I)试验成功率 p 的矩估计值； ()试验失败率 q 的最大似然估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 试验成功率 p 的矩估计量 相应矩估计值为 ()最大似然函数L(x 1 ，x 10 ；p)，简记为 L，则 于是试验成功率 p 的最大似然估计值 根据最大似然估计的不变性，其试验失败率 q 的最大似然估计值为 )解析：
