1、考研数学（数学三）模拟试卷 446 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）是以 3 为周期的可导函数，且 f（1）=1，则 （分数：2.00）A.一 4B.4C.D.3.设函数 f（x）在（一，+）内连续，其导函数 y=f（x）的曲线如图所示，则 f（x）有 （分数：2.00）A.两个极小值点，一个极大值点，三个拐点B.一个极小值点，一个极大值点，两个拐点C.一个极小值点，一个极大值点，三个拐点D.一个极小值点，两个极大值点，三个拐点4.曲线
2、 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个5.下列级数中属于条件收敛的是 （分数：2.00）A.B.C.D.6.a=5 是齐次方程组 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件，但不是必要条件C.必要条件，但不是充分条件D.既不是必要条件又不是充分条件7.n 维向量 =120，0，12） T ，A=E4 T ，=（1，1，I） T ，则 A 的长度为（分数：2.00）A.B.C.nD.n 2 8.设 X，Y 为随机变量，PXY0= ，Pnlax（Y，Y）0= ，则 P；min（X，Y）0= （分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X 的密度函数为 则下列服从标准
3、正态分布的随机变量是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.与曲线（y2） 2 =x 相切，且与曲线在点（1，3）处的切线垂直，则此直线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.将抛物线 y=x 2 x 与 x 轴及直线 x=c（c1）所围成平面图形绕 x 轴旋转一周，所得旋转体的体积 V x 等于弦 op（p 为抛物线与直线 x=c 的交点）绕 x 轴旋转所得锥体的体积 V 锥 ，则 c 的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_13.二阶微分方程 y“+y=10e 2x 满足条件 y（0
4、）=0，y（0）=1 的特解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_15.一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率 p i = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 b 为常数（）求曲线 L:y= （分数：2.00）_18.设函数 f（x）在 x=1 的某邻域内连续，且有 （）求 f（1）及 （分数：2.00）_19.求（x，y，z）=2x+2vz 2 +5 在区域 ：x 2 +y
5、2 +z 2 2 上的最大值与最小值（分数：2.00）_20.设曲线 y=y（x）上任意一点的切线在 y 轴上的截距与法线在 x 轴上的截距之比为 3，求 y（x）（分数：2.00）_21.设 f（x）在a，b上连续且单调增加试证： （分数：2.00）_22.已知四元齐次方程组 （分数：2.00）_23.已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 = 1 3 2 3 3 A 2 =4 1 +4 2 + 3 ，A 3 =2 1 +3 3 求 A 的特征值 求 A 的特征向量， 求 A * 6E 的秩（分数：2.00）_24.设在某一时间段内进入某大
6、型超市的顾客人数 X 服从参数为 A 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 p假定各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY（分数：2.00）_25.历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了 12000 次，正面出现 6019 次，现在我们若重复他的试验，试求：（）抛掷 12000 次正面出现频率与概率之差的绝对值不超过当年皮尔逊试验偏差的概率；（）要想使我们试验正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于 20，现在我们应最多试验多少次？ （分数：2.00）_考研数学（数学三
7、）模拟试卷 446 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）是以 3 为周期的可导函数，且 f（1）=1，则 （分数：2.00）A.一 4B.4C. D.解析：解析：注意 f（x）也以 3 为周期，f（1）=f(2)，利用导数可求得极限3.设函数 f（x）在（一，+）内连续，其导函数 y=f（x）的曲线如图所示，则 f（x）有 （分数：2.00）A.两个极小值点，一个极大值点，三个拐点B.一个极小值点，一个极大值点，两个拐点C.一个极小值点
8、，一个极大值点，三个拐点 D.一个极小值点，两个极大值点，三个拐点解析：解析：由图可知，f（x）有两个零点：x 1 0，x 2 0，且在 x 1 两侧 f(x)由正变为负，即f（x）先增后减，于是 x 1 为极大值点；类似分析可知 x 2 为极小值点x=0 为 f(x)不存在的点（第二类间断点），在 x=0 两侧均有 f(x)0，因此 x=0 不是极值点，但在 x=0 两侧 f(x)由减函数变为增函数，由此可断定(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 4.曲线 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 解析：解析：y=(x 3 3x) ，先求出 y与 y“ y=（x 3 3
9、x） (x 2 1)， y“= （x 3 3x） 3(x 2 一 1) 2 +2x(x 3 3x) =2(x 3 3x) （x 2 一 1） 2 一 x（x 3 3x） =2(x 3 3x) （x 2 +1）=2x （x 2 3） （x 2 +1）， 由 在（一，+）连续，y“不存在的点只有 x=0，x= ，而 y“=0 的点不存在，且在 x= 两侧 y“变号，x=0 两侧）y“也变号 均为 y= 5.下列级数中属于条件收敛的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)，(B)，(C)不是条件收敛由6.a=5 是齐次方程组 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件，但不是必
10、要条件 C.必要条件，但不是充分条件D.既不是必要条件又不是充分条件解析：解析：根据克拉姆法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为 07.n 维向量 =120，0，12） T ，A=E4 T ，=（1，1，I） T ，则 A 的长度为（分数：2.00）A.B. C.nD.n 2 解析：解析：A=(E4 T )=4( T )=4=（1，1，1，1） T ， 8.设 X，Y 为随机变量，PXY0= ，Pnlax（Y，Y）0= ，则 P；min（X，Y）0= （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：9.设随机变量 X 的密度函数为 则下列服从标准正
11、态分布的随机变量是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 可知 XN(3，2)， (X+3)N(0，1)，而(A)，(B)，(C)三个选项都不符合，只有(D)符合，可以验证二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.与曲线（y2） 2 =x 相切，且与曲线在点（1，3）处的切线垂直，则此直线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对曲线方程求导，2（y2）y=1，故 当 y=3 时，y= ，即曲线在点(1，3)处的法线斜率为2，由 y= 代入曲线方程，有 x= 所以切点坐标为 故直线方程为11.将抛物线 y=x 2 x 与 x 轴及
12、直线 x=c（c1）所围成平面图形绕 x 轴旋转一周，所得旋转体的体积 V x 等于弦 op（p 为抛物线与直线 x=c 的交点）绕 x 轴旋转所得锥体的体积 V 锥 ，则 c 的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：图形如右图所示 x= 0 c y 2 dx= 0 c （x 2 x） 2 dx = 0 c （x 4 2x 3 +x 2 ）dx 12.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.二阶微分方程 y“+y=10e 2x 满足条件 y（0）=0，y（0）=1 的特解是 y= 1（分数：2.00
13、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2x 2cosx3sinx，）解析：解析：本题中微分方程的特征方程是 2 +1 =0，特征根是 =i 与 =一 i，由方程的右端项 10e 2x 即知可设方程具有形式为 y * = Ae 2x 的特解，从而方程通解的形式为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+Ae 2x 计算可得 y“= C 1 cosx C 2 sinx+4Ae 2x 把 y 与 y“代入方程就有 y“+y=SAe 2x 令 5A=10 即 A=2 即得方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+2e 2x 分别令 y(0)=C 1 +2 =0 与 y(0)=C 2
14、 +4=1 又可确定常数 C 1 =2，C 2 =3故所求的特解是 y=2e 2x 一 2cosx 3sinx14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，所以条件说明 A 的三个特征值都相等，即 A有一个 3 重特征值 3=tr(A)=3，于是 =1 有 |EA|=（1） 3 15.一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率 p i = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：以 A i 表示第 i 个零件合格，i=1，2，3，A i 相
15、互独立，于是有 以 X 表示 3 个零件中合格品的个数，则 PX= 3= P(A 1 A 2 A 3 )= P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )= 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 b 为常数（）求曲线 L:y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以斜渐近线方程为 y= 2x4 如果 2b+15+10，即如果 b8，无论 b8 还是 b8，均有 Int(t+2) 2b+15 =，从而与 A 为有限值矛盾当 b=8 时有 故此时所求的面积 )解析：18.设函数 f（x）在 x=1
16、的某邻域内连续，且有 （）求 f（1）及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin 2 x0，现利用等价无穷小因子替换：当 x0 时， In1+f(x+1)+3sin 2 x一 f(x+1)+3sin 2 x， )解析：19.求（x，y，z）=2x+2vz 2 +5 在区域 ：x 2 +y 2 +z 2 2 上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x，y，z)在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值 第一步，先求f(x，y，z)在 内的驻点 由 =2 知 f(x，y，z）在 内无驻点，因此 f(x，y，z)在 的
17、最大、最小值都只能在 的边界上达到 第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x 2 +y 2 +z 2 =2 上的最大、最小值，即求 f(x，y，z)在条件 x 2 +y 2 +z 2 2=0 下的最大、最小值 令 F(x，y，z，)=2x+2y z 2 +5+（x 2 +y 2 +z 2 2），解方程组 )解析：20.设曲线 y=y（x）上任意一点的切线在 y 轴上的截距与法线在 x 轴上的截距之比为 3，求 y（x）（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1）先求截距并列方程，曲线 y=y(x)在 点(x，y(z)处的切线方程是 Y y(x)=y（x）（Xx） 令 X =0，得 y 轴上
18、截距 y= y(x) xy（x） 相应的法线方程是 令 Y=0，得 x 轴上截距 X =x+y(x)y（x） 2)求解方程 )解析：21.设 f（x）在a，b上连续且单调增加试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 xf(x)dx a b f（x）dx，即要证 由积分中值定理 * ，存在 )解析：解析：改写不等式，即要证 分别在区间22.已知四元齐次方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：条件即()和()的联立方程组和()同解，也就是矩阵 的秩相等， 对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯形矩阵的上面 3 行是由
19、A 变来的显然 a=0 时 r(A)=1，r(B)=2，因此 a0 因为 a0，所以 r(A)=3要使得 r(B)=3，a=1/2 )解析：23.已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 = 1 3 2 3 3 A 2 =4 1 +4 2 + 3 ，A 3 =2 1 +3 3 求 A 的特征值 求 A 的特征向量， 求 A * 6E 的秩（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 P=（ 1 ， 2 ， 3 ），因为 1 ， 2 ， 3 是线性无关，所以 P是可逆矩阵 AP=（A 1 ，A 2 ，A 3 ）=（一 1 3 2 3 3 ，4 1
20、 +4 2 + 3 ， 2 1 +3 3 ） =（ 1 ， 2 ， 3 ） （此处用了矩阵分解） 记 则 AP=PB，即 P 1 AP=B，A 与 B 相似，特征值一样 求 B 的特征多项式 得 A 的特征值为 1，2，3 先求 B 的特征向量，用 P 左乘之得到 A 的特征向量（如果 B=，则 P 1 AP=，即 A(P)=A(P) 对于特征值 1： B 的属于特征值 1 的特征向量（即（BE）x=0 的非零解）为 c(1，1，1) T ，c0 则 A 的属于特征值 1 的特征向量为 c（ 1 + 2 + 3 ） T ，c0 对于特征值 2： B 的属于特征值 2 的特征向量（即（B 2E）
21、x=0 的非零解）为 c(2，3，3) T ，c0则 A 的属于特征值 2 的特征向量为 c（2 1 +3 2 +3 3 ） T ，c0 对于特征值 3： B 的属于特征值 3的特征向量（即（B3E）x=0 的非零解）为 c(1，3，4) T ，c0 则 A 的属于特征值 3 的特征向量为c（ 1 +3 2 +4 3 ） T ，c0 由 A 的特征值为 1，2，3，|A|=6于是 A * 的特征值为6，3，2，A * 6E 的特征值为 0，34 于是 A * 6E )解析：24.设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 A 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 p假定
22、各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，PX=m= e ，m=0，1，2，； 0 购买 A 类商品的人数 Y，在进入超市的人数 X=m 的条件下服从二项分布 B(m，P)，即 PY=k|X=m=C m k p k q mk ，k=0，1，2，m；q=1p 由全概率公式有 又因为当 mk 时，P|Y：k|X=m=0，所以 )解析：25.历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了 12000 次，正面出现 6019 次，现在我们若重复他的试验，试求：（）抛掷 12000 次正面出现频率与概率之差的绝对值不超过当年皮尔逊试验偏差的概率；（）要想使我们试验正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于 20，现在我们应最多试验多少次？ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 X 表示试验中正面出现的次数，则 XB(12000，05)，且EX=np=6000DX=npq=3000由于 n=12000 相当大，因此 近似服从正态分布 N(0，1)，于是 ()设至多试验 n 次，Y 为 n 次中正面出现的次数，显然 YB(n，05)，EY=05n，DY=0 25n，于是)解析：
