1、考研数学（数学三）模拟试卷 425 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(12x) Sintdt，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=C.a=D.a=0，b=2，c=0。3.下列广义积分收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.下列级数中收敛的有( ) （分数：2.00）A.。B.。C.。D.
2、。6.设矩阵 A= （分数：2.00）A.6。B.6。C.。D.。7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 都是四维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，非齐次线性方程组 Ax= 5 有通解 k+=k(1，1，2，0) T +(2，1，0，1) T ，则下列关系式中不正确的是( )（分数：2.00）A.2 1 2 4 5 =0。B. 5 4 2 3 3 1 =0。C. 1 2 +2 3 5 =0。D. 5 4 4 3 33 2 =0。8.设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 PX=1X+Y=2的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 X 1 ，X
3、 n 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 X，S 2 ，则下列服从自由度为 n 的 X 2 分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 z=f(x，y)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x，y)满足 f(x，1)=0，f y (z，0)=sinx，f yy (x，y)=2x，则 f(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 ysinx=ylny 满足初始条件 （分数
4、：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y+y一 y=(46x)e -x 的一个解，且 （分数：2.00）_18.设 =f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy y=0 和 e z xz=0 所确定，求 （分数：2.00）_19.计算二重积分 （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_21.设 f(
5、x)为一 a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 F(x)= -a a x 一 t(t)dt (I)证明：F(x)单调增加 ()当 x 取何值时，F(x)取最小值? ()当 F(x)的最小值为 f(A)一 a 2 一 1 时，求函数f(x)（分数：2.00）_某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75 一 p 2 ，求：（分数：4.00）(1).当 p=4 时的边际需求，说明其经济意义；（分数：2.00）_(2).当 p=4 时的需求价格弹性，说明其经济意义；（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 3 +2ax 1 x 2 +2x
6、 1 x 3 +2bx 2 x 3 的秩为 1，且(0，1，一 1) T 是二次型矩阵的特征向量，（分数：6.00）(1).求参数 a，b；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy，把二次型化为标准形 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )；（分数：2.00）_(3).求 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的合同规范形。（分数：2.00）_从数集1，2，3，4，5，6中任意取出一个整数 X，用 Y 表示数集中能整除 X 的正整数个数，试求：（分数：6.00）(1).Y 的概率分布；（分数：2.00）_(2).X 与 Y 的联合概率分布；（分数：2.00）_(3).X 与 Y 的相关系数 。
7、（分数：2.00）_已知随机变量 X 服从指数分布 E(1)，当 X=(X0)时，y 服从指数分布 E(X)。（分数：4.00）(1).求 Y 的边缘概率密度 f Y (y)；（分数：2.00）_(2).求条件概率密度 f XY (xy)。（分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 425 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(12x) Sintdt，则( )（分数：2.00）A.a=B
8、.a=C.a=D.a=0，b=2，c=0。 解析：解析：已知 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(12x) sintdt，因此有 ， 可知 c=0。又 3.下列广义积分收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：选项 A 中， ，因此该积分发散。 选项 B 中， ，该积分发散。 选项 C 中，该积分收敛。 选项 D 中，4.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据已知可知积分区域为 D=(x，y) x，sinxy1，据此画出积分区域的图形如下图所示： 在区域 D 中最高点纵坐标为 y=1，最低点纵坐标为 y=0
9、，左边界方程为 x=siny，右边界方程为 x=，因此5.下列级数中收敛的有( ) （分数：2.00）A.。B.。 C.。D.。解析：解析：对于， ，即 0，不符合级数收敛的必要条件，故级数是发散的。对于， ，由等价无穷小代换与洛必达法则可得 于是当 n时， ，进一步可知e 一(1+ ) n ，因此级数收敛。 对于，因为 ，级数 与 均收敛，而 ， 所以级数收敛。 对于，因为 6.设矩阵 A= （分数：2.00）A.6。B.6。C.。 D.。解析：解析：化简矩阵方程向 B+E 靠拢，用分组分解因式有 (AB+A)+(B+E)=E，即(A+E)(B+E)=E， 两边取行列式，用行列式乘法公式得
10、A+EB+E=1， 又A+E= =12，因此BE=7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 都是四维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，非齐次线性方程组 Ax= 5 有通解 k+=k(1，1，2，0) T +(2，1，0，1) T ，则下列关系式中不正确的是( )（分数：2.00）A.2 1 2 4 5 =0。B. 5 4 2 3 3 1 =0。C. 1 2 +2 3 5 =0。 D. 5 4 4 3 33 2 =0。解析：解析：根据非齐次线性方程组有通解 k+ 可知 5 =( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )(k+) =( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 8.设相互独立的随机变量
11、 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 PX=1X+Y=2的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据条件概率的定义 PX1XY2PX1，Y1 = PX1PY1 =e -1 e -1 = e -2 。 因此 PX1XY2 9.设 X 1 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 X，S 2 ，则下列服从自由度为 n 的 X 2 分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于总体 XN(， 2 )，因此 X 2 (n 一 1)。又因为 ，因此 。 ，S 2 是相互独立的，根据 X 2 分布的可加性，可知 二、填
12、空题(总题数：6，分数：12.00)10. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：常用的等价无穷小代换有 x0 时，xsinxarcsinxtanxarctanxln(1+x)e x 一1 ，1-cosx x 2 ，xsinx x 3 。 = 11.设 z=f(x，y)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2dx-dy）解析：解析：12.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：交换积分次序得13.设 f(x，y)满足 f(x，1)=0，f y (z，0)=sinx，f yy (x，y)
13、=2x，则 f(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xy 2 +ysinx-x-sinx）解析：解析：由 f yy (x，y)=2x 得 f y (x，y)=2xy+(x)，因为 f y (x，0)=sinx，所以 (x)=sinx，即 f y (x，y)=2xy+sinx，再由 f y (x，y)=2xy+sinx 得 f(x，y)=xy 2 +ysinx+(x)，因为f(x，1)=0，所以 (x)=一 xsinx，故 f(x，y)=xy 2 +ysinx 一 x 一 sinx14.微分方程 ysinx=ylny 满足初始条件 （分数：2.00）填空项 1:
14、_ （正确答案：正确答案：y=e cscx-cotx）解析：解析：15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 B=AE 12 (2)E 13 ，所以B=AE 12 (2)E 13 =一 3，又因为 B * =BB 一 1 ，所以 B * =一 3E 13 一 1 E 12 一 1 (2)A 一 1 =一 3E 13 E 12 (一 2)A 一 1 ， 三、解答题(总题数：10，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y+y一 y=(46x)e -x 的一个解，且 （分数
15、：2.00）_解析：18.设 =f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy y=0 和 e z xz=0 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设有 。 (*) 在 e xy y0 中，将 y 视为 x 的函数，两边对 x 求导，得 在 e z xa=0 中，将 z 视为 x 的函数，两边对 x 求导，得 将(1)、(2)两式代入(*)式，得 )解析：19.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二重积分的计算步骤： 第一步：画出积分区域 D 的草图； 第二步：选择坐标系；选取坐标系的原则：依据积分区域 D 的草图形状。当
16、区域 D 的边界是分段直线、一般的曲线时选用直角坐标系，这时的面积元素为 d=dxdy；而当区域 D 的边界是圆或是圆弧及由圆心出发的射线时一般选用极坐标系，这时的面积元素为 d=rdrd；有时也要参照 f(x，y)的形式，若 f(x，y)=f(x 2 +y 2 )或f( )或 f( )时，也可以考虑用极坐标。 第三步：选择积分次序； 遵循的原则：(a)先积容易积分的并能为后面积分创造条件； (b)对 D 的划分越少越好。 第四步：确定累次积分限； 定限口诀：后积先定限(常数)，限内画条线(与先积分变量对应坐标轴同向)，先交为下限，后交为上限(此上、下限是后积分变量的函数)。 积分区域 D 如
17、图所示，则 )解析：20.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得 )解析：21.设 f(x)为一 a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 F(x)= -a a x 一 t(t)dt (I)证明：F(x)单调增加 ()当 x 取何值时，F(x)取最小值? ()当 F(x)的最小值为 f(A)一 a 2 一 1 时，求函数f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 F(x)=2f(x)0，所以
18、F(x)为单调增加的函数()因为 F(0)= -a 0 f(x)dx 一 0 a f(x)dx 且 f(x)为偶函数,所以 F(0)=0，又因为 F(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点故最小值为 F(0)= -a a tf(t)dt 一 2 0 a tf(t)dt )解析：某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75 一 p 2 ，求：（分数：4.00）(1).当 p=4 时的边际需求，说明其经济意义；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：边际需求函数为 当 P=4 时，边际需求为 )解析：(2).当 p=4 时的需求价格弹性，说明其经济意义；（分数：2.00）_正确
19、答案：(正确答案：需求价格弹性函数为 当 P=4 时，需求价格弹性为 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 3 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 +2bx 2 x 3 的秩为 1，且(0，1，一 1) T 是二次型矩阵的特征向量，（分数：6.00）(1).求参数 a，b；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 A= ，二次型的秩为 1，从而该矩阵的秩为 1，也即该矩阵各行各列是成比例的，由此可得 a=b=1 或 a=b=1。再由 A )解析：(2).求正交变换 x=Qy，把二次型化为标准形 f(x 1 ，x 2 ，x
20、 3 )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，特征值为 0，0，3。解线性方程组 Ax=0 得 1 = ， 2 = ，正交化得 1 = 1 = ， 1 = 1 ， 单位化得 1 = ， 解线性方程组(A-3E)x=0 得 3 = ，单位化得 3 = 。 Q= )解析：(3).求 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的合同规范形。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的正惯性指数为 1，负惯性指数为 0，因此合同规范形为 z 1 2 。)解析：从数集1，2，3，4，5，6中任意取出一个整数 X，用 Y 表示数集中能整除 X 的正整数个数，试求：（
21、分数：6.00）(1).Y 的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 X、Y 取值情况列表如下： 由此即可求出 Y 的概率分布，即 Y )解析：(2).X 与 Y 的联合概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由乘法公式 p ij =PX=i，Y=j=Px=iPY=jX=i与 X 的概率 分布：PX=i= ，i=1，2，6，可以求出(X，Y)的联合概率分布。列表如下： )解析：(3).X 与 Y 的相关系数 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：上述联合分布表中最后一列与最下一行分别表示关于 X 和关于 Y 的边缘分布，容易计算出 )解析：已知随机变量 X 服
22、从指数分布 E(1)，当 X=(X0)时，y 服从指数分布 E(X)。（分数：4.00）(1).求 Y 的边缘概率密度 f Y (y)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知 X 的边缘概率密度为 F X (x)= X=x(x0)时， Y 的条件概率密度为 f YX (yx)= 由于 f YX (yx)= (x0)。 所以 x0 时，有 f(x，y)=f YX (yx)f X (x)= 当 x0 时，由于 f X (x)=0，可知 f(x，y)=0，从而 f(x，y)= 根据公式 f Y (y)= f(x，y)dx 有：当 y0 时，f Y (y)=0，当 y0 时，f Y (y)= ， 可知 f Y (y)= )解析：(2).求条件概率密度 f XY (xy)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 y0 时， f XY (xy)= =(1y) 2 f(x，y)= )解析：
