1、考研数学（数学三）模拟试卷 466 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx 0 处 f(x)存在，则“ （分数：2.00）A.充分必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分条件而非必要条件D.既非充分又非必要条件3.设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值D.f(0)是否为 f(x
2、)的极值要由具体的 g(x)决定4.设数列a n 单调增加且有上界， 为常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 有关5.设 g(x)在(一，+)内存在二阶导数，且 g“(x)0令 f(x)=g(x)+g(一 x)，则当 x0 时 ( )（分数：2.00）A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)与 x 同号D.f(x)与 x 异号6.设 A 是 n 阶矩阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.对任意的 n 维列向量 ，有 A=0，则 A=OB.对任意的 n 维列向量 ，有 T A=0，则 A=OC.对任意的 n 阶矩阵 B，有 AB=O，则 A=
3、OD.对任意的 n 阶矩阵 B，有 B T AB=O，则 A=O7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 均是 4 维列向量记 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )已知方程 AX= 5 有通解 k(1，一 1，2，0) T +(2，1，0，1) T ，其中k 是任意常数，则下列向量不是方程 BX=0 的解的是 ( )（分数：2.00）A.(2，1，0，1，一 1) T B.(3021，一 1) T C.(1，一 2，一 2，0，一 1) T D.(0，3，一 4，1，一 1) T 8.设随机变量 X 与 Y 独立，均服从0，3上的均匀分布，则
4、 P1maxX，Y)2= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 XN(， 2 )的简单随机样本样本均值 （分数：2.00）A.D(S 1 2 )D(S 0 2 )D(S 2 )B.D(S 0 2 )D(S 2 )D(S 1 2 )C.D(S 2 )D(S 1 2 )D(S 0 2 )D.D(S 2 )D(S 0 2 )D(S 1 2 )二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 y=y(x)是由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0 及 y(0)=
5、0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 y=u(x)x 是微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 与 B 是两随机事件，P(A)=06 且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.()求定积分 a n = 0 2 x(2xx 2 ) n dx，n=1，2，； ()对于()中的 a n ，求幂级数 （分数：2.00）_18.设平面区域 D 用极坐标表示为 （分数：2.00）_19.求幂级数 （分数：2
6、.00）_20.过椭圆 （分数：2.00）_21.设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明： （分数：2.00）_22.设 3 阶矩阵 A，B 满足关系式 AB=AB 且 A 有三个不同的特征值 证明：()AB=BA： ()存在可逆阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角阵（分数：2.00）_23.()设 1 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )， 2 =(a 2 ，一 a 1 ，a 4 ，一 a 3 )， 3 =(a 3 ，一 a 4 ，一 a 1 ，a 2 )，其中 a i (i=1，2，3，4)不全为零证明 1 ， 2 ， 3 线性无关； ()记A= （分数：2
7、.00）_24.设随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_25.已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 466 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx 0 处 f(x)存在，则“ （分数：2.00）A.充分必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分条件而非必要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析：在所说前提及
8、条件“ ”下，由洛必达法则： 所以 f(x 0 ) ”的充分条件但不是必要条件，反例如下：设 本例满足本题所说的前提(其中 x 0 =0)，f(x)=2xsin f(x)不存在， 而 却是存在的所以“ 3.设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.f(0)不是 f(x)的极值D.f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定解析：解析：当 x0 时，g(x)= ，由于 g(x)在 x=0 处连续， 所以 f(0) 2 =0 2 f“(0)一 0g(0)=0，即 f(0)=0 4.设数列a n 单调增
9、加且有上界， 为常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 有关解析：解析：由于数列a n 单调增加且有上界，故 另一方面， (a n 一 a n+1 )sin na n 一 a n+1 =a n+1 一 a n ， 而已证 (a n+1 一 a n )收敛，所以由比较判别法知， 5.设 g(x)在(一，+)内存在二阶导数，且 g“(x)0令 f(x)=g(x)+g(一 x)，则当 x0 时 ( )（分数：2.00）A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)与 x 同号D.f(x)与 x 异号 解析：解析：由 f(x)=g(x)+g(x)，有 f(x)=g(x
10、)一 g(一 x)，f“(x)=g“(x)+g“(x)0， f(0)=0再由拉格朗日中值定理有 f(x)=f(0)+f“()x=f“()x， 介于 0 与 x 之间， 所以当 x0 时，f(x)与 x 异号，选 D6.设 A 是 n 阶矩阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.对任意的 n 维列向量 ，有 A=0，则 A=OB.对任意的 n 维列向量 ，有 T A=0，则 A=O C.对任意的 n 阶矩阵 B，有 AB=O，则 A=OD.对任意的 n 阶矩阵 B，有 B T AB=O，则 A=O解析：解析：法一 选项(A)对任意的 n 维列向量 ，有 A=0分别取 1 =(1，0，
11、0) T ， 2 =(0，1，0) T ， n =(0，0，1) T 代入，即得 A ij =0(i=1，2，n；j=1，2，n)故 A=O选项(C)，(D)对任意的 n 阶矩阵 B，有 AB=O 及 B T AB=O只要取 B=E，即可得出 A=0故由排除法，应选 B 法二 对选项(B)，只要 A 是非零反对称矩阵，即 A T =一 AO 时，则对任意的 n 维列向量 ，因 T A 是数，故有 T A=( T A) T = T A T =一 T A，则 2 T A=0，即 T A=0，但 AO故选项(B)是错误的，应选 B7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 均是 4 维列向量记 A=
12、( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )已知方程 AX= 5 有通解 k(1，一 1，2，0) T +(2，1，0，1) T ，其中k 是任意常数，则下列向量不是方程 BX=0 的解的是 ( )（分数：2.00）A.(2，1，0，1，一 1) T B.(3021，一 1) T C.(1，一 2，一 2，0，一 1) T D.(0，3，一 4，1，一 1) T 解析：解析：由 AX= 5 的通解 k(1，一 1，2，0) T +(2，1，0，1) T 知 5 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 表出为 5 =(k+2) 1 +(一 k+1) 2 +2k 3
13、 + 4 ， 即 (k+2) 1 +(一 k+1) 2 +2k 3 + 4 5 =0， 即 BX=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )x=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 8.设随机变量 X 与 Y 独立，均服从0，3上的均匀分布，则 P1maxX，Y)2= ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：法一 f(x，y)=f(x)f(y)= 因为maxX，Y)2X2Y2)，1maxX，YX1Y1，故 P1maxX，Y2)=P1X2，XY1y2，Yx= 法二 令 U=maxX，Y，分布函数为 F U (u)=PUu=PmaxX，YU)=PXu，Yu 又 X，Y 相互独
14、立且同分布，则 F U (u)=PXu，Yu=PXuPYu=F X (u)F Y (u)=F X (u) 2 ， 故 U 的概率密度为 f U (u)=F U (u)=ZF X (u)f X (u)= u(0u3) 所以 P1U2= 9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 XN(， 2 )的简单随机样本样本均值 （分数：2.00）A.D(S 1 2 )D(S 0 2 )D(S 2 )B.D(S 0 2 )D(S 2 )D(S 1 2 )C.D(S 2 )D(S 1 2 )D(S 0 2 )D.D(S 2 )D(S 0 2 )D(S 1 2 ) 解析：解析：X 1 ，X 2 ，X n 是总体
15、 XN(，)的简单随机样本，则 当样本量 n2 时，因为 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析：令 x 一 1=u，则11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2ln(1+*)）解析：解析：12.设 y=y(x)是由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0 及 y(0)=0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：此极限为“ ”型求导中要用到 y(0)，y“(0)等，先求出备用由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0，有 3y 2
16、y+(x+1)y+y+2x=0， 将 y(0)=0 代入，得 0+y(0)=0，有 y(0)=0再求导， 6y(y) 2 +3y 2 y“+y+(x+1)y“+y+2=0 将 y(0)=0，y(0)=0 代入，得 0+0+0+y“+0+2=0，有 y“(0)=一 2 13.已知 y=u(x)x 是微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2xtan(x 一 2)）解析：解析：由 y=u(x)x，有 +u(x)，于是原方程化为 x 2 x 2 (u 2 +4)， 由于初值为x=2，所以在 x=2 的邻域不包含 x=0 在内的区间上，上述方程可改写成 (u 2 +4)， 分
17、离变量 14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：法一 相似矩阵有相同的特征多项式故E 一 A= = 2 一 1=E 一 B= 15.设 A 与 B 是两随机事件，P(A)=06 且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：由 =05，且 P(A)=06，得 P( )=02 P( )=1 一 P(AB)=1 一P(A)+P(B)一 P(AB)=1 一P(A)+P(三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.()求定积分 a n =
18、0 2 x(2xx 2 ) n dx，n=1，2，； ()对于()中的 a n ，求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() a n = 0 2 x(2x 一 x)dx = 0 2 x1 一(1 一 x) 2 n dx， 作积分变量代换，令 1 一 x=t，于是 a n = 1 -1 (1 一 t)(1 一 t 2 ) n (一 dt) = 1 -1 (1 一 t 2 ) n dt 一 1 -1 t(1 一 t 2 ) n dt = 1 -1 (1 一 t 2 ) n dt=2 0 1 (1 一 t 2 ) n dt 下面用分部积分计算： a n =2 0 1 (1 一 t 2
19、) n dt=2 0 1 (1 一 t 2 )(1 一 t 2 ) n1 dt =a n1 2 0 1 t(1 一 t 2 ) n1 tdt )解析：18.设平面区域 D 用极坐标表示为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图阴影部分所示为清楚起见，4 个圆只画出有关的 4 个半圆 D 关于直线 y=x 对称，交点 A，B，C 的极坐标分别为 )解析：19.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=x 2 ，化为 u 的幂级数 易知 所以收敛半径 R=1，收敛区间为(一 1，1)回到原给幂级数，收敛半径也是 1，收敛区间也是(一 1，1)，当 x=1 时，易
20、知原幂级数收敛，所以收敛域为一 1，1 在收敛域一 1，1上，令其和函数为 为了进行逐项积分与逐项求导，所以在收敛区间内考虑计算 在区间(一 1，1)内，令 )解析：20.过椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0椭圆上点(，)处的切线方程为 y 一 =一 (x 一 )， 与两坐标轴的交点分别为 三角形 OAB 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 椭圆 =1与两坐标轴正向围成的图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 由于 V 2 为常数，所以求 V 的最小值，只要求 V 1 的最小值或 2 的最大值即可令 )解析：21.设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明： （分
21、数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 yx0(因若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与 y，由行列式性质知，左边值不变)，则 由柯西中值定理有，存在一点 (x，y)，使得 上式= =e 一 e 令 f(u)=e u ue u (uo)，有 f(0)=1，f(u)=一 ue 0，所以当 u0 时，f(u)1，从而知 e 一 e 1，于是得证 )解析：22.设 3 阶矩阵 A，B 满足关系式 AB=AB 且 A 有三个不同的特征值 证明：()AB=BA： ()存在可逆阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设 AB=AB
22、， 知 ABA+BE=一 E， A(BE)+(BE)=一 E， (A+E)(E 一 B)=E 即 A+E，E 一 B 互为逆矩阵，且 (EB)(A+E)=E， 从而得 AB 一 BA=O， 由，式得证 AB=BA ()A 有三个不同的特征值，故有三个线性无关的特征向量，设为 1 ， 2 ， 3 则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 1 ， 2 2 ， 3 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) ， 两端左边乘 B， BA( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 ) 由()AB=BA，得 AB( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 ) =B( 1 1 ， 2 2 ，
23、3 3 )， 得A(B i )= i (B i )，i=1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，因 i 是单根，故对应相同的特征值的特征向量成比例故 B i = i i 若 B i =0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论何种情况，B 都有三个线性无关的特征向量 i (i=1，2，3)故A，B 同时存在可逆阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )，使得 P 1 AP= )解析：23.()设 1 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )， 2 =(a 2 ，一 a 1 ，a 4 ，一 a 3 )， 3 =(a 3 ，一 a 4 ，一 a 1 ，a
24、 2 )，其中 a i (i=1，2，3，4)不全为零证明 1 ， 2 ， 3 线性无关； ()记A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用反证法假设 1 ， 2 ， 3 线性相关，则由定义，存在不全为零的实数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 (*) 因 1 2 T =(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ) =0， 1 3 T =(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ) =0， 2 3 T =(a 2 ，a 1 ，a 4 ，a 3 ) =0 又 j j = a j 2 0，j=1，2，3 故将式(*)两端右边乘 j T ，j=
25、1，2，3，得 k j j j T =0， j j T 0k j =0，j=1，2，3， 这和假设矛盾，得证 1 ， 2 ， 3 线性无关 ()由()知 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 r(A)= )解析：24.设随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由随机变量(X，Y)的概率密度得 因为 f(x，y)f X (x)f Y (y)，所以X 与 Y 不独立 () F(u，v)=PUu，Vv =PXu，YXv= f(x，y)dxdy(一u，v+)， 若 u0 或 v0，如下图所示，则 F(u，v)=0， 若 u0，v0，如下图所示， )解析：25.已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 的矩估计量设 ， 再求 的最大似然估计量当 x i 0(i=1，2，n)时，似然函数 两边取对数，得 ln L()=nln 4+2ln(x 1 x 2 x n )一3nln 一 )解析：
