1、考研数学（数学三）模拟试卷 441 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f() （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 f()在 0 处不连续D.可导且 f()在 0 处连续3.设 f() （分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但不等价的无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小4.设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 2 I 3 I 1C.I 3 I 1 I 2D.I 3 I 2 I 15.设级数 (1) n a n
2、2 n 收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定6.已知 n 维向量组(i) 1 ， 2 ， s (ii) 1 ， 2 ， t 的秩都为 r，则下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.若 st，则向量组(i)与(ii)等价B.若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价C.若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向量组(i)与(ii)等价D.若向量组(iii) 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 的秩为 r，则向量组(i)和(ii)等价7.矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN
3、(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 aPXY，bPYZ，则( )（分数：2.00）A.abB.abC.abD.无法确定9.当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.P(C)P(AB)B.P(C)P(A)P(B)C.P(C)P(A)P(B)1D.P(C)P(A)P(B)1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 f(t)有二阶连续的导数，r ，g(，y)f( )，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f() （分数：2.00
4、）填空项 1:_14.设 D n （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XN(，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体的一个样本， 为样本均值，要使 E( （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.就常数 a 的不同取值情况，讨论方程 e a(a0)的实根（分数：2.00）_19.设 f(，y) 求 （分数：2.00）_20.讨论函数 f(，y) （分数：2.00）_21.设有级数 （分数：2.00）_22.设齐次线性方程组 AO
5、 的基础解系为 1 (1，3，0，2) T ， 2 (1，2，1，3) T B0 的基础解系为 1 (1，1，2，1) T ， 2 (0，3，1，a) T 若 A0 和 B0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：2.00）_23.已知矩阵 A 和 B （分数：2.00）_24.设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 UXY 的方差（分数：2.00）_25.设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 其中 0，0 是常数，引入随机变量 Z （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 441
6、答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f() （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 f()在 0 处不连续D.可导且 f()在 0 处连续 解析：解析：f(0) 当 0 时，f() ， 当 0 时，f() 所以，3.设 f() （分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但不等价的无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：4.设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 2 I 3 I 1C.I 3 I 1 I 2
7、D.I 3 I 2 I 1解析：解析：当被积函数连续时，在同一积分区域上比较积分大小即可只要比较被积函数的大小，由题目知被积函数为 的方幂，因此只需看 是否小于或大于 1，如图 11 所示当(，y)D 时，有 0 1，从而有 (等号不恒成立)， 所以 I 1 I 2 I 3 故应选 A 5.设级数 (1) n a n 2 n 收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性不定解析：解析：因为级数 (1) n a n 2 n 收敛，故 (1) n a n 2 n 0，即 a n 2 2 0，于是有 0，又因为级数 收敛，所以 a n 收敛，即 6.已知 n 维向量组
8、(i) 1 ， 2 ， s (ii) 1 ， 2 ， t 的秩都为 r，则下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.若 st，则向量组(i)与(ii)等价 B.若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价C.若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向量组(i)与(ii)等价D.若向量组(iii) 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 的秩为 r，则向量组(i)和(ii)等价解析：解析：取向量组(i)： 和向量组(ii)：7.矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：令矩阵 A ，则 A 的特征值为 1 和 2 而(A)选项中矩阵的特征值为1 和2，故矩阵
9、 A 不与 A 选项的矩阵相似 又因为 2，而 B 选项中 0，C 选项中 2，故矩阵 A不与 B、C 选项的矩阵相似 所以，矩阵 A 与 D 选项的矩阵相似 事实上， 均与对角阵 相似再由相似的传递性，8.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 aPXY，bPYZ，则( )（分数：2.00）A.ab B.abC.abD.无法确定解析：解析：因为 XyN(1，4)，yZN(1，9)，则 aPXYPXY0 ， bPYZPYZ09.当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.P(C)P(AB)B.
10、P(C)P(A)P(B)C.P(C)P(A)P(B)1 D.P(C)P(A)P(B)1解析：解析：由题意 AB二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 故应填11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 12.设函数 f(t)有二阶连续的导数，r ，g(，y)f( )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 ，则 利用对称性可得 故应填13.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 0
11、 时，f()2e 2 ；当 0 时，f()2a2； 由于 f(0)存在，则f()在 0 处连续，且 f(0)limf()2，则 14.设 D n （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!）解析：解析：因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以 1.A 11 1.A 12 1.A 1n D n n! 因第一行元素与第 i 行(i2)对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以 1.A i1 1.A i2 1.A in 0 故所有元素代数余子式之和为 n! 故应填 n!15.设总体 XN(，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体的一个样本， 为样本均值
12、，要使 E( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：40）解析：解析： ， 解得 n40三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.就常数 a 的不同取值情况，讨论方程 e a(a0)的实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()e a，则 f()(1)e ，f()(2)e 令 f()0，得驻点 1 由于当 (，1)时，f()0，f()在(，1)单调增加，当 (1，)时，f()0，f()在(1，)内单调减少， 所以
13、f()在 1 处取得极大值，即最大值为 f(1)e -1 a 则当 e -1 a0 时，即 a 时，f()f(1)0，方程 e - a 无实根 当 e -1 a0，即 a 时，只有 f(1)0，而当 1 时，f()f(1)0，方程 e - a 只有一个实根 1 当 e -1 a0，即 a 时，由于 (e - a)，f(1)e -1 a0，f()在(，1)内单调增加，则 f()0 在(，1)内只有一个实根 又因 )解析：19.设 f(，y) 求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 D 1 (，y)1 2 y 2 2y 且 0，如图 61 所示，则 当 0 时，由 得交点 M( ) 令
14、rcos，yrsin 引入极坐标系(r，)，则点 M 的极坐标为(1， )， 从而，在极坐标系下 D 1 )解析：20.讨论函数 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当(，y)(0，0)时，f(，y) 2 y 2 ，故 f(，y)0f(0，0)，所以函数在(0，0)处连续 ()在(0，0)处， 即 f(，y)在(0，0)处关于 的偏导数存在，且 f (0，0)0 同理，f y (0，0)也存在，且 f y (0，0)0 ()由(2)知，f (0，0)f y (0，0)0， 函数在(0，0)处的全增量： zf(，y)f(0，0)() 2 (y) 2 sin 2 sin ，
15、其中 故 zf (0，0)f y (0，0)y 2 sin 因为 所以zf (0，0)f y (0，0)yo() 故函数 f(，y)在(0，0)处可微，且 dzf (0，0)f y (0，0)y0 ()当(，y)(0，0)时 故 )解析：21.设有级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对于任意 ，有 所以收敛域为(，) ()应用幂级数和函数的性质证明： y()2 ，(，) 即 y()满足微分方程 yy1 ()yy0 的特征方程 r 2 10 的特征根为 r1，于是对应齐次方程的通解为 YC 1 e C 2 e ，又特解为 y * 1，故 yy1 的通解为 yC 1 e C 2 e
16、 1 又幂级数的和函数 y()满足 y()y()1，且 y(0)2，y(0)0，则 y()即为微分方程 yy1满足初值条件 y 0 2，y 0 0 的特解， 即 则 C 1 C 2 所以和函数y() )解析：22.设齐次线性方程组 AO 的基础解系为 1 (1，3，0，2) T ， 2 (1，2，1，3) T B0 的基础解系为 1 (1，1，2，1) T ， 2 (0，3，1，a) T 若 A0 和 B0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非零公共解为 ，则 既可由 1 和 2 线性表示，也可由 1 和 2 线性表示 设 1 1 2 2 3 1
17、4 2 ，则 1 1 2 2 3 1 4 2 0 0 1 ， 2 ， 3 ， 4 不全为零 R( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )4 a0 当 a0 时， )解析：23.已知矩阵 A 和 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 相似，所以AB，且 tr(A)tr(B)， EA (3)(5)16 2 21516 2 21(1) 2 故 A 的两个特征值为1，1 但(EA) 因此 R(EA)1，所以不能对角化 设 P ，满足 P -1 APB，即有 APPB，从而 整理得 解得基础解系为 所以可令 P )解析：24.设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，
18、(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 UXY 的方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：三角形区域为 G(，y)01，0y1，y1；随机变量 X 和 Y的联合密度为 以 f(u)表示 UXY 的概率密度，当 u1 或 u2 时，显然 f(u)0 设1u2，当 01 且 0u1 时，f(，u)2，否则 f(，u)0由随机变量之和的概率密度公式，有 f(u) f(，u)d u-1 1 2d2(2u) 因此 E(XY)E(U) uf(u)du2 1 2 u(2u)du ， E(XY)E(U * ) u 2 f(u)du2 1 2 u 2 (2u)du ， D(U)D(Xy)E(XY) 2 E(XY) 2 )解析：25.设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 其中 0，0 是常数，引入随机变量 Z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 X 和 Y 相互独立，故 f(，y)f X ().f Y (y) 当 y0 时， ()由于 Z 且 故 Z 的分布律为 Z 的分布函数为 )解析：
