1、考研数学（数学三）模拟试卷 451 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f“(0)=2，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.曲线 y= （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。4.下列命题中正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 （分数：2.00）A.MNP。B.NMP。C.M=NP。D.M=PN。6.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若矩阵 AB
2、 可逆，则下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组也线性无关。B.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关。C.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关。D.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组也线性无关。7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 为 4 维列向量，下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0 时，k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0。B.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当 k 1 1
3、 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0 时，k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0。C.若 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关。D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出。8.设 A，B 为随机事件，且 0P(A)1，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)=P(AB)，则 AB.若 P(A+B)=P(AB)，则 A=B。C.若 P(AB)=D.若 P(AB)=9.设总体 X 的概率密度为 f(x)= ，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X 的
4、简单随机样本，统计量 T= 的期望为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.差分方程 y x+1 2y x =3x 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x，y，z)=e x yz 2 是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，其中 z=z(x，y)，则 f x (0，1，1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 = （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 为三阶相似矩阵，且2E+A=0， 1 =1， 2 =1 为 B 的两个特征值，则行列式A+
5、2AB= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 N(0， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.设某产品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，当价格为 P 0 ，对应的需求量为 Q 0 时，边际收益 R(Q 0 )=2，R(P 0 )=150，需求对价格的弹性 E P 满足E P = （分数：2.00）_19.根据 k 的不同的取值情况，讨论方程 x 3 3x+k=0
6、 实根的个数。（分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在满足 01 的，使得 f()+f()=0。（分数：2.00）_21.计算二重积分 （分数：2.00）_22.讨论线性方程组 （分数：2.00）_23.设 A 是各行元素和均为零的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足 A=3，A=3。 ()证明矩阵 A 能相似于对角矩阵； ()若 =(0，1，1) T ，=(1，0，1) T ，求矩阵 A。（分数：2.00）_24.已知随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X n
7、 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，样本矩阵和样本方差分别为 和 S 2 。记 T= （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 451 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f“(0)=2，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据反函数求导法则3.曲线 y= （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。 D.4。解析：解析：因为 =，所以 x=0 是一条垂直
8、渐近线； 因为 =，所以不存在水平渐近线；则 y=x+1 是一条斜渐近线；4.下列命题中正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项(D)，若 绝对收敛，则 收敛，因此可得 =0，而 u n 2 是 u n 的高阶无穷小，根据正项级数判别法，低阶收敛能推出高阶收敛，因此 收敛，故选择(D)。 5.设 （分数：2.00）A.MNP。B.NMP。C.M=NP。 D.M=PN。解析：解析：M= 因为积分区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称，x 3 、3xy 2 是关于 x 的奇函数，3x 2 y、y 3 是关于 y 的奇函数，所以根据对称性可得 M=0。 因为积分区域 D
9、关于 x 轴和 y 轴都对称，sinxcosy 是关于 x 的奇函数，sinxcosy 是关于 y 的奇函数，所以根据对称性可得 N=0。 6.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若矩阵 AB 可逆，则下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组也线性无关。B.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关。 C.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关。D.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组也线性无关。解析：解析：由于矩阵 AB 可逆，可知 r(AB)=m，而 r(A)、r(B)r(AB)，且有 r(A)，r(B)m，可知 r(A)=
10、r(B)=m。因此，矩阵 A 行满秩，矩阵 B 列满秩，即 A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关，故选(B)。7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 为 4 维列向量，下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0 时，k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0。B.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0 时，k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0。C.若 5 不能由 1 ， 2 ， 3
11、， 4 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关。 D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出。解析：解析：(C)选项，反证法。假设 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 必线性相关(5 个 4 维列向量必线性相关)，则 5 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，矛盾。从而 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关。8.设 A，B 为随机事件，且 0P(A)1，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)=P(AB)，则 AB.若 P(A+B)=P(AB)，则 A=B。C
12、.若 P(AB)=D.若 P(AB)= 解析：解析：因为两个事件发生的概率相等并不意味着两事件相等，所以(A)(B)(C)不一定成立，而9.设总体 X 的概率密度为 f(x)= ，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X 的简单随机样本，统计量 T= 的期望为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由期望的定义和性质可得，二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：通过拼凑将所给极限变形并由等价无穷小代换得11.差分方程 y x+1 2y x =3x 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项
13、1:_ （正确答案：正确答案：y x =A.2 x 96x3x 2 ，A 为任意常数）解析：解析：对应的齐次方程的通解为 y x * =A.2 x (其中 A 为任意常数)。 非奇特解与右端为同名函数，因此设 =B 0 +B 1 x+B 2 x 2 ，代入给定方程，有 B 0 +B 1 (x+1)+B 2 (x+1) 2 2B 0 2B 1 x2B 2 x 2 =3x 2 ， 整理得 (B 0 +B 1 +B 2 )+(B 1 +2B 2 )xB 2 x 2 =3x 2 ， 比较同次幂的系数得B 0 +B 1 +B 2 =0，B 1 +2B 2 =0，B 2 =3，故 B 0 =9，B 1 =
14、6，B 2 =3。 因此，通解为 y x =y x * + 12.设 f(x，y，z)=e x yz 2 是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，其中 z=z(x，y)，则 f x (0，1，1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：z 是关于 x，y 的函数，因此 f(x，y，z)=e x yz 2 两边对 x 求偏导可得， x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导可得 13.曲线 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2+*）解析：解析：曲线的参数方程为 (1r3)，根据弧长公式，14.设 A，B 为三阶相似矩阵，且2E
15、+A=0， 1 =1， 2 =1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由2E+A=(1) 3 2EA=0，知2EA=0，=2 为 A 的一个特征值，由AB，故 A，B 有相同特征值。因此 B 的三个特征值为 1 =2， 2 =1， 3 =1，且存在可逆矩阵P，使得 P 1 BP= 。于是 15.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 N(0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1*）解析：解析：随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 N(0， )，记 Z=X 1 X
16、 2 ，则 ZN(0，1)，因此有概率密度 (z)= 。 D(X 1 X 2 )=D(Z)=E(Z 2 )E(Z) 2 =E(Z 2 )E(Z) 2 =D(Z)+E(Z) 2 E(Z) 2 ， 其中 D(Z)=1，E(Z)=0， 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用泰勒公式展开可得 )解析：18.设某产品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，当价格为 P 0 ，对应的需求量为 Q 0 时，边际收益 R(Q 0 )=2，R(P 0
17、)=150，需求对价格的弹性 E P 满足E P = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，收益既可以看作是价格的函数，也可以看作是需求量的函数。由此， R(P 0 )=Q 0 (1+E P )=150，R(Q 0 )=P 0 (1+ )=2。 又因为需求函数单调减少，可得 0，所以 E P 0，E P = )解析：19.根据 k 的不同的取值情况，讨论方程 x 3 3x+k=0 实根的个数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 3 3x+k，xR， 令 f(x)=3x 2 3=0，解得驻点 x=1，x=1，函数的单增区间为(，1)，(1，+)，单减区间为1，
18、1，因此该函数至多有三个根。 因为函数f(x)连续，根据零点定理， f()0，f(1)=2+k，f(1)=k2，f(+)0。 k2 时，f(1)0，f(1)0，函数在(1，+)上存在唯一一个根； 2k2 时，f(1)0，f(1)0，函数在每个单调区间有一根，共有三个根； k2 时，f(1)0，f(1)0，函数在(，1)存在唯一一个根； k=2 时，f(1)=0，f(1)0，方程在 x=1 处和(1，+)内各有一个根，共两个根； k=2 时，f(1)0，f(1)=0，方程在 x=1 处和(，1)内各有一个根，共两个根。 综上所述，k)解析：20.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，且
19、 f(0)=f(1)，证明：存在满足 01 的，使得 f()+f()=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，在 上分别使用拉格朗日中值定理，可知存在 ，使得 )解析：21.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二重积分先画出积分区域，如图 2 所示，为右侧的阴影部分，由于积分区域关于x 轴对称，根据被积函数中 y 的奇偶性， 被积函数 是关于 y 的奇函数，所以有 选用极坐标求二重积分 )解析：22.讨论线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：系数矩阵为 A= ，增广矩阵为 从而A=(a+3)(a1) 3 。
20、当a3 且 a1 时，方程组有唯一解； 当 a=1 时，r(A)=r(A，b)=1，方程组有无穷多解，对增广矩阵作初等变换 从而所对应的齐次方程组的基础解系为 1 =(1，1，0，0) T ， 2 =(1，0，1，0) T ， 3 =(1，0，0，1) T ， 特解为 * =(1，0，0，0) T ，则方程通解为 x= * +k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ，k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数。 当 a=3 时，r(A)=r(A，b)=3，方程组有无穷多解对增广矩阵作初等变换 )解析：23.设 A 是各行元素和均为零的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足 A=3，A=3。 (
21、)证明矩阵 A 能相似于对角矩阵； ()若 =(0，1，1) T ，=(1，0，1) T ，求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 A 的各行元素和为零，从而 =0 为 A 的一个特征值，并且 =(1，1，1) T 为 A 属于 =0 的特征向量。 另一方面，又因为 A=3，A=3，所以 A(+)=3(+)，A()=3()， =3 和 =3 为 A 的两个特征值，并且 + 和 为 A 属于=3，3 的特征向量，可见 A 有三个不同的特征值，所以 A 能相似于对角矩阵。 ()A 的三个特征向量为 =(1，1，1) T ，+=(1，1，0) T ，=(1，1，2) T ， )解析：24.已知随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题知当 x0 时，f YX (yx)= 当 x0 时，f(x，y)=0。 )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，样本矩阵和样本方差分别为 和 S 2 。记 T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 E(T)= 2 ，而 )解析：
