1、考研数学(数学三)模拟试卷 425 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设当 x0 时,有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(12x) Sintdt,则( )(分数:2.00)A.a=B.a=C.a=D.a=0,b=2,c=0。3.下列广义积分收敛的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.设函数 f(x,y)连续,则二次积分 =( ) (分数:2.00)A.B.C.D.5.下列级数中收敛的有( ) (分数:2.00)A.。B.。C.。D.
2、。6.设矩阵 A= (分数:2.00)A.6。B.6。C.。D.。7.设 1 , 2 , 3 , 4 , 5 都是四维列向量,A=( 1 , 2 , 3 , 4 ),非齐次线性方程组 Ax= 5 有通解 k+=k(1,1,2,0) T +(2,1,0,1) T ,则下列关系式中不正确的是( )(分数:2.00)A.2 1 2 4 5 =0。B. 5 4 2 3 3 1 =0。C. 1 2 +2 3 5 =0。D. 5 4 4 3 33 2 =0。8.设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布,则 PX=1X+Y=2的值为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.9.设 X 1 ,X
3、 n 是取自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,其均值和方差分别为 X,S 2 ,则下列服从自由度为 n 的 X 2 分布的随机变量是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:12.00)10. 1。 (分数:2.00)填空项 1:_11.设 z=f(x,y)连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_12.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_13.设 f(x,y)满足 f(x,1)=0,f y (z,0)=sinx,f yy (x,y)=2x,则 f(x,y)= 1(分数:2.00)填空项 1:_14.微分方程 ysinx=ylny 满足初始条件 (分数
4、:2.00)填空项 1:_15.设 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y+y一 y=(46x)e -x 的一个解,且 (分数:2.00)_18.设 =f(x,y,z)有连续偏导数,y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy y=0 和 e z xz=0 所确定,求 (分数:2.00)_19.计算二重积分 (分数:2.00)_20.设 f(x)在0,1上二阶连续可导,且 f(0)=f(1)证明:存在 (0,1),使得 (分数:2.00)_21.设 f(
5、x)为一 a,a上的连续的偶函数且 f(x)0,令 F(x)= -a a x 一 t(t)dt (I)证明:F(x)单调增加 ()当 x 取何值时,F(x)取最小值? ()当 F(x)的最小值为 f(A)一 a 2 一 1 时,求函数f(x)(分数:2.00)_某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75 一 p 2 ,求:(分数:4.00)(1).当 p=4 时的边际需求,说明其经济意义;(分数:2.00)_(2).当 p=4 时的需求价格弹性,说明其经济意义;(分数:2.00)_设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 3 +2ax 1 x 2 +2x
6、 1 x 3 +2bx 2 x 3 的秩为 1,且(0,1,一 1) T 是二次型矩阵的特征向量,(分数:6.00)(1).求参数 a,b;(分数:2.00)_(2).求正交变换 x=Qy,把二次型化为标准形 f(x 1 ,x 2 ,x 3 );(分数:2.00)_(3).求 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )的合同规范形。(分数:2.00)_从数集1,2,3,4,5,6中任意取出一个整数 X,用 Y 表示数集中能整除 X 的正整数个数,试求:(分数:6.00)(1).Y 的概率分布;(分数:2.00)_(2).X 与 Y 的联合概率分布;(分数:2.00)_(3).X 与 Y 的相关系数 。
7、(分数:2.00)_已知随机变量 X 服从指数分布 E(1),当 X=(X0)时,y 服从指数分布 E(X)。(分数:4.00)(1).求 Y 的边缘概率密度 f Y (y);(分数:2.00)_(2).求条件概率密度 f XY (xy)。(分数:2.00)_考研数学(数学三)模拟试卷 425 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设当 x0 时,有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(12x) Sintdt,则( )(分数:2.00)A.a=B
8、.a=C.a=D.a=0,b=2,c=0。 解析:解析:已知 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(12x) sintdt,因此有 , 可知 c=0。又 3.下列广义积分收敛的是( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:选项 A 中, ,因此该积分发散。 选项 B 中, ,该积分发散。 选项 C 中,该积分收敛。 选项 D 中,4.设函数 f(x,y)连续,则二次积分 =( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:根据已知可知积分区域为 D=(x,y) x,sinxy1,据此画出积分区域的图形如下图所示: 在区域 D 中最高点纵坐标为 y=1,最低点纵坐标为 y=0
9、,左边界方程为 x=siny,右边界方程为 x=,因此5.下列级数中收敛的有( ) (分数:2.00)A.。B.。 C.。D.。解析:解析:对于, ,即 0,不符合级数收敛的必要条件,故级数是发散的。对于, ,由等价无穷小代换与洛必达法则可得 于是当 n时, ,进一步可知e 一(1+ ) n ,因此级数收敛。 对于,因为 ,级数 与 均收敛,而 , 所以级数收敛。 对于,因为 6.设矩阵 A= (分数:2.00)A.6。B.6。C.。 D.。解析:解析:化简矩阵方程向 B+E 靠拢,用分组分解因式有 (AB+A)+(B+E)=E,即(A+E)(B+E)=E, 两边取行列式,用行列式乘法公式得
10、A+EB+E=1, 又A+E= =12,因此BE=7.设 1 , 2 , 3 , 4 , 5 都是四维列向量,A=( 1 , 2 , 3 , 4 ),非齐次线性方程组 Ax= 5 有通解 k+=k(1,1,2,0) T +(2,1,0,1) T ,则下列关系式中不正确的是( )(分数:2.00)A.2 1 2 4 5 =0。B. 5 4 2 3 3 1 =0。C. 1 2 +2 3 5 =0。 D. 5 4 4 3 33 2 =0。解析:解析:根据非齐次线性方程组有通解 k+ 可知 5 =( 1 , 2 , 3 , 4 )(k+) =( 1 , 2 , 3 , 4 ) 8.设相互独立的随机变量
11、 X 和 Y 均服从 P(1)分布,则 PX=1X+Y=2的值为( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:根据条件概率的定义 PX1XY2PX1,Y1 = PX1PY1 =e -1 e -1 = e -2 。 因此 PX1XY2 9.设 X 1 ,X n 是取自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,其均值和方差分别为 X,S 2 ,则下列服从自由度为 n 的 X 2 分布的随机变量是( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:由于总体 XN(, 2 ),因此 X 2 (n 一 1)。又因为 ,因此 。 ,S 2 是相互独立的,根据 X 2 分布的可加性,可知 二、填
12、空题(总题数:6,分数:12.00)10. 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:常用的等价无穷小代换有 x0 时,xsinxarcsinxtanxarctanxln(1+x)e x 一1 ,1-cosx x 2 ,xsinx x 3 。 = 11.设 z=f(x,y)连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2dx-dy)解析:解析:12.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:交换积分次序得13.设 f(x,y)满足 f(x,1)=0,f y (z,0)=sinx,f yy (x,y)
13、=2x,则 f(x,y)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:xy 2 +ysinx-x-sinx)解析:解析:由 f yy (x,y)=2x 得 f y (x,y)=2xy+(x),因为 f y (x,0)=sinx,所以 (x)=sinx,即 f y (x,y)=2xy+sinx,再由 f y (x,y)=2xy+sinx 得 f(x,y)=xy 2 +ysinx+(x),因为f(x,1)=0,所以 (x)=一 xsinx,故 f(x,y)=xy 2 +ysinx 一 x 一 sinx14.微分方程 ysinx=ylny 满足初始条件 (分数:2.00)填空项 1:
14、_ (正确答案:正确答案:y=e cscx-cotx)解析:解析:15.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 B=AE 12 (2)E 13 ,所以B=AE 12 (2)E 13 =一 3,又因为 B * =BB 一 1 ,所以 B * =一 3E 13 一 1 E 12 一 1 (2)A 一 1 =一 3E 13 E 12 (一 2)A 一 1 , 三、解答题(总题数:10,分数:30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:17.设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y+y一 y=(46x)e -x 的一个解,且 (分数
15、:2.00)_解析:18.设 =f(x,y,z)有连续偏导数,y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy y=0 和 e z xz=0 所确定,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设有 。 (*) 在 e xy y0 中,将 y 视为 x 的函数,两边对 x 求导,得 在 e z xa=0 中,将 z 视为 x 的函数,两边对 x 求导,得 将(1)、(2)两式代入(*)式,得 )解析:19.计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二重积分的计算步骤: 第一步:画出积分区域 D 的草图; 第二步:选择坐标系;选取坐标系的原则:依据积分区域 D 的草图形状。当
16、区域 D 的边界是分段直线、一般的曲线时选用直角坐标系,这时的面积元素为 d=dxdy;而当区域 D 的边界是圆或是圆弧及由圆心出发的射线时一般选用极坐标系,这时的面积元素为 d=rdrd;有时也要参照 f(x,y)的形式,若 f(x,y)=f(x 2 +y 2 )或f( )或 f( )时,也可以考虑用极坐标。 第三步:选择积分次序; 遵循的原则:(a)先积容易积分的并能为后面积分创造条件; (b)对 D 的划分越少越好。 第四步:确定累次积分限; 定限口诀:后积先定限(常数),限内画条线(与先积分变量对应坐标轴同向),先交为下限,后交为上限(此上、下限是后积分变量的函数)。 积分区域 D 如
17、图所示,则 )解析:20.设 f(x)在0,1上二阶连续可导,且 f(0)=f(1)证明:存在 (0,1),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)= 0 x f(t)dt,则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x),由泰勒公式得 )解析:21.设 f(x)为一 a,a上的连续的偶函数且 f(x)0,令 F(x)= -a a x 一 t(t)dt (I)证明:F(x)单调增加 ()当 x 取何值时,F(x)取最小值? ()当 F(x)的最小值为 f(A)一 a 2 一 1 时,求函数f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 因为 F(x)=2f(x)0,所以
18、F(x)为单调增加的函数()因为 F(0)= -a 0 f(x)dx 一 0 a f(x)dx 且 f(x)为偶函数,所以 F(0)=0,又因为 F(0)0,所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点,也为最小点故最小值为 F(0)= -a a tf(t)dt 一 2 0 a tf(t)dt )解析:某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75 一 p 2 ,求:(分数:4.00)(1).当 p=4 时的边际需求,说明其经济意义;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:边际需求函数为 当 P=4 时,边际需求为 )解析:(2).当 p=4 时的需求价格弹性,说明其经济意义;(分数:2.00)_正确
19、答案:(正确答案:需求价格弹性函数为 当 P=4 时,需求价格弹性为 )解析:设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 3 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 +2bx 2 x 3 的秩为 1,且(0,1,一 1) T 是二次型矩阵的特征向量,(分数:6.00)(1).求参数 a,b;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型的矩阵为 A= ,二次型的秩为 1,从而该矩阵的秩为 1,也即该矩阵各行各列是成比例的,由此可得 a=b=1 或 a=b=1。再由 A )解析:(2).求正交变换 x=Qy,把二次型化为标准形 f(x 1 ,x 2 ,x
20、 3 );(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A= ,特征值为 0,0,3。解线性方程组 Ax=0 得 1 = , 2 = ,正交化得 1 = 1 = , 1 = 1 , 单位化得 1 = , 解线性方程组(A-3E)x=0 得 3 = ,单位化得 3 = 。 Q= )解析:(3).求 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )的合同规范形。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(x 1 ,x 2 ,x 3 )的正惯性指数为 1,负惯性指数为 0,因此合同规范形为 z 1 2 。)解析:从数集1,2,3,4,5,6中任意取出一个整数 X,用 Y 表示数集中能整除 X 的正整数个数,试求:(
21、分数:6.00)(1).Y 的概率分布;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 X、Y 取值情况列表如下: 由此即可求出 Y 的概率分布,即 Y )解析:(2).X 与 Y 的联合概率分布;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由乘法公式 p ij =PX=i,Y=j=Px=iPY=jX=i与 X 的概率 分布:PX=i= ,i=1,2,6,可以求出(X,Y)的联合概率分布。列表如下: )解析:(3).X 与 Y 的相关系数 。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:上述联合分布表中最后一列与最下一行分别表示关于 X 和关于 Y 的边缘分布,容易计算出 )解析:已知随机变量 X 服
22、从指数分布 E(1),当 X=(X0)时,y 服从指数分布 E(X)。(分数:4.00)(1).求 Y 的边缘概率密度 f Y (y);(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意可知 X 的边缘概率密度为 F X (x)= X=x(x0)时, Y 的条件概率密度为 f YX (yx)= 由于 f YX (yx)= (x0)。 所以 x0 时,有 f(x,y)=f YX (yx)f X (x)= 当 x0 时,由于 f X (x)=0,可知 f(x,y)=0,从而 f(x,y)= 根据公式 f Y (y)= f(x,y)dx 有:当 y0 时,f Y (y)=0,当 y0 时,f Y (y)= , 可知 f Y (y)= )解析:(2).求条件概率密度 f XY (xy)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 y0 时, f XY (xy)= =(1y) 2 f(x,y)= )解析: