1、考研数学（数学三）模拟试卷 448 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）= （分数：2.00）A.a=B.a=1C.a=2D.a=33.设 f（x）在0，1上连续，又 F（x）= （分数：2.00）A.F(x+)F(x)(X(一，+)）B.F(x+)F(x)（x（一，+）C.F(x+)=F(x)(X(一，+)）D.x0 时 F（x+）F（x），x0 时 F（x+）F（x）4.设 D=（x，y）|x+y1，x 2 +y 2 1，则 I= （x
2、 2 +y 2 ）d 的值为 （分数：2.00）A.B.C.D.5.已知幂级数 （分数：2.00）A.a=1B.a=1C.1a1D.1a16.设 （分数：2.00）A.a2B.a2C.0a2D.a07.n 维向量组（） 1 ， 2 ， s 和（） 1 ， 2 ， t 等价的充分必要条件是（分数：2.00）A.r()=r()，并且 s=tB.r()=r()=nC.r()=r()，并且()可以用()线性表示D.()和（)都线性无关，并且 s=t8.袋中有 2 个白球和 1 个红球现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为 （分数：2.00）A.B.C
3、.D.9.设 是取自同一正态总体 N（， 2 ）的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足 （分数：2.00）A.4B.8C.12D.24二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f（x）在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y（x）是由 x 2 +xy+y=tan（xy）确定的隐函数，且 y（0）=0，则 y“（0）= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 u（x，y）=y 2 F（3x+2y），若 （分数：2.00）填空项 1:_13.差分方程 y t+1 3y t =20cos （分数：2.00）填空项 1:_14.设实对称矩
4、阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.设（X，Y）服从右图梯形区域 D 上的均匀分布 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知极限 （分数：2.00）_18.求由曲线 y=3x 2 与圆 x 2 +（y1） 2 =4 所围图形中含坐标原点那一部分的面积（分数：2.00）_19.设 z=z（x，y）是由 9x 2 54xy+90y 2 6yzz 2 +18=0 确定的函数，求 z=z（x，y）的极值点和极值（分数：2.00）_20.求幂级数 （分数：2.00）_21.设函数
5、f（x）在区间0，4上连续，且 f（x）dx=0，求证：存在 （0，4）使得 f（）+f（4 一）=0（分数：2.00）_22.设 4 阶矩阵 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），方程组 Ax = 的通解为（12，2，1） T +c（1，2，4，0） T ，c 任意记 B=（ 3 ， 2 ， 1 ， 4 ）求方程组 Bx= 1 2 的通解（分数：2.00）_23.设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 =层，并且 r（A+E）=kn 求二次型 x T Ax 的规范形 证明 B=E+A+A 2 +A 3 +A 4 是正定矩阵，并求|B|（分数：2.00）_24.设甲袋中有 2 个白球，乙
6、袋中有 2 个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放入另一袋，这样交换 3次，求甲袋中白球数 X 的数学期望（分数：2.00）_25.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 448 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）= （分数：2.00）A.a=B.a=1C.a=2 D.a=3解析：解析： 3.设 f（x）在0，1上连续，又 F（x）= （分数：2.00）A.F(x+)F(x)(X(一，+)）B.F(x
7、+)F(x)（x（一，+）C.F(x+)=F(x)(X(一，+)） D.x0 时 F（x+）F（x），x0 时 F（x+）F（x）解析：解析：f(|sinx|）是以 为周期的周期函数，因而有4.设 D=（x，y）|x+y1，x 2 +y 2 1，则 I= （x 2 +y 2 ）d 的值为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：D 由直线 x+y=1 与圆周 x 2 +y 2 =1 所围成（它位于第一象限），如图 记 D 1 =(x，y)|x2+y21，x0y0， D 2 =（x，y）|x+y1，x0，y0， 显然 D= D 1 /D 2 ，于是 其中 D 2 关于直线 y=x 对称，
8、因此 5.已知幂级数 （分数：2.00）A.a=1B.a=1 C.1a1D.1a1解析：解析： 知该幂级数的收敛半径为 1，从而得其收敛区间为 |xa|1，即 a1xa+1 又当 xa=1 即 x=a+1 时，原级数为 收敛；当 xa=1 即 x=a1 时， 原级数为6.设 （分数：2.00）A.a2B.a2C.0a2 D.a0解析：解析：用顺序主子式A 的 3 个顺序主子式为 2，4a 2 ，2aa 2 ，它们都大于 0 的条件是0a27.n 维向量组（） 1 ， 2 ， s 和（） 1 ， 2 ， t 等价的充分必要条件是（分数：2.00）A.r()=r()，并且 s=tB.r()=r()
9、=nC.r()=r()，并且()可以用()线性表示 D.()和（)都线性无关，并且 s=t解析：解析：()与()等价的充分必要条件是 r()=r() =r(，) (A)缺少条件 r(，)=r() (B)是()与()等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数 (D)()和()都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如 ()： 1 =(1，0，0，0)， 2 =(0，1，0，0)，()： 1 =(0，0，1，0)，设 2 =(0，0，0，1) ()和()都无关，并且 s=t=2，但是()和()不等价 (C)(I)可以用()线性表示，则 r()=r(，)8.袋中有 2 个白球和 1 个红球
10、现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设 A i 表示第 i 次取到白球，i=1，2，n，则 =A 1 A 2 A n1 . 由乘法公式可得 9.设 是取自同一正态总体 N（， 2 ）的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足 （分数：2.00）A.4B.8 C.12D.24解析：解析：因总体服从正态分布 N（， 2 ），则 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f（x）在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解
11、析：利用 sinx 的带皮亚诺余项的三阶泰勒公式有 xsinx=xx x 3 +o(x 3 )= x 3 +o(x 3 )， 代入原极限式即得 11.设 y（x）是由 x 2 +xy+y=tan（xy）确定的隐函数，且 y（0）=0，则 y“（0）= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将方程看成关于变量 x 的恒等式，两端同时对变量 x 求导数可得 在（*）式中令 x =0，又 y(0)=0，则有 y(0)=1y(0)，于是 y(0)= 将（*）式看成关于变量 x 的恒等式，两端同时对变量 x 求导数又可得 在（*）式中令 x =0，又 y(0)=0y(
12、0)= 即得 2+2y(0)+y“(0)=一y“(0)，于是 y“(0)=一 1y(0)=12.设 u（x，y）=y 2 F（3x+2y），若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 u(x， )=x 2 得 F(3x+1)=x 2 ，即 F(3x+1)=4x 2 设 3x+1=t，x= （t 一 1），则 F(t)= （t1） 2 ，从而 F(3x+2y)= (3x+2y1) 2 于是 u（x，y）= y 2 (3x+2y1) 2 y 2 (3x+2y 1) 6 = 13.差分方程 y t+1 3y t =20cos （分数：2.00）填空项 1:_ （正
13、确答案：正确答案：y t =63 t 一 ）解析：解析：根据题设差分方程的特点，可设其通解形式为 y t = C3 t +Acos 其中 A，B，C 是待定常数，于是，y t+1 = 3C3 t 一 Asin 把它们代入方程可得 y t+1 3y t = (B3A)cos 令 即可确定常数 A =1，B=17 即差分方程的通解为 y t = C3 t cos 再利用条件 y 0 =5 又可确定常数 C=6故所求特解是 y t =63 t cos 14.设实对称矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a0 或4）解析：解析：A 的正，负惯性指数分别为 2 和 1 的充分必要
14、条件是|A|0（A 的对角线元素有正数，不可能特征值都负）求出|A|=a 2 +4a，得答案15.设（X，Y）服从右图梯形区域 D 上的均匀分布 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于(X，Y)在 D 上服从均匀分布，故可用几何概率求解. 记 将梯形区域 D 分成 12 个全等的小三角形此时可记 S =12，S A =3 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用洛必达法则由 )解析：18.求由曲线 y=3x 2 与圆
15、 x 2 +（y1） 2 =4 所围图形中含坐标原点那一部分的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求抛物线与圆的交点， 由 y=3 x 2 与 x 2 +（y1） 2 =4 可得 x 2 +(2 x 2 ) 2 =4，即 x 2 (x 2 3)=0， 从而 x=0x= 因此两曲线的交点分别为(0，3)， x 轴下方圆的曲线方程为 y=1 图形关于 y 轴对称，因此 )解析：19.设 z=z（x，y）是由 9x 2 54xy+90y 2 6yzz 2 +18=0 确定的函数，求 z=z（x，y）的极值点和极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用一阶全微分形式不变性，将方程求
16、全微分即得 18xdx 54(ydx+xdy)+180ydy 6zdy 6ydz 2zdz=0， 即 （18x 54y)dx+(180y 54x 62)dy (6y+2z)dz=0 从而为求隐函数 z= z(x，y)的驻点，应解方程组 可化简为 x= 3y，由可得 z=30y 9x=3y，代入可解得两个驻点 x=3，y=1，z=3 与 x=3，y=1，z=3 为判定 z= z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求 z=z（z，y）在这两点的二阶偏导数： 记 P=(3，1，3)， Q=（3，1，3），即可得出在 P 点处 故在点(3，1)处 z=z（x，y）取得极小值 z(3，1) =3 类
17、似可知在 Q 点处 )解析：20.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用通项分拆法分解幂级数可得 利用已知的和函数公式：当 就有 )解析：21.设函数 f（x）在区间0，4上连续，且 f（x）dx=0，求证：存在 （0，4）使得 f（）+f（4 一）=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作换元 t=4x:04 对应 t:40，且 dx=df，从而 0 4 f(x)dx=一 4 0 f(4 t)dt= 0 4 (4 t)dt= 0 4 f(4 x)dx 由此即得 0 4 f(4 一 x）dx= 0 4 f(x）dx=0，于是 0 4 f(x)+f(4x)dx=0 利用 f
18、(x)+f(4x)在0，4连续，由连续函数的积分中值定理即知存在 (0，4)使得 f(）+f(4 一 ）= )解析：22.设 4 阶矩阵 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），方程组 Ax = 的通解为（12，2，1） T +c（1，2，4，0） T ，c 任意记 B=（ 3 ， 2 ， 1 ， 4 ）求方程组 Bx= 1 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先从 AX = 的通解为(1，2，2，1) T +c（1，2，4，0） T 可得到下列讯息：Ax =0 的基础解系包含 1 个解，即 4 r(A)=1，得 r(A)=3即 r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）=3 (1
19、，2，2，1) T 是 Ax = 解，即 1 +2 2 +2 3 + 4 = （1，2，4，0） T 是 Ax=0 解，即 1 2 2 +4 3 =0 1 ， 2 ， 3 线性相关，r（ 1 ， 2 ， 3 ）=2 显然B（0，1，1，0） T = 1 2 ，即（0，1，1，0） T 是 Bx= 1 2 的一个解 由，B=（ 3 ， 2 ， 1 ， 4 ）=（ 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 ），于是 r（B）= r( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=2 则 Bx =0 的基础解系包含解的个数为 4 r(B)=2 个， 1 2
20、2 +4 3 =0 说明（4，2，1，0） T 是 Bx =0 的解；又从 B=（ 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 ）容易得到 B（2，2，1，1） T =0，说明（2，2，1，1） T 也是 Bx =0 的解，于是（4，2，1，0） T 和（2，2，1，1） T 构成 Bx=0的基础解系 Bx= 1 2 的通解为： (0， 1，1，0) T +c 1 (4，2，1，0) T +c 2 ( 2， 2， 1，1) T ， c 1 ，c 2 任意)解析：23.设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 =层，并且 r（A+E）=kn 求二次型 x T Ax 的规范形 证明 B=E+
21、A+A 2 +A 3 +A 4 是正定矩阵，并求|B|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 2 =E，A 的特征值 应满足 2 =1，即只能是 1 和1于是 A+E 的特征值只能是 2 和 0A+E 也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵 ， 的秩等于 r(A+E)=k于是 A+E 的特征值是 2（后重）和 0（nk 重），从而 A 的特征值是 1（k 重）和1（nk 重）A 的正，负关系惯性指数分别为 k 和 nk，x T Ax 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 +y k 2 一 y k+1 2 一一 y n 2 ， B 是实对称矩阵，由 A 2 =E，有 B= 3E+2A，B
22、的特征值为 5（k 重）和 1（nk 重）都是正数因此 B 是正定矩阵 |B|=5 k 1 nk = 5 k )解析：24.设甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放入另一袋，这样交换 3次，求甲袋中白球数 X 的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =第二次交换后甲袋有 i 个白球，i=0，1，2由于经过第一次交换，甲、乙两袋中各有一个红球，一个白球，故 又设X=k表示三次交换后甲袋中的白球数，k=0，1，2则 PX =0|A 0 =0， PX=0|A 1 = ，PX =0|A 2 =0， PX =1|A 0 =1， PX=1|A 1
23、 = ，PX =1|A 2 =1， PX =2|A 0 =0， PX=2|A 1 = ，PX =2|A 2 =0， 所以 PX=0 =PX=0|A 1 P(A 1 ) = PX =1=PX=1|A 0 P(A 0 )PX =1|A 1 P(A 1 )+PX=1|A 2 P(A 2 ) PX=2=PX=2|A 1 P(A 1 )= 故 X 的概分布为 )解析：解析：为求数学期望应先求出甲袋白球数 X 的概率分布经过第一次交换后，甲、乙两袋中都各有一白一红，故我们从第二次交换开始讨论25.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 ， 2 ，x n 为样本 X 1 ，X 2 ，X n 的观测值，则似然函数 L（x 1 ， 2 ，x n ；a，b） L(a，b)为 由于 n/b 0，故 InL(a，b)与 L（a，b）关于 a 是增函数，但是又因只有 amin（x 1 ， 2 ，x n ）时，L（a，b）才不等于零，故 a 可取的最大值为min（x 1 ， 2 ，x n ）再根据方程 于是 a，b 的最大似然估计量分别为 )解析：
