1、考研数学(数学三)模拟试卷 451 及答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.已知 f(x)在 x=0 处二阶可导,且 f(0)=f“(0)=2,则 =( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.曲线 y= (分数:2.00)A.1。B.2。C.3。D.4。4.下列命题中正确的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.5.设 (分数:2.00)A.MNP。B.NMP。C.M=NP。D.M=PN。6.设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,若矩阵 AB
2、 可逆,则下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A.A 的行向量组线性无关,B 的行向量组也线性无关。B.A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关。C.A 的列向量组线性无关,B 的行向量组线性无关。D.A 的列向量组线性无关,B 的列向量组也线性无关。7.设 1 , 2 , 3 , 4 , 5 为 4 维列向量,下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A.若 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,那么当 k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 不全为 0 时,k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0。B.若 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,那么当 k 1 1
3、 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0 时,k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 不全为 0。C.若 5 不能由 1 , 2 , 3 , 4 线性表出,则 1 , 2 , 3 , 4 线性相关。D.若 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,则 5 不能由 1 , 2 , 3 , 4 线性表出。8.设 A,B 为随机事件,且 0P(A)1,则下列说法正确的是( )(分数:2.00)A.若 P(A)=P(AB),则 AB.若 P(A+B)=P(AB),则 A=B。C.若 P(AB)=D.若 P(AB)=9.设总体 X 的概率密度为 f(x)= ,X 1 ,X 2 ,X n 是来自 X 的
4、简单随机样本,统计量 T= 的期望为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:12.00)10.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_11.差分方程 y x+1 2y x =3x 2 的通解为 1。(分数:2.00)填空项 1:_12.设 f(x,y,z)=e x yz 2 是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数,其中 z=z(x,y),则 f x (0,1,1)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_13.曲线 = (分数:2.00)填空项 1:_14.设 A,B 为三阶相似矩阵,且2E+A=0, 1 =1, 2 =1 为 B 的两个特征值,则行列式A+
5、2AB= 1。(分数:2.00)填空项 1:_15.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 N(0, (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.求极限 (分数:2.00)_18.设某产品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的,收益函数 R=PQ,当价格为 P 0 ,对应的需求量为 Q 0 时,边际收益 R(Q 0 )=2,R(P 0 )=150,需求对价格的弹性 E P 满足E P = (分数:2.00)_19.根据 k 的不同的取值情况,讨论方程 x 3 3x+k=0
6、 实根的个数。(分数:2.00)_20.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)上可导,且 f(0)=f(1),证明:存在满足 01 的,使得 f()+f()=0。(分数:2.00)_21.计算二重积分 (分数:2.00)_22.讨论线性方程组 (分数:2.00)_23.设 A 是各行元素和均为零的三阶矩阵, 是线性无关的三维列向量,并满足 A=3,A=3。 ()证明矩阵 A 能相似于对角矩阵; ()若 =(0,1,1) T ,=(1,0,1) T ,求矩阵 A。(分数:2.00)_24.已知随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= (分数:2.00)_25.设 X 1 ,X 2 ,X n
7、 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,样本矩阵和样本方差分别为 和 S 2 。记 T= (分数:2.00)_考研数学(数学三)模拟试卷 451 答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.已知 f(x)在 x=0 处二阶可导,且 f(0)=f“(0)=2,则 =( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:根据反函数求导法则3.曲线 y= (分数:2.00)A.1。B.2。C.3。 D.4。解析:解析:因为 =,所以 x=0 是一条垂直
8、渐近线; 因为 =,所以不存在水平渐近线;则 y=x+1 是一条斜渐近线;4.下列命题中正确的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:选项(D),若 绝对收敛,则 收敛,因此可得 =0,而 u n 2 是 u n 的高阶无穷小,根据正项级数判别法,低阶收敛能推出高阶收敛,因此 收敛,故选择(D)。 5.设 (分数:2.00)A.MNP。B.NMP。C.M=NP。 D.M=PN。解析:解析:M= 因为积分区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称,x 3 、3xy 2 是关于 x 的奇函数,3x 2 y、y 3 是关于 y 的奇函数,所以根据对称性可得 M=0。 因为积分区域 D
9、关于 x 轴和 y 轴都对称,sinxcosy 是关于 x 的奇函数,sinxcosy 是关于 y 的奇函数,所以根据对称性可得 N=0。 6.设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,若矩阵 AB 可逆,则下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A.A 的行向量组线性无关,B 的行向量组也线性无关。B.A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关。 C.A 的列向量组线性无关,B 的行向量组线性无关。D.A 的列向量组线性无关,B 的列向量组也线性无关。解析:解析:由于矩阵 AB 可逆,可知 r(AB)=m,而 r(A)、r(B)r(AB),且有 r(A),r(B)m,可知 r(A)=
10、r(B)=m。因此,矩阵 A 行满秩,矩阵 B 列满秩,即 A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关,故选(B)。7.设 1 , 2 , 3 , 4 , 5 为 4 维列向量,下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A.若 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,那么当 k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 不全为 0 时,k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0。B.若 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,那么当 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0 时,k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 不全为 0。C.若 5 不能由 1 , 2 , 3
11、, 4 线性表出,则 1 , 2 , 3 , 4 线性相关。 D.若 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,则 5 不能由 1 , 2 , 3 , 4 线性表出。解析:解析:(C)选项,反证法。假设 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,因为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 必线性相关(5 个 4 维列向量必线性相关),则 5 可由 1 , 2 , 3 , 4 线性表出,矛盾。从而 1 , 2 , 3 , 4 线性相关。8.设 A,B 为随机事件,且 0P(A)1,则下列说法正确的是( )(分数:2.00)A.若 P(A)=P(AB),则 AB.若 P(A+B)=P(AB),则 A=B。C
12、.若 P(AB)=D.若 P(AB)= 解析:解析:因为两个事件发生的概率相等并不意味着两事件相等,所以(A)(B)(C)不一定成立,而9.设总体 X 的概率密度为 f(x)= ,X 1 ,X 2 ,X n 是来自 X 的简单随机样本,统计量 T= 的期望为( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由期望的定义和性质可得,二、填空题(总题数:6,分数:12.00)10.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:通过拼凑将所给极限变形并由等价无穷小代换得11.差分方程 y x+1 2y x =3x 2 的通解为 1。(分数:2.00)填空项
13、1:_ (正确答案:正确答案:y x =A.2 x 96x3x 2 ,A 为任意常数)解析:解析:对应的齐次方程的通解为 y x * =A.2 x (其中 A 为任意常数)。 非奇特解与右端为同名函数,因此设 =B 0 +B 1 x+B 2 x 2 ,代入给定方程,有 B 0 +B 1 (x+1)+B 2 (x+1) 2 2B 0 2B 1 x2B 2 x 2 =3x 2 , 整理得 (B 0 +B 1 +B 2 )+(B 1 +2B 2 )xB 2 x 2 =3x 2 , 比较同次幂的系数得B 0 +B 1 +B 2 =0,B 1 +2B 2 =0,B 2 =3,故 B 0 =9,B 1 =
14、6,B 2 =3。 因此,通解为 y x =y x * + 12.设 f(x,y,z)=e x yz 2 是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数,其中 z=z(x,y),则 f x (0,1,1)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:z 是关于 x,y 的函数,因此 f(x,y,z)=e x yz 2 两边对 x 求偏导可得, x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导可得 13.曲线 = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2+*)解析:解析:曲线的参数方程为 (1r3),根据弧长公式,14.设 A,B 为三阶相似矩阵,且2E
15、+A=0, 1 =1, 2 =1 为 B 的两个特征值,则行列式A+2AB= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:18)解析:解析:由2E+A=(1) 3 2EA=0,知2EA=0,=2 为 A 的一个特征值,由AB,故 A,B 有相同特征值。因此 B 的三个特征值为 1 =2, 2 =1, 3 =1,且存在可逆矩阵P,使得 P 1 BP= 。于是 15.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 N(0, (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1*)解析:解析:随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 N(0, ),记 Z=X 1 X
16、 2 ,则 ZN(0,1),因此有概率密度 (z)= 。 D(X 1 X 2 )=D(Z)=E(Z 2 )E(Z) 2 =E(Z 2 )E(Z) 2 =D(Z)+E(Z) 2 E(Z) 2 , 其中 D(Z)=1,E(Z)=0, 三、解答题(总题数:10,分数:20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:17.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用泰勒公式展开可得 )解析:18.设某产品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的,收益函数 R=PQ,当价格为 P 0 ,对应的需求量为 Q 0 时,边际收益 R(Q 0 )=2,R(P 0
17、)=150,需求对价格的弹性 E P 满足E P = (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意,收益既可以看作是价格的函数,也可以看作是需求量的函数。由此, R(P 0 )=Q 0 (1+E P )=150,R(Q 0 )=P 0 (1+ )=2。 又因为需求函数单调减少,可得 0,所以 E P 0,E P = )解析:19.根据 k 的不同的取值情况,讨论方程 x 3 3x+k=0 实根的个数。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)=x 3 3x+k,xR, 令 f(x)=3x 2 3=0,解得驻点 x=1,x=1,函数的单增区间为(,1),(1,+),单减区间为1,
18、1,因此该函数至多有三个根。 因为函数f(x)连续,根据零点定理, f()0,f(1)=2+k,f(1)=k2,f(+)0。 k2 时,f(1)0,f(1)0,函数在(1,+)上存在唯一一个根; 2k2 时,f(1)0,f(1)0,函数在每个单调区间有一根,共有三个根; k2 时,f(1)0,f(1)0,函数在(,1)存在唯一一个根; k=2 时,f(1)=0,f(1)0,方程在 x=1 处和(1,+)内各有一个根,共两个根; k=2 时,f(1)0,f(1)=0,方程在 x=1 处和(,1)内各有一个根,共两个根。 综上所述,k)解析:20.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)上可导,且
19、 f(0)=f(1),证明:存在满足 01 的,使得 f()+f()=0。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(x)在0,1上连续,在(0,1)上可导,在 上分别使用拉格朗日中值定理,可知存在 ,使得 )解析:21.计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二重积分先画出积分区域,如图 2 所示,为右侧的阴影部分,由于积分区域关于x 轴对称,根据被积函数中 y 的奇偶性, 被积函数 是关于 y 的奇函数,所以有 选用极坐标求二重积分 )解析:22.讨论线性方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:系数矩阵为 A= ,增广矩阵为 从而A=(a+3)(a1) 3 。
20、当a3 且 a1 时,方程组有唯一解; 当 a=1 时,r(A)=r(A,b)=1,方程组有无穷多解,对增广矩阵作初等变换 从而所对应的齐次方程组的基础解系为 1 =(1,1,0,0) T , 2 =(1,0,1,0) T , 3 =(1,0,0,1) T , 特解为 * =(1,0,0,0) T ,则方程通解为 x= * +k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ,k 1 ,k 2 ,k 3 为任意常数。 当 a=3 时,r(A)=r(A,b)=3,方程组有无穷多解对增广矩阵作初等变换 )解析:23.设 A 是各行元素和均为零的三阶矩阵, 是线性无关的三维列向量,并满足 A=3,A=3。 (
21、)证明矩阵 A 能相似于对角矩阵; ()若 =(0,1,1) T ,=(1,0,1) T ,求矩阵 A。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()因为 A 的各行元素和为零,从而 =0 为 A 的一个特征值,并且 =(1,1,1) T 为 A 属于 =0 的特征向量。 另一方面,又因为 A=3,A=3,所以 A(+)=3(+),A()=3(), =3 和 =3 为 A 的两个特征值,并且 + 和 为 A 属于=3,3 的特征向量,可见 A 有三个不同的特征值,所以 A 能相似于对角矩阵。 ()A 的三个特征向量为 =(1,1,1) T ,+=(1,1,0) T ,=(1,1,2) T , )解析:24.已知随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由题知当 x0 时,f YX (yx)= 当 x0 时,f(x,y)=0。 )解析:25.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,样本矩阵和样本方差分别为 和 S 2 。记 T= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意 E(T)= 2 ,而 )解析: