1、考研数学（数学三）模拟试卷 424 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 sinx sint 2 ，g(x)=x 3 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )。（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小3.设 f(x)连续可导，且 （分数：2.00）A.当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极小值B.当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极大值C.当 f(0)0 时，f
2、(0)是 f(x)的极大值D.当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极小值4.设 （分数：2.00）A.连续，但不可偏导B.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微5.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若B.对级数C.若D.若6.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 B 2 ，则 ABB.矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等C.若 A，B 的特征值相同，则 ABD.若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化7.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关， 1 不可由 1 , 2 , 3 线性表示，而 2 可由
3、 1 , 2 , 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 2 ，尼线性相关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关C. 1 , 2 , 3 ， 1 + 2 线性相关D. 1 , 2 , 3 ， 1 + 2 线性无关8.设 （分数：2.00）A.事件 A，B 独立且B.事件 A，B 独立且C.事件 A，B 不独立且D.事件 A，B 不独立且9.设连续型随机变量 x 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)= - x (t)dt，则对任意常数a0，PXa)为( )（分数：2.00）A.22F(A)B.1 一 F(A)C.2F(A)D.2F(A)一 1二、填空题(总
4、题数：6，分数：12.00)10.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x，y，z)=e x yz 2 是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，其中 z=z(x，y)，则 f x (0，1，1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.差分方程 y x1 2y x =32 x 的通解为 y(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设某商品的需求函数是 Q= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E，则(A3E) 1 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设 X 1 ，X 2 ，X n 为独立同分布于参数 的
5、泊松分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总收益函数为 R(x，y)=27x+42y 一 x 2 一 2xy 一 4y 2 ，总成本函数为 C(x，y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品每吨还需支付排污费 1 万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费 2 万元。（分数：4.00）(1).在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?总利润是多少?（分数：2.00）_(2).当
6、限制排污和费用支出总量为 6 万元的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少？（分数：2.00）_17.设 u=f(x 2 +y 2 ，xz)，z=z(x，y)由 e x +e y =e z 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_18.设某工厂产甲、乙两种产品，设甲、z,N 种产品的产量分别为 x 和 y(吨)，其收入函数为 R=15x+34yx 2 一 2xy 一 4y 2 一 36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用 1 万，生产乙产品每吨需要支付排污费用 2 万（分数：2.00）_19.将函数 f(x)= （分数：2.00）_20.计算二重积分
7、，其中 D 是由直线 x=一 2，y=0，y=2 以及曲线 x=一 （分数：2.00）_求幂级数 （分数：6.00）_(2). 1 能 2 ， 3 ， 4 否由线性表示；（分数：2.00）_(3). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示，并说明理由。（分数：2.00）_21.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 +2bx 2 x 3 的秩为 1，且(0，1，一 1) T 为二次型的矩阵 A 的特征向量 (I)求常数 a，b； (II)求正交变换 X=QY，使二次型 X T AX 化为标准形（分数：2.
8、00）_设随机变量 X 的分布律为 P(X=k)一 p(1p) k-1 (k=1，2，)，y 在 1k 之间等可能取值，求PY=3)（分数：6.00）_(2).计算条件概率密度 f yx (yx)；（分数：2.00）_(3).计算 Z=X+Y 的概率密度。（分数：2.00）_设总体 XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )。从总体 X，Y 中独立地抽取二个容量为 m，n 的样本 X 1 ，X m 和 Y 1 ，Y n 。记样本均值分别为 。令 Z=C( 1 ) 2 +( （分数：4.00）C；_(2).z 的方差 D(Z)。（分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 424 答案解析
9、(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 sinx sint 2 ，g(x)=x 3 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )。（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为3.设 f(x)连续可导，且 （分数：2.00）A.当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极小值 B.当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极大值C.当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的
10、极大值D.当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极小值解析：解析：因为 f(x)连续可导，所以由 得 f(0)+f(0)=0当 f(0)0 时，因为 f(0)0，所以f(0)不是极值，C，D 不对； 当 f(0)=0 时，f(0)=0，由4.设 （分数：2.00）A.连续，但不可偏导B.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微 解析：解析：由 得 f(x，y)在(0，0)处连续5.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若B.对级数C.若 D.若解析：解析：若 ，收敛，则a n 有界，即存在 M0，使得a n M，于是有 0a n b n M.b n ，由 6.设 A，B 为
11、 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 B 2 ，则 ABB.矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等C.若 A，B 的特征值相同，则 ABD.若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化 解析：解析：由 AB 得 A，B 的特征值相同，设为 1 ， 2 ， n ，且存在可逆矩阵 P 1 ，使得 P 1 一 1 AP 1 =B，即 A=P 1 BP 1 一 1 ；因为 A 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 2 ，使得 P 2 一 1 AP 2 = 即 于是有 7.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关， 1 不可由 1 , 2 , 3 线性表示，而
12、 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 2 ，尼线性相关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关C. 1 , 2 , 3 ， 1 + 2 线性相关D. 1 , 2 , 3 ， 1 + 2 线性无关 解析：解析：因为 1 不可由 1 , 2 , 3 线性表示，而 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示，所以 1 + 2 不可由 1 , 2 , 3 线性表示，从而 1 , 2 , 3 ， 1 + 2 线性无关，故选 D8.设 （分数：2.00）A.事件 A，B 独立且B.事件 A，B 独立且C.事件 A，B 不独立且 D.事件 A，B 不
13、独立且解析：解析：由 得 P(A)=P(B)，再由 因为 P(AB)P(A)P(B)，所以 A，B 不独立，故9.设连续型随机变量 x 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)= - x (t)dt，则对任意常数a0，PXa)为( )（分数：2.00）A.22F(A) B.1 一 F(A)C.2F(A)D.2F(A)一 1解析：解析：P(Xa)=1 一 P(1 X la)=1 一 P(一 aXa)=1 一 F(a)+F(一 a)，二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x 一 4）解析：解析：即求极限 k= 和
14、 b= (ykx)斜渐近线的斜率： ， 斜渐近线的截距：故曲线 Y=11.设 f(x，y，z)=e x yz 2 是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，其中 z=z(x，y)，则 f x (0，1，1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：z 是关干 x，y 的函数，因此 f(x，y，z)=e x yZ 2 两边对 x 求偏导可得， f x (x，y，z)f z (x，y，z) =e x yz 2 2e x yz ， x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导可得 ， 于是可得 12.差分方程 y x1 2y x =32 x 的通解为 y(x)=
15、 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C2 x + ）解析：解析：原方程对应齐次差分方程 y x1 一 2y x =0 的通解为 Y=C2 x ，又 f(x)=32 x ，因为 2是其特征值，所以特解形式可设为 y x * =ax2 x ，代入原方程可得 a= 。故原差分方程的通解为y(x)=C2 x + 13.设某商品的需求函数是 Q= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据弹性函数的定义，则需求 Q 关于价格 p 的弹性为 ，即14.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E，则(A3E) 1 = 1。（分数：2.00）填空项
16、 1:_ （正确答案：正确答案：*(A4E)）解析：解析：由 A 2 +A=3E，得 A 2 +A 一 3E=0，分解得(A 一 3E)(A+4E)=一 9E，两边除以一 9 可得，(A一 3E) (A+4E)=E，因此可知(A 一 3E) 1 = 15.设 X 1 ，X 2 ，X n 为独立同分布于参数 的泊松分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 X 1 ，X 2 ，X n 为独立同分布于参数 的泊松分布，因此可得 E(X i )=D(X i )=(i1，2，)，从而可知 X i 近似服从分布 N(n，n)，标准化为 近似服从 N(0，1)，
17、故 三、解答题(总题数：10，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总收益函数为 R(x，y)=27x+42y 一 x 2 一 2xy 一 4y 2 ，总成本函数为 C(x，y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品每吨还需支付排污费 1 万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费 2 万元。（分数：4.00）(1).在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?总利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总利润函数 L(x，y)
18、为 L(x，y)=R(x，y)一 C(x，y)一 x 一 2y=14x+32y 一 x 2 一2xy 一 4y 2 一 36。求 L(x，y)的驻点，令 )解析：(2).当限制排污和费用支出总量为 6 万元的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应求总利润函数 L(x，y)在约束条件 z+2y=6 下的最大值，可用拉格朗日乘数法。引入拉格朗日函数 F(x，y，)=L(x，y)+(x+2y6)，并求 F(x，y，)的驻点，令 )解析：17.设 u=f(x 2 +y 2 ，xz)，z=z(x，y)由 e x +e y =e z 确定
19、，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 e x +e y =e z 得 )解析：18.设某工厂产甲、乙两种产品，设甲、z,N 种产品的产量分别为 x 和 y(吨)，其收入函数为 R=15x+34yx 2 一 2xy 一 4y 2 一 36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用 1 万，生产乙产品每吨需要支付排污费用 2 万（分数：2.00）_解析：19.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要记住下列常见函数的幂级数展开形式： f (x) 注意到 f(0)=0。将上式由 0 到 x 积分得 F(x)=x )解析：20.计算二重积分
20、 ，其中 D 是由直线 x=一 2，y=0，y=2 以及曲线 x=一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一：在直角坐标系下化为累次积分计算，选取先对 x 积分再对 y 积分的顺序。题中所给区域如图所示： 令 y-1=sinx，则 。 于是可得 。 方法二： 方法三：根据图像可以看出积分区域关于直线 y=1 上下对称，则 ，故 。 )解析：求幂级数 （分数：6.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2). 1 能 2 ， 3 ， 4 否由线性表示；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：非齐次线性方程组解的判定： 设 A 是 mn 矩阵，则 n 元非齐次线性方程组Ax=b 无解
21、的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩不等于增广矩阵 的秩，即 r(A)r( )。 设 A是 mn 矩阵，则 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩和增广矩阵 的秩都等于未知量的个数 n，即 r(A)=r( )=n。 设 A 是 mn 矩阵，则 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 的秩且小于未知量的个数 n，即 r(A)=r( )解析：(3). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示，并说明理由。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知方程组(*)的基础解系只含有一个解向量，故 r(A)=n
22、1=41=3，因而 A 的列秩等于 3。因为可由 2 ， 3 ， 4 线性表示，故 3=r( 2 ， 3 ， 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 )+1，因而 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。)解析：21.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 +2bx 2 x 3 的秩为 1，且(0，1，一 1) T 为二次型的矩阵 A 的特征向量 (I)求常数 a，b； (II)求正交变换 X=QY，使二次型 X T AX 化为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
23、： )解析：设随机变量 X 的分布律为 P(X=k)一 p(1p) k-1 (k=1，2，)，y 在 1k 之间等可能取值，求PY=3)（分数：6.00）_正确答案：(正确答案：令 A K =X=k)(k=1，2，)，B=Y=3)，P(BA 1 )=P(BA 2 )=0， )解析：(2).计算条件概率密度 f yx (yx)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设二维连续型随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)，边缘概率密度分别为 f X (x)和 f Y (y)，则随机变量 X 和 Y 相互独立的充要条件是 f(x，y)f X (x)f Y (y)。 关于 X 的边缘密度 f
24、 X (x)= 条件概率密度 f YX (y x)= )解析：(3).计算 Z=X+Y 的概率密度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Z=X+Y 的取值范围为(0，+)。 当 z0 时，F Z (z)=0。 当 z0 时，F Z (z)=PZz=P X+Yz= f(x，y)dxdy = = 因此 f Z (z)=F (z)= )解析：设总体 XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )。从总体 X，Y 中独立地抽取二个容量为 m，n 的样本 X 1 ，X m 和 Y 1 ，Y n 。记样本均值分别为 。令 Z=C( 1 ) 2 +( （分数：4.00）C；_正确答案：(正确答案：需要构造 X 2 分布，运用一些常见统计量的相关结论，如 螋，其中 n 为样本个数。 由于 又有 ， 故 2 则 C= )解析：(2).z 的方差 D(Z)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 N(0，1)。故 X 2 (1)，从而 。 同理， 。 故 )解析：
