1、考研数学（数学三）模拟试卷 442 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 y （分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设 f()在 0 的某领域内存在二阶导数，且 （分数：2.00）A.曲线 yf()在 U 内是凹的，在 U 内是凸的B.曲线 yf()在 U 内是凸的，在 U 内是凹的C.曲线 yf()在 U 与 U 内都是凹的D.曲线 yf()在 U 与 U 内都是凸的4.设 rcos，yrsin，则极坐标系(r，)中的累次积分 （分数：2
2、.00）A.B.C.D.5.设 p()，q()，f()均是 的连续函数，y 1 ()，y 2 ()，y 3 ()是 yp()yq()yf()的 3 个线性无关的解，C 1 与 C 2 是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 (C 2 C 1 )y 2 (1C 2 )y 3B.(C 1 C 2 )y 1 (C 2 1)y 2 (1C 1 )y 3C.(C 1 C 2 )y 1 (C 1 C 2 )y 2 (1C 1 )y 3D.C 1 y 1 C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 36.设 n 维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，向
3、量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量尼不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则对任意常数 k，必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性相关7.下列各组矩阵相似的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A，B 为随机事件，已知 P(A) ，P(BA) ，P(AB) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 X 1 ，X 2 ，X n ，为独立同分布序列，且 X i 服从参数为 的指数分布，则当 n
4、 充分大时，Z n （分数：2.00）A.N(2，4)B.N(2，C.N(D.N(2n，4n)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f()在 0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 zf(，y)(y0)满足 f(y， （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(u)为连续函数，且 0 tf(2t)dt （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为 3 阶方阵，如果 A -1 的特征值是 1，2，3，则A的代数余子式 A 11 A 22 A 33 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 和 B 独立，P
5、(A)05，P(B)06，则 P( （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.设 f()在0，1上连续，且满足 f(0)1，f()f()aa，求 f()，并求 a 的值，使曲线 yf()与 0，y0，1 所围平面图形绕 轴旋转一周所得体积最小（分数：2.00）_19.已知函数 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1 证明：()存在(0，1)，使得 f()1； ()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()1（分数：2
6、.00）_20.设 zf(，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且 f(1，2)2，f (1，2)3，f y (1，2)4，()f(，f(，2)求 （分数：2.00）_21.设 f()在0，1上连续，证明： 0 f(sin)d f(sin)d，并由此计算 （分数：2.00）_22.已知 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，非齐次线性方程组 Ab 的通解为(1，1，1，1) T k 1 (1，0，2，1) T k 2 (2，1，1，1) T ()令 B( 1 ， 2 ， 3 )，求 Bb 的通解； ()令 C( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，b)，求 Cb 的通解（分数：2.00）_23
7、.设矩阵 （分数：2.00）_24.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）_25.设二维随机变量(X，Y)服从 D 上的均匀分布，其中 D 是由直线 y 和曲线 y 2 围成的平面区域 ()求 X 和 Y 的边缘概率密度 f X ()和 f Y (y)； ()求 E(XY)（分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 442 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 y （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：当
8、 0，1 时，函数无定义， 所以 0，1 分别为该曲线的垂直渐近线 由 0 所以沿 方向曲线有水平渐近线 y03.设 f()在 0 的某领域内存在二阶导数，且 （分数：2.00）A.曲线 yf()在 U 内是凹的，在 U 内是凸的B.曲线 yf()在 U 内是凸的，在 U 内是凹的 C.曲线 yf()在 U 与 U 内都是凹的D.曲线 yf()在 U 与 U 内都是凸的解析：解析：由极限的保号性，因为 a0，知存在 0 的去心邻域 ( 0 )，使当 ( 0 )时， 0， 于是，当 ( 0 )且 0 时，f()0，曲线yf()是凸的 当 4.设 rcos，yrsin，则极坐标系(r，)中的累次积
9、分 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题意知 其中积分区域 D 在极坐标系下的不等式形式为 D 在直角坐标系下的形式为(如图 31 所示)：5.设 p()，q()，f()均是 的连续函数，y 1 ()，y 2 ()，y 3 ()是 yp()yq()yf()的 3 个线性无关的解，C 1 与 C 2 是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 (C 2 C 1 )y 2 (1C 2 )y 3B.(C 1 C 2 )y 1 (C 2 1)y 2 (1C 1 )y 3 C.(C 1 C 2 )y 1 (C 1 C 2 )y 2 (1
10、C 1 )y 3D.C 1 y 1 C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3解析：解析：根据题意及线性微分方程解的性质与结构，只要判定选项 A、B、C、D 中的组合系数即可若组合系数中有两个任意常数，且组合系数之和为零的表示式即为对应的齐次方程的通解，选项 B 即满足这两条，是对应的齐次方程的通解故应选 B6.设 n 维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量尼不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则对任意常数 k，必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性无关 B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性相关C
11、. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性相关解析：解析：设有一组数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，满足 1 1 2 2 3 3 4 (k 1 2 )0， 若 4 0，则有条件 1 2 3 0，从而推出 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性无关 若 4 0，则 k 1 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，故 2 也可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，矛盾，所以， 4 0，从而 A 正确对于其余三个选项，也可用排除法 当 k0 时，可排除 B、C；当 k1 时，可排除D 故应选 A7.下列各组
12、矩阵相似的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为相似矩阵的秩相等，由 的秩为 1， 而 的秩为 2，故 A 中的矩阵不能相似 因为相似矩阵的行列式的值相等，由于 4， 而 8， 故 C 中的矩阵不相似 因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等 由于 的对角线元素之和为 6，而 的对角线元素之和为4， 故 D 中的矩阵不相似因此只能选 B 事实 都与对角矩阵 相似， 因而8.设 A，B 为随机事件，已知 P(A) ，P(BA) ，P(AB) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：P(AB)P(A)P(BA) 由 P(AB) ，可得 P(B) 则 P(AB)P(A
13、)P(B)P(AB)9.设 X 1 ，X 2 ，X n ，为独立同分布序列，且 X i 服从参数为 的指数分布，则当 n 充分大时，Z n （分数：2.00）A.N(2，4)B.N(2， C.N(D.N(2n，4n)解析：解析：E(X i ) 2，D(X i ) 4，则当 n 充分大时， X i 近似服从N(2n，4n)，或者 X i 近似服从 N(2， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f()在 0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*1）解析：解析：由极限和无穷小的关系知 其中 ()0 又 f()在 0 处连续，所以f(0) f()1 于
14、是 f(0) 则曲线过(0，f(0)点的切线方程为 y1 (0)，即 y 1 故应填 y11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 sin 的周期性知 故应填12.设函数 zf(，y)(y0)满足 f(y， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2y)ddy）解析：解析：令 y， v，则 2 ，y 2 v，于是有 f(，v)v( 13.设 f(u)为连续函数，且 0 tf(2t)dt （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 2tu，则 0 tf(2t)dt 2 (2u)f(u)du 2 (2u
15、)f(u)du 2 2 f(u)du 2 uf(u)du 原方程化为 2 2 f(u)du 2 uf(u)du ln(1 2 ) 两边对 X 求导得 2 2 f(u)duf() ， 令 1，得 2 1 2 f(u)duf(1) ，而 f(1)1，所以 1 2 f(u)du 故应填 14.设 A 为 3 阶方阵，如果 A -1 的特征值是 1，2，3，则A的代数余子式 A 11 A 22 A 33 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A -1 的特征值为 1，2，3，所以A -1 1236，从而A 又因为 AA * AE E，所以 A * A -1 故
16、 A * 的特征值为 所以 A 11 A 22 A 33 15.设 A 和 B 独立，P(A)05，P(B)06，则 P( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 故应填三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f()在0，1上连续，且满足 f(0)1，f()f()aa，求 f()，并求 a 的值，使曲线 yf()与 0，y0，1 所围平面图形绕 轴旋转一周所得体积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
17、方程 f()f()aa 可以改写为 f()f()aa 则 f()e 1d e 1d (aa)dCe e (aa)dC e (ae C)Ce a 由 f(0)1 得 C1，所以 f()e a 旋转体的体积为 V (a) 0 1 (e a) 2 d 0 1 (e 2 2ae a 2 2 )d a 2 2a (e 2 1) V ( a2)0，解得驻点 a3 又 V (3) )解析：19.已知函数 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1 证明：()存在(0，1)，使得 f()1； ()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()1（分数：2.00）_正确答案：(正确
18、答案：()令 g()f()1，则 g()在0，1上连续，且 g(0)10，g(1)10，由零点定理知，存在 (0，1)，使得 g()0，即 f()10，从而有 f()1 ()因 f()在0，1上连续，在(0，)，(，1)上可导，f()在0，和，1上均满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理可知，存在 (0，)，(，1)，使得 则 f()f() )解析：20.设 zf(，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且 f(1，2)2，f (1，2)3，f y (1，2)4，()f(，f(，2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 2 ()()，而 ()f(，f(，2)f
19、1 (，f(，2)f 2 (，f(，2).f(，2) f 1 (，f(，2)f 2 (，f(，2).f 1 (，2)2f 2 (，2) 则 (1)f 1 (1，f(1，2)f 2 (1，f(1，2).f 1 (1，2)2f 2 (1，2) f 1 (1，2)f 2 (1，2)f 1 (1，2)2f 2 (1，2)34(324)47 所以， )解析：21.设 f()在0，1上连续，证明： 0 f(sin)d f(sin)d，并由此计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 f(sin)d 0 ()f(sin)(d) 0 ()f(sin)d 0 f(sin)d 0 f(sin)d， 即
20、2 0 f(sin)d 0 f(sin)d，从而 利用上述积分等式，由于 ，具有上述 f(sin)的形式故有 )解析：22.已知 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，非齐次线性方程组 Ab 的通解为(1，1，1，1) T k 1 (1，0，2，1) T k 2 (2，1，1，1) T ()令 B( 1 ， 2 ， 3 )，求 Bb 的通解； ()令 C( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，b)，求 Cb 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 B0 的基础解系，为此，首先要找出矩阵 B 的秩 由题目的已知信息可知：A0 的基础解系中含有两个向量，故 4R(A)2，即 R(A)2
21、，而由(1，0，2，1) T 是A0 的解，可得 1 2 3 4 0，故 4 1 2 3 可知 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，故 R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )R( 1 ， 2 ， 3 )R(B)，即 R(B)2 因此，B0 的基础解系中仅含一个向量，求出 B0 的任一非零解即为其基础解系 由于(1，0，2，1) T ，(2，1，1，1) T 均为 A0 的解，故它们的和(3，1，3，0) T 也为 A0 的解， 可知 3 1 2 3 3 0，因此(3，1，3) T 为 B0 的解，也即(3，1，3) T 为 B0 的基础解系 最后，再求 Bb 的任何一个特解即可只需使得 Ab
22、 的通解中 1 的系数为 0 即可 为此，令(1，1，1，1) T k 1 (1，0，2，1) T k 2 (2，1，1，1) T 中 k 1 0，k 2 1，得(3，2，2，0) T 是 Ab 的一个解，故(3，2，2) T 是 Bb 的一个解 可知 Bb 的通解为(3，2，2) T k(3，1，3) T ，kR ()与()类似，先求 C0 的基础解系 由于 C 即为线性方程组 Ab 的增广矩阵，故 R(C)R(A)2，可知 C0 的基础解系中含有 523 个线性无关的解向量，为此，需要找出 C0 的三个线性无关的解 由于(1，0，2，1) T ，(2，1，1，1) T 均为A0 的解，可知
23、(1，0，2，1，0) T ，(2，1，11，0) T 均为 C0 的解而(1，1，1，1) T 为Ab 的解，可知 1 2 3 4 b，也即 1 2 3 4 b0，故(1，1，1，1，1) T 也为 C0 的解 这样，我们就找到了 C0 的三个解：(1，0，2，1，0) T ，(2，1，1，1，0) T ，(1，1，l，1，1) T ，容易验证它们是线性无关的，故它们即为 C0 的基础解系 最后，易知(0，0，0，0，1) T 为 Cb 的解，故 Cb 的通解为 (0，0，00，1) T k 1 (1，0，2，1，0) T k 2 (2，1，1，1，0) T k 3 (1，1，11，1) T
24、 ，k i R，i1，2，3)解析：23.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA (2)(1)(1)， 得 A 的特征值为2，1，1因此 A 相似于 进而求得对应于 2，1，1 的特征向量分别为 令 P( 1 ， 2 ， 3 )，则有 P -1 AP 又因为 B 是下三角矩阵，所以特征值为 2，1，1 B 也相似于 进而求得对应 2，1，1 的特征向量分别为 令 Q( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q -1 BQ 因此 P -1 APQ -1 BQ，所以 BQP -1 APQ -1 (PQ -1 ) -1 A(PQ -1 )， 令 XPQ -1 )解析：24.设二维随机变量(X
25、，Y)的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由概率分布的性质知 a0201b0201c1，即 abc04 (*) 由(X，Y)的概率分布可写出 X 的边缘概率分布为 故 E(X)(a02)(c01)02，即 ac01 (*) 又因 05PY0X0 即 ab03 (*) 将(*)，(*)，(*)联立，解方程组得 a02，b01，c01 ()Z 的可能取值为2，1，0，1，2，则 PZ2PX1，Y102， PZ1PX1，Y0PX0，Y101， PZ0PX1，Y1PX0，Y0PX1，Y103， PZ1PX1，Y0PX0，Y103， PZ2PX1，Y101 故 Z 的概率分布为 )解析：25.设二维随机变量(X，Y)服从 D 上的均匀分布，其中 D 是由直线 y 和曲线 y 2 围成的平面区域 ()求 X 和 Y 的边缘概率密度 f X ()和 f Y (y)； ()求 E(XY)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()区域 D 的面积为 S D 0 1 ( 2 )d ，所以(X，Y)的概率密度为 当 01 时，f() 6dy6( 2 ) 所以 X 的边缘概率密度为 当 0y1 时，f Y1 (y) 所以 Y 的边缘概率密度为 ()E(XY) )解析：
