1、考研数学（数学三）模拟试卷 445及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f（x）=cosx+xsinx 在（2，2）内零点的个数为（分数：2.00）A.1个B.2个C.3个D.4个3.设 m与 n是正整数，则 0 1 x m （lnx） n dx= （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f（x）在a，b上可导，f（x）+f（x） 2 一 a x f（t）dt=0，且 a b （t）dt=0，则 a x （t）dt 在（a，b）内必定（分数：2.
2、00）A.恒为正B.恒为负C.恒为零D.变号5.设 D是以点 A（1，1），B（1，1），C（1，1）为顶点的三角形区域，则 （分数：2.00）A.2B.5C.8D.66.设 1 ， 2 ， 3 为 3个 n维向量，AX=0 是 n元齐次方程组。则（ ）正确（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， 3 都是 AX=0的解，并且线性无关，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0的一个基础解系B.如果 1 ， 2 ， 3 都是 AX=0的解，并且 r(A)=n3，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0的一个基础解系C.如果 1 ， 2 ， 3 等价于 AX=0的一个基础解系，则它也是 AX=0的基础解
3、系D.如果 r(A)=n3，并且 AX=0每个解都可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0的一个基础解系7.下列矩阵中不相似于对角矩阵的是 （分数：2.00）A.B.C.D.8.在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次，设事件 A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p（0p1），则（分数：2.00）A.AB与 C独立B.BC与 A独立C.AC与 B独立D.A，B，C 相互独立9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从标准正态分布 N（0，1），已知 （分数：2.
4、00）A.y y 1 =1B.y C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知当 x0 与 y0 时 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 B= （分数：2.00）填空项 1:_15.设试验的成功率 p=20，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16次和 32次之间的概率 = 1（1）=08413，（3）=09987）（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16
5、.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.抛物线 y=x 2 上任意点（a，a 2 ）（a0）处引切线 L 1 ，在另一点处引另一切线 L 2 ，L 2 与 L 1 垂直 （）求 L 1 与 L 2 交点的横坐标 x 1 ； （）求 L 1 ，L 2 与抛物线 y=x 2 所围图形的面积S（a）； （）问 a0 取何值时 S（a）取最小值（分数：2.00）_18.（）求积分 f（t）= （分数：2.00）_19.设某企业生产一种产品，其成本 C（Q）= Q 3 一 16Q 2 +100Q+1000平均收益 （Q）=a bQ（a0，0b24），当边际收益 MR=4
6、4，需求价格弹性 E p = （分数：2.00）_20.计算二重积分 （分数：2.00）_21.设数列a n ，b n 满足 a n （n=1，2，3，），求证： （）若 a n 0，则 b n 0； （）若 a n 0（n=1，2，3，） a n 收敛，则 （分数：2.00）_22.设 1 =（1，3，5，1） T ， 2 =（2，7，a，4） T ， 3 =（5，17，1，7） T 若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a 当 a=3时，求与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 设 a=3， 4 是与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任何
7、一个 4维向量（分数：2.00）_23.已知三元二次型 x T Ax的平方项系数都为 0，=（1，2，1） T 满足 A=2 求 x T Ax的表达式 求作正交变换 x=Qy，把 x T Ax化为标准二次型。（分数：2.00）_24.设甲袋中有 9个白球，1 个黑球；乙袋中有 10个白球，每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放入另一袋中，试求： （）这样的交换进行了 3次，黑球仍在甲袋中的概率 p 3 ； （）这样的交换进行了 n次，黑球仍在甲袋中的概率 p n .（分数：2.00）_25.设二维连续型随机变量（X，Y）服从区域 D上的均匀分布，其中 D=（x，y）10yx2y试求：（）X+Y
8、 的概率密度；（）X 的边缘概率密度；（）PY02|X=15（分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 445答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f（x）=cosx+xsinx 在（2，2）内零点的个数为（分数：2.00）A.1个B.2个C.3个D.4个 解析：解析：f(x)为偶函数，f(0)=1，故只需讨论（0，2）内零点的个数 由此可知，f(x)在无零点f(x)在3.设 m与 n是正整数，则 0 1 x m （lnx） n dx= （
9、分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：用分部积分法计算这里积分下限 0是瑕点，从而在积分下限处都理解为求极限 继续进行分部积分可得4.设 f（x）在a，b上可导，f（x）+f（x） 2 一 a x f（t）dt=0，且 a b （t）dt=0，则 a x （t）dt 在（a，b）内必定（分数：2.00）A.恒为正B.恒为负C.恒为零 D.变号解析：解析：设 F(x)= a x (t）dt，若 F(x)在（a，b）内可取正值，由于 F(a)=F(b)=0，故 F(x)在（a，b）内存在最大值且为正，从而知 F(x)必在（a，b）内存在正的极大值，记该极大值点为 x 0 ，于是 F（x 0
10、 ）=0，F(x 0 )0即 f(x 0 ）=0， a x0 f(t)dt0，代入原方程，得 F“（x 0 ）= a x0 f(t)dt0，这表明 F(x 0 )应是极小值，导致矛盾同理可知 F(x)在（a，b）内也不可能取到负值，故选(C)5.设 D是以点 A（1，1），B（1，1），C（1，1）为顶点的三角形区域，则 （分数：2.00）A.2B.5C.8 D.6解析：解析：D 如图所示，连 将 D分成 D=D 1 D 2 ，D 1 ，D 2 分别关于 x，y 轴对称， 6.设 1 ， 2 ， 3 为 3个 n维向量，AX=0 是 n元齐次方程组。则（ ）正确（分数：2.00）A.如果 1
11、， 2 ， 3 都是 AX=0的解，并且线性无关，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0的一个基础解系B.如果 1 ， 2 ， 3 都是 AX=0的解，并且 r(A)=n3，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0的一个基础解系C.如果 1 ， 2 ， 3 等价于 AX=0的一个基础解系，则它也是 AX=0的基础解系D.如果 r(A)=n3，并且 AX=0每个解都可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 为 AX=0的一个基础解系 解析：解析：(A)缺少 nr(A)=3的条件 (B)缺少 1 ， 2 ， 3 线性无关的条件 (C)例如 1 ， 2 是基础解系 1 + 2 = 3
12、，则 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 等价，但是 1 ， 2 ， 3 不是基础解系 要说明(D)的正确性，就要证明 1 ， 2 ， 3 都是 AX=0的解，并且线性无关方法如下： 设 1 ， 2 ， 3 是 AX =0的一个基础解系，则由条件， 1 ， 2 ， 3 可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，于是 3r（ 1 ， 2 ， 3 ）=r（ 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 ）r（ 1 ， 2 ， 3 ）=3， 则 r（ 1 ， 2 ， 3 )=r（ 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=3， 于是 1 ， 2 ， 3 线性无关，并且和
13、 1 ， 2 ， 3 等价，从而都是 AX=0的解7.下列矩阵中不相似于对角矩阵的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：(A)矩阵的 3个特征值两两不同，(D)是实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵 (C)矩阵的秩为 1，它的特征值都为 0，其重数 33 一(C)矩阵的秩，因此(C)不相似于对角矩阵 (B)矩阵的秩也为 1，它的特征值为 0，0，6，0 的重数 2=3(B)矩阵的秩，因此相似于对角矩阵8.在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次，设事件 A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p（0p1），则（
14、分数：2.00）A.AB与 C独立 B.BC与 A独立C.AC与 B独立D.A，B，C 相互独立解析：解析：依题意 A与 B为对立事件，因此 AB=9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从标准正态分布 N（0，1），已知 （分数：2.00）A.y y 1 =1 B.y C.D.解析：解析：依题意可知，X 1 2 +X 2 2 与 X 3 2 +X 4 2 相互独立且都服从自由度为 2的 2 分布，因此 Y= 因为 PYy =，即 y =F (2，2)，又 1= 1PY y = PY y = PY y = 而 F(2，2)，所以 1 = 由 =PYy 可知 y 1
15、= 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x）解析：解析：因为11.设函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10!2 10 ）解析：解析： f （10） (1)= 12.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4e）解析：解析：由 g（x）在点 x=0处连续及 g（x）=1+2x+o(x)（x0） 由复合函数求导法及变限积分求导法13.已知当 x0 与 y0 时 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 从而当 x0
16、 y0 时 f(x，y)= （e x +lny）求全微分可得 令x=1，y=1 就有 14.已知 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：27）解析：解析：A 相似于 B，则 A * +3E相似于 B * +3E，于是|A * +3E|=|B * +3E| 15.设试验的成功率 p=20，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16次和 32次之间的概率 = 1（1）=08413，（3）=09987）（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：084）解析：解析：以 X表示“100 次独立重复试验成功的次数”，则 X服从参数为 n=100，p
17、=020 的二项分布，且 EX=np=20， 根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知随机变量 近似服从分布 N(0，1)，于是三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.抛物线 y=x 2 上任意点（a，a 2 ）（a0）处引切线 L 1 ，在另一点处引另一切线 L 2 ，L 2 与 L 1 垂直 （）求 L 1 与 L 2 交点的横坐标 x 1 ； （）求 L 1 ，L 2 与抛物线 y=x 2 所围图形的面积S（a）； （）问 a0 取何值时 S（a）取最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()抛物
18、线 y=x 2 在点（a，a 2 ）处的切线为 L 1 :y=a 2 +2a（x 一 a），即y=2ax a 2 另一点(b，b 2 )处的切线为 L 2 ：y=b 2 +2b（x 一 b），即 y=2bxb 2 由 L 1 与 L 2 垂直 它们的交点（x i ，y 1 ）满足 2ax 1 a 2 = 2bx 1 b 2 ，x 1 = 于是 x 1 = ()L 1 ，L 2 与 y=x 2 所围图形的面积 由 x 1 的表达式知，x 1 b=ax 1 ()求导解最值问题，由 )解析：18.（）求积分 f（t）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()t0 时 f(t）与初等函数
19、相同，故连续，又 故 f(t)在 t=0也连续因此 f(x）在（一，+）连续 )解析：19.设某企业生产一种产品，其成本 C（Q）= Q 3 一 16Q 2 +100Q+1000平均收益 （Q）=a bQ（a0，0b24），当边际收益 MR=44，需求价格弹性 E p = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：收益函数 当取得最大利润时，边际收益等于边际成本， 即 MR=MC 又 MR =R=abQ，于是 44=C(Q)=2Q 2 32Q+100，即 Q 2 一 16Q+28=0 解得 Q 1 =14， Q 2 =2 )解析：20.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因
20、区域 D关于 y轴对称， 为偶函数， 对 D 1 ，D 2 引入极坐标 )解析：21.设数列a n ，b n 满足 a n （n=1，2，3，），求证： （）若 a n 0，则 b n 0； （）若 a n 0（n=1，2，3，） a n 收敛，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 a n 0 证 b n 0 1+a n 证明数列不等式转化为证明函数不等式 e x 1+x，（x0） 令 f（x）e x （1+x），则 f（x）=e x 1 0（x0） 又由 f(x)在0，+）连续 f（x）在0，+）单调上升 f（x）f(0)=0（x0） 一 a n 1，即 b n 0 ()设
21、a n 0， e an 一 a n ）=1 为证 与 a n 的关系 )解析：22.设 1 =（1，3，5，1） T ， 2 =（2，7，a，4） T ， 3 =（5，17，1，7） T 若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a 当 a=3时，求与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 设 a=3， 4 是与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任何一个 4维向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 r（ 1 ， 2 ， 3 ）3 ( 1 ， 2 ， 3 )= 得 a=3 与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零
22、向量即齐次方程组 的非零解，解此方程组： 解得 4 =c（19，6，0，1） T ，c0 只用证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，此时对任何 4维向量 ，有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 线性相关， 从而 可以用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示 方法一 由知，a=3 时， 1 ， 2 ， 3 线性无关，只用证明 4 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表示 用反证法，如果 4 能用 1 ， 2 ， 3 线性表示，设(4=c 1 1 +c 2 2 +c 3 3 ，则 ( 4 ， 4 )=( 4 ，c 1 1 +c 2 2 +c 3 3 )=c 1 ( 4 ， 1 )+c 2 ( 4
23、， 2 )+c 3 ( 4 ， 3 ) =0 得 4 =0，与 4 是非零向量矛盾 方法二 计算行列式 | 1 ， 2 ， 3 ， 4 | )解析：23.已知三元二次型 x T Ax的平方项系数都为 0，=（1，2，1） T 满足 A=2 求 x T Ax的表达式 求作正交变换 x=Qy，把 x T Ax化为标准二次型。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 则条件 A=2 即 得 2ab=2，ac=4，b+2c=2，解出a=b=2，c=2 此二次型为 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 4x 2 x 3 先求 A特征值 于是 A的特征值就是 2，2，4 再求单位正交特征向量组 属于
24、2的特征向量是（A 2E）x=0 的非零解 得（A 2E）x=0 的同解方程组：x 1 x 2 x 3 =0 显然 1 =(1，1，0) T 是一个解，设第二个解为 2 =（1，1，c） T （这样的设定保证了两个解是正交的！），代入方程得 c=2，得到属于特征值 2的两个正交的特征向量 1 ， 2 再把它们单位化： 记 1 = 1 / | 1 |= 1 ， 2 = 2 /| 2 |= 属于4 的特征向量是(A+4E)x=0 的非零解，求出 3 =（1，1，1） T 是一个解，单位化： 记 3 = 3 /| 3 |= )解析：24.设甲袋中有 9个白球，1 个黑球；乙袋中有 10个白球，每次从
25、甲、乙两袋中各随机地取一球交换放入另一袋中，试求： （）这样的交换进行了 3次，黑球仍在甲袋中的概率 p 3 ； （）这样的交换进行了 n次，黑球仍在甲袋中的概率 p n .（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()不管黑球在甲袋中还是在乙袋中，每次试验只有两种结果：取到黑球和取不到黑球，取到黑球的概率是 01，且各次试验相互独立，三次取球交换可以看成三次独立试验，而黑球仍在甲袋中的概率，是 3次取球中黑球被取到 0次或 2次的概率，因此所求概率为 p 3 =C 3 0 (01) 0 (09) 3 +C 3 2 (01) 2 09=0756 ()根据()的分析，当交换了 n次以后，黑球仍在
26、甲袋中的事件是黑球被抓到了偶数次，也就是二项分布中所有含 01 的偶次幂项的和，故所求概率为 )解析：解析：本题可以用全概率公式求解，但比较麻烦，而用伯努利概型比较方便25.设二维连续型随机变量（X，Y）服从区域 D上的均匀分布，其中 D=（x，y）10yx2y试求：（）X+Y 的概率密度；（）X 的边缘概率密度；（）PY02|X=15（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()如图，区域 D即AOB 的面积 S d =1，因此(X，Y)的概率密度为 X+Y的分布函数记为 F(z)，则当 z0 时，F(x)=0；当 z2 时， F(z)=1；当 0z2 时， 于是X+Y的概率密度 f(x）为 或者直接用随机变量和的卷积公式求 X+Y的概率密度由于 f（x，zx）只有在 0zxx2（zx）时才不为 0，即只有当 0 xz2 时， ()当 X=15时 f X (i5)=05，条件密度 )解析：
