1、考研数学（数学三）模拟试卷 443 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f()ln(1a 2 ) （分数：2.00）A.a0，b 为任意常数B.b0，a 为任意常数C.a2，b 为任意常数D.b2，a 为任意常数3.设 f()在0，1上连续，f(1)0， 0 1 f()d0，则 ()f() 0 f(t)dt 出在闭区间0，1上( )（分数：2.00）A.必定没有零点B.有且仅有一个零点C.至少有两个零点D.有无零点无法确定4.下列反常积分发散的
2、是( )（分数：2.00）A.B.C.D. 0 10 e d5.积分 a a2 cosln(2cos)d 的值( )（分数：2.00）A.与 a 有关B.是与 a 无关的正数C.是与 a 无关的负数D.为零6.设向量组 1 ， 2 ， m 和向量组 1 ， 2 ， t 的秩相同，则正确结论的个数是( ) 两向量组等价； 两向量组不等价； 若 tm，则两向量组等价； 若两向量组等价，则tm； 若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， t 线性表示，则两向量组等价； 若 1 ， 2 ， t 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则两向量组等价（分数：2.00）A.5B.4C.3D.27. 1 ，
3、 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ab的三个解向量，且 R(A)3， 1 (1，2，3，4) T ， 2 3 (0，1，2，3) T c 表示任意常数，则线性方程组 Ab 的通解( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 Y 不相关，aXY 与 XbY 亦不相关，则( )（分数：2.00）A.ab1B.ab0C.ab1D.ab09.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为来自总体 N(0， 2 )(0)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A.N(0，2)B.t(2)C. 2 (2)D.F(2，2)
4、二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.已知 f()具有任意阶导数，且 f()f() 2 ，则 f()的 n 阶导数 f (n) () 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f()在 1 可导，f(1)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_14.设A （分数：2.00）填空项 1:_15.设 X 服从参数为 2 的指数分布，则 Y1e 2X 的概率密度 f Y (y) 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.若 3，求 （分数：2.00）_18.计算二重积分 I （分数：2.00）_19.设 f()在2，2上具有连续的导数，且 f0)0，F() f(t)dt，证明：级数 （分数：2.00）_20.已知 yze z ，e tant，ycost，求 （分数：2.00）_21.某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 和 y(单位：吨)时，总收益函数为R(，y)4227y4 2 2yy 2 ，总成本函数为 C(，y)36812y(单位：万元)除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元 ()在不限制排污费用支出的情况下，这
6、两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少? ()当限制排污费用支出总额为 8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?（分数：2.00）_22.设有方程组 （分数：2.00）_23.已知矩阵 A 与 B （分数：2.00）_24.设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X(O1)的条件下，随机变量 y 在区间(0，)上服从均匀分布 求：()随机变量 X 和 Y 的联合概率密度； ()y 的概率密度； ()概率PXY1（分数：2.00）_25.设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动一台，发生故障时停用，而另一台自动
7、开动，求两台仪器无故障工作的总时间 T 的： ()概率密度 f(t)； ()数学期望和方差（分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 443 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f()ln(1a 2 ) （分数：2.00）A.a0，b 为任意常数B.b0，a 为任意常数C.a2，b 为任意常数 D.b2，a 为任意常数解析：解析：3.设 f()在0，1上连续，f(1)0， 0 1 f()d0，则 ()f() 0 f(t)dt 出在闭区间
8、0，1上( )（分数：2.00）A.必定没有零点B.有且仅有一个零点C.至少有两个零点 D.有无零点无法确定解析：解析：易见，(0)0，不选 A 令 F() 0 f(t)dt，则 F()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 FK()f() 0 f(t)dt，并且 F(0)F(1)0，由罗尔中值定理知，存在(0，1)，使得 F()0，即 f() 0 f(t)dt0，可见，(0，1)是 ()的零点 故应选 C4.下列反常积分发散的是( )（分数：2.00）A.B. C.D. 0 10 e d解析：解析： 以上都收敛，故应选 B 事实上， 故5.积分 a a2 cosln(2cos)d 的值( )
9、（分数：2.00）A.与 a 有关B.是与 a 无关的正数 C.是与 a 无关的负数D.为零解析：解析：因被积函数 f()cosln(2cos)是以 2 为周期的周期函数，则 a a+2 cosln(2cos)d 0 2 cosln(2cos)d cosln(2cos)d， 可见此积分与 a 无关 又因为 cosln(2cos)是偶函数，则 cosln(2cos)d2 0 cosln(2cos)d 2 0 ln(2cos)dsin 2sinln(2cos) 0 6.设向量组 1 ， 2 ， m 和向量组 1 ， 2 ， t 的秩相同，则正确结论的个数是( ) 两向量组等价； 两向量组不等价；
10、若 tm，则两向量组等价； 若两向量组等价，则tm； 若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， t 线性表示，则两向量组等价； 若 1 ， 2 ， t 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则两向量组等价（分数：2.00）A.5B.4C.3D.2 解析：解析：若两个两向量组等价，则秩相同，但反之，未必成立 反例：向量组()只含一个向量，向量组()只含一个向量7. 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ab的三个解向量，且 R(A)3， 1 (1，2，3，4) T ， 2 3 (0，1，2，3) T c 表示任意常数，则线性方程组 Ab 的通解( )（分数：2.00）A.B.C. D.解
11、析：解析：根据线性方程组解的性质，可知 2 1 ( 2 3 )( 1 2 )( 1 3 ) 是非齐次线性方程组 Ab 导出组 A0 的一个解因为 R(A)3，所以 A0 的基础解系含431 个解向量，而 2 1 ( 2 3 )(2，3，4，5) T 0， 故是 A0 的一个基础解系因此 Ab 的通解为 1 k(2 1 一 2 3 )(1，2，3，4) T k(2，3，4，5) T ，kR， 即 C 正确 对于其他几个选项，A 选项中 (1，1，1，1) T 1 ( 2 3 )， B 选项中 (0，1，2，3) T 2 3 ， D 选项中 (3，4，5，6) T 3 1 2( 2 3 )， 都不
12、是Ax=b 的导出组的解所以选项 A、B、D 均不正确 故应选 C8.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 Y 不相关，aXY 与 XbY 亦不相关，则( )（分数：2.00）A.ab1B.ab0C.ab1D.ab0 解析：解析：XN(1，2)，YN(1，2)，于是 D(X)2，D(Y)2 又 Cov(X，Y)0，Cov(aXY，XbY)0 由协方差的性质有 Cov(aXY，XbY) aCov(X，X)Coy(Y，X)abCov(X，Y)bCov(Y，Y) aD(X)bD(Y) 故 ab0 故应选 D9.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为来
13、自总体 N(0， 2 )(0)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A.N(0，2)B.t(2) C. 2 (2)D.F(2，2)解析：解析：因为 X 1 N(0， 2 )，所以 X 1 X 2 N(0，2 2 )，即 N(0，1) 而 2 (2)，自 t 分布定义 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.已知 f()具有任意阶导数，且 f()f() 2 ，则 f()的 n 阶导数 f (n) () 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!f() n+1）解析：解析：由题意 f()f() 2 ，则 f()(f() 2 2f()f()2f() 3 ， f()2
14、(f() 3 3!f 2 ().f()3!f() 4 ， 由归纳知 f (n) ()n!f() n+1 故应填 n!f() n+1 11.设 f()在 1 可导，f(1)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9）解析：解析：由题意可得12.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 如图 41 所示 记 DD 1 D 2 ，则 故应填 13.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：14.设A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A * (A
15、 ij )，只要能求出 A 的伴随矩阵，就可求出 A ij 因为 A * AA -1 ，而A 又由分块矩阵求逆，有 故 故应填 15.设 X 服从参数为 2 的指数分布，则 Y1e 2X 的概率密度 f Y (y) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X 服从以 2 为参数的指数分布，所以 X 的概率密度为 由 Y1e -2X 得 h(y) ，所以 Y 的概率密度为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.若 3，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
16、解析：18.计算二重积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知积分区域(如图 21 所示) D(，y)01，1 ， 利用极坐标，则有 D(r，)0 ，0r2sin )解析：19.设 f()在2，2上具有连续的导数，且 f0)0，F() f(t)dt，证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 F() f(t)dt 0 2 f(u)duuf(u) 0 2 0 2 uf(u)du 2f(2) 0 2 uf(u)du， 则 由拉格朗日中值定理，得 又因为 f()在2，2上连续，则 f()在2，2上有界，即存在正数 M0，有 f()M，2，2 因此 又因为 收敛，则 收
17、敛 所以 )解析：20.已知 yze z ，e tant，ycost，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知 ，y 都是 t 的函数，因此，方程 yze z 确定了 z 是 t 的函数，对方程两边关于 t 求导，得 由 e tant，得 ，从而 由 ycost 得 sint， cost 当 t0 时，0，y1，z0，则 )解析：21.某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 和 y(单位：吨)时，总收益函数为R(，y)4227y4 2 2yy 2 ，总成本函数为 C(，y)36812y(单位：万元)除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1
18、万元 ()在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少? ()当限制排污费用支出总额为 8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题意知，利润函数为 L(，y)R(，y)C(，y)(2y) 4 2 2yy 2 3214y36 解方程组 该实际问题一定有最大值，当 3，y4 时，取得最大利润 L(3，4)40 ()若排污费用 2y8 时，构造拉格朗日函数 F(，y，)4 2 2yy 2 3214y36(2y8) 令 )解析：22.设有方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
19、案：()将方程组(i)改写为 令 取 ，得(i)的基础解系 1 (0，1，1，0) T ， 2 (1，0，0，1) T ， 故方程组(i)的通解为 k 1 1 k 2 2 ，k 1 ，k 2 为常数 又将方程组(ii)改写为 令 取 ，得(ii)的基础解系 1 (0，1，0，2) T ， 2 (2，0，1，0) T ， 故方程组(ii)的通解为 k 1 1 k 2 2 ，k 1 ，k 2 为常数 ()联立方程组(i)和(ii)，求得的通解即为公共解 对系数矩阵 A 进行初等行变换，可得 )解析：23.已知矩阵 A 与 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()实对称矩阵 A 的特征多项
20、式为 A(1) 2 (3)， 故 A 的特征值为 1 2 1， 3 3于是，A 与对角矩阵 相似， 又因为 A 与 B 相似，故 B 也与对角矩阵 相似，因此，B 的特征值为 1 2 1， 3 3，且 R(EB)1， 又因为5 1 2 3 5，得 0由 EB 得 y2，z3 ()经计算可知，将实对称矩阵 A 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 P 1 ，即 P 1 -1 AP 1 把矩阵 B 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 P 2 ，即 则 P -1 APP 2 P 1 -1 AP 1 P 2 -1 P 2 )解析：24.设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X(O1)的条件下，
21、随机变量 y 在区间(0，)上服从均匀分布 求：()随机变量 X 和 Y 的联合概率密度； ()y 的概率密度； ()概率PXY1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()X 的概率密度为 f X () 在 X(01)的条件下，Y 的条件概率密度为 当 0y1 时，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(，y)f X ()f YX (y) ， 在其他点处，有 f(，y)0，即 ()当 0y1 时，Y 的概率密度为 f Y (y) f(，y)d lny； 当 y0 或 y1 时，f Y (y)0因此 )解析：25.设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动一台，
22、发生故障时停用，而另一台自动开动，求两台仪器无故障工作的总时间 T 的： ()概率密度 f(t)； ()数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 TX 1 X 2 ，其中 X 1 ，X 2 分别表示两台仪器无故障时的工作时间 因为 X i E(5)(i1，2)且相互独立，故 X 1 ，X 2 的密度函数为 则由卷积公式 f(t) f X (ty)f Y (y)dy，可得 ()因为 X i E(5)(i1，2)且相互独立，由 E(X i ) ，D(X i ) (i1，2)，可得 E(T)E(X 1 X 2 )E(X 1 )E(X 2 ) ， D(T)D(X 1 X 2 )D(X 1 )D(X 2 ) )解析：
