1、考研数学（数学三）模拟试卷 444及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()的导数在 a 处连续，又 （分数：2.00）A.a 是 f()的极小值点B.a 是 f()的极大值点C.(a，f(a)是曲线 yf()的拐点D.a 不是 f()的极值点，(a，f(a)也不是曲线 yf()的拐点3.已知边际收益函数 MR （分数：2.00）A.QB.QC.QD.Q4.设 f(，y)在(0，0)处连续，且 （分数：2.00）A.不存在偏导数B.存在偏导数但不可
2、微C.可微且 f (0，0)0，f y (0，0)0D.可微且 f (0，0)0，f y (0，0)05.设有以下命题： 若正项级数 n 收敛，则 n 2 收敛； 若 1，则 n 收敛； 若 ( 2n-1 ， 2n )收敛，则 n 收敛； 若 n 收敛， (1) n n 发散，则 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A，B 均为 n阶矩阵，且 ABAB，下列命题： 若 A可逆，则 B可逆； 若 AB 可逆，则 B可逆； 若 B可逆，则 AB 可逆； AE 恒可逆 则以上命题正确的有( )个（分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 3维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1
3、1 2 3 ， 2 3 1 2 ， 3 4 1 3 ， 4 2 1 2 2 3 ，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.设 X为随机变量，若矩阵 A （分数：2.00）A.X服从区间0，2的均匀分布B.X服从二项分布 B(2，05)C.X服从参数为 1的指数分布D.X服从正态分布9.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n+1 为来自总体 X的简单随机样本记T （分数：2.00）A.B.2C. 2D.2 2二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f()有一
4、个原函数 ln( （分数：2.00）填空项 1:_12.已知幂级数 在 2 处发散，在 1 处收敛，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y3y2ye 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 3阶实对阵矩阵 A满足 A 2 3A2EO，且A2，则二次型 f T A 的标准形为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ，则概率 PminX 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 1 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00
5、)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知 f() ，g() ，且 f(0)g(0)0，试求 （分数：2.00）_18.设常数 a0，求arcsin （分数：2.00）_19.设 f()在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)0，0f()1，(0，1) 证明： 0 1 f()d 2 0 1 f 3 ()d（分数：2.00）_20.设 二阶连续可导，又因为 2，且 （分数：2.00）_21.求幂级数 （分数：2.00）_22.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为 4维列向量，A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 A的通解为(1，1，0，2) T k
6、(1，1，2，0) T ，则 () 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?为什么? ()求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 的一个极大无关组（分数：2.00）_23.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 a 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2a 1 3 的正、负惯性指数都是 1 ()计算 a的值； ()用正交变换将二次型化为标准形； ()当 满足 T 2 时，求 f的最大值与最小值（分数：2.00）_24.设箱中有 5件产品，其中 3件是优质品从该箱中任取 2件，以 X表示所取的 2件产品中的优质品件数，y 表示箱中 3件剩余产品中的优质品件数 ()求(X，Y)的概率分布；
7、()求 Cov(X，Y)（分数：2.00）_25.设某商品一周的需求量是 X，其概率密度为 f() （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 444答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()的导数在 a 处连续，又 （分数：2.00）A.a 是 f()的极小值点B.a 是 f()的极大值点 C.(a，f(a)是曲线 yf()的拐点D.a 不是 f()的极值点，(a，f(a)也不是曲线 yf()的拐点解析：解析：因 f()在 a 点连续，由
8、 1 得 f(a)0，即 a 是 f()的驻点 又 f(a)3.已知边际收益函数 MR （分数：2.00）A.Q B.QC.QD.Q解析：解析：设总收益函数为 RR(Q)，则 R(0)0，且边际收益函数为 MR k，于是 又因为 R(Q)PQ，从而 P ，推得 Q4.设 f(，y)在(0，0)处连续，且 （分数：2.00）A.不存在偏导数B.存在偏导数但不可微C.可微且 f (0，0)0，f y (0，0)0D.可微且 f (0，0)0，f y (0，0)0 解析：解析：由 2，知 f(，y)10，即 f(，y)f(0，0)1 由极限与无穷小的关系，得 2(，y)，其中 (，y)0 则 f(，
9、y)f(0，0)2( 2 y 2 )(，y)( 2 y 2 )0()( 5.设有以下命题： 若正项级数 n 收敛，则 n 2 收敛； 若 1，则 n 收敛； 若 ( 2n-1 ， 2n )收敛，则 n 收敛； 若 n 收敛， (1) n n 发散，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：命题正确，由正项级数的比较判别法判定即可因为正项级数 n 收敛，知 0， 又 0由正项级数比较判别法(极限形式)知 n 2 收敛 命题错误，因 n 不一定是正项级数，所以没有此判定方法，如 n (1) n ，则 11，但 (1) n 发散 命题错误， ( 2n-1 2n )收敛，但 n 不一定收敛，
10、如 n (1) n-1 ，则 ( 2n-11 2n )0 收敛但 n 发散 命题正确，因 n 收敛， (1) n n 发散， 由级数性质知 发散， 6.设 A，B 均为 n阶矩阵，且 ABAB，下列命题： 若 A可逆，则 B可逆； 若 AB 可逆，则 B可逆； 若 B可逆，则 AB 可逆； AE 恒可逆 则以上命题正确的有( )个（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由于(AE)BABBABBA，若 A可逆，则 B可逆，即正确 若 AB 可逆，则ABAB0，则B0，即 B可逆，正确 由于 A(BE)B，ABEB，若 B可逆，则A0，即 A可逆，从而 ABAB 可逆，正确对于，
11、由 ABAB，可得(AE)(BE)E，故 AE 恒可逆 故应选 D7.设 3维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 1 2 3 ， 2 3 1 2 ， 3 4 1 3 ， 4 2 1 2 2 3 ，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：B( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )( 1 ， 2 ， 3 ) AC 由 1 ， 2 ， 3 ，线性无关，A 可逆，所以，R(B)R(C) 8.设 X为随机变量，若矩阵 A （分数：2.00）A.X服从区间0，2的均匀分布 B.X服从二项分布 B(2，05)C.X服从参数为 1的指数分布
12、D.X服从正态分布解析：解析：由EA 9.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n+1 为来自总体 X的简单随机样本记T （分数：2.00）A.B.2 C. 2D.2 2解析：解析：因为 X()，所以 E(X i )D(X i )，则 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 故应填11.设 f()有一个原函数 ln( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 又因为 f() ，故 f(1) ，所以 0 1 f()d 故应 12.已知幂级数 在 2 处
13、发散，在 1 处收敛，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 t，由题设知幂级数 a n t n 在 t2 处发散， 从而 a n t n 当t 时发散 又因为 a n t n 在 t1 处收敛， 则可知 a n t n 当t 时收敛 由此可知 a n t n 的收敛半径为 R ， 进而可得 a n t n 的收敛域为 ，令 t1，代入即 得幂级数 a n (1) n 的收敛域为1 ，即 故应填 13.微分方程 y3y2ye 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 1 e C 2 e 2 ( ）解析：解析：对应的齐
14、次方程为 y3y2y0，其特征方程为 2 320，解得 1 2， 2 1，则齐次方程 y3y2y0 的通解为 C 1 e C 2 e 2 设 y3y2ye 的一个特解为 y * (AB)e ，将 y * 代入方程得 A ，B1，则特解 y * ( 2 )e ，所以原方程的通解为 yC 1 e C 2 e 2 ( 2 )e 故应填 yC 1 e C 2 e 2 ( 14.设 3阶实对阵矩阵 A满足 A 2 3A2EO，且A2，则二次型 f T A 的标准形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 y 2 2 y 3 2）解析：解析：由 A 2 3A2EO，得 A的
15、特征值为 1或 2 又因为A2，即特征值乘积为 2，故 A的特征值为 1，1，2 所以二次型的标准形为 y 1 2 y 2 2 2y 3 2 故应填 y 1 2 y 2 2 y 3 2 15.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ，则概率 PminX 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 1 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PminX 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 11PminX 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 1 1PX 1 1，X 2 1，X 5 11P
16、X 1 1 5 11(0) 5 1 故应填 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知 f() ，g() ，且 f(0)g(0)0，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f() 知， 又 f(0)0，代入 f()表达式得 C0，故 f()ln( ) 由 g() ，则 g() ln(1)C 1 ， 又 g(0)0 得 C 1 0，知 g()ln(1)于是 故当 0 时，ln( )，所以， )解析：18.设常数 a0，求arcsin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设
17、f()在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)0，0f()1，(0，1) 证明： 0 1 f()d 2 0 1 f 3 ()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F() 0 f(t)dt 2 0 f 3 (t)dt，易知 F(0)0，且 F(z)在0，1可导，则 F()2f() 0 f(t)dtf 3 ()f()2 0 f(t)dtf 2 () 记g()2 0 f(t)dtf 2 ()，则 g()在(0，1)可导，即 g()2f()2f()f()2f()1f()， 由于 0f()1，(0，1)，则 f()在0，1内递增 则当 01时，f()f(0)0， 于是 g()0，(0，1)，则
18、 g()在0，1递增， 即当 01 时，g()g(0)0， 所以，当 01 时，F()f()g()0， 即 F()在 01 时递增，故当 01 时，F()F(0)0， 特别地，有 F(1)0，即 0 1 f()d 2 0 1 f 3 ()d0， 所以 0 1 f()d 2 0 1 f 3 ()d)解析：20.设 二阶连续可导，又因为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2，f 二阶连续可导，知 f(1) f()0， 由对称性知 即 f(t) C 1 lntC 2 ，C 1 ，C 2 为常数 由 f(1)0，f(1)2，知 C 1 ，C 2 故 f() )解析：21.求幂级数
19、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1，收敛半径 R 1 当 1 时，原级数为 ，收敛，当 1 时，原级数为 ，收敛，故幂级数的收敛域为1，1 令 S() ，1，1，则 则 2 S() ln(1)， 当 0 时，S() 1ln(1)，所以 当 0 时，S(0)0， 当 1 时，原级数为 S(1) 1(用收敛的定义)， 当 1 时，原级数为 故 的和函数为 )解析：22.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为 4维列向量，A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 A的通解为(1，1，0，2) T k(1，1，2，0) T ，则 () 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?为什么? ()求
20、 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 的一个极大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()假设可以，即 k 1 1 k 2 2 k 3 3 ，则（k 1 ，k 2 ，k 3 ，0） T 是 A 的解 从而(k 1 ，k 2 ，k 3 ，0) T (1，1，0，2) T (k 1 1，k 2 1，k 3 ，2) T 就是 A0 的解 但是显然(k 1 1，k 2 1，k 3 2) T 和(1，1，2，0) T 线性无关 所以 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示 ()因为(1，1，0，2) T 是 A 的解，则 1 2 2 4 又因为(1，1，2，0) T 是 A0 的解，则 1 2 3
21、 0 所以， 和 3 都可由 1 ， 2 ， 4 线性表示 又由 R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )3，所以， 1 ， 2 ， 4 是极大无关组)解析：23.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 a 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2a 1 3 的正、负惯性指数都是 1 ()计算 a的值； ()用正交变换将二次型化为标准形； ()当 满足 T 2 时，求 f的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型的矩阵为 A ，则二次型的正、负惯性指数都是 1，可知 R(A)2， A (a2)(a1) 2 0， 所以 a2，
22、或 a1，又 a1 时，显然 R(A)1，故只取 a2 ()此时EA(3)(3)，所以 A的特征值是 3，3，0 当 1 3 时，解方程组(3EA)0，得基础解系为 1 (1，0，1) T ； 当 2 3 时，解方程组(3EA)0，得基础解系为 2 (1，2，1) T ； 当 2 0 时，解方程组(0EA)0，得基础解系为 3 (1，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 单位化得 因此所求的正交变换为 )解析：24.设箱中有 5件产品，其中 3件是优质品从该箱中任取 2件，以 X表示所取的 2件产品中的优质品件数，y 表示箱中 3件剩余产品中的优质品件数 ()求(X，Y)的概率分布； ()求
23、Cov(X，Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 X的所有可能的取值为 0，1，2，Yy 的所有可能的取值为 3，2，1，且XY3，所以， PX0，Y3PX0 ， PX1，Y2PX1 ， PX2，Y1PX2 ， PX0，Y1PX0，Y2PX1，y10， PX1，Y3PX2，Y2PX2，Y30 由此得(X，Y)的概率分布为 ()因为Y3X，所以 Cov(X，Y)Cov(X，3X)C0v(X，X)D(X) 易知 X的概率分布为 所以Cov(X，Y) )解析：25.设某商品一周的需求量是 X，其概率密度为 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X i 表示第 i周的需求量，i1，2，3，则 X 1 ，X 2 ，X 3 独立同分布 ()令 U 2 X 1 X 2 ， 令 UX 1 X 2 X 3 ()因为 YmaxX 1 ，X 2 ，X 3 ， 所以 F Y (y)F(y) 3 ，其中 F() 0 f(t)dt 故 f Y (y)F Y (y)3F(y) 2 f(y) )解析：
