1、考研数学（数学三）模拟试卷 422 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若B.设C.若D.设 a n 0，b n 0，且 3.设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 （分数：2.00）A.f(x，y)在(0，0)处不可偏导B.f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C.f x (0，0)=f y (0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分D.f x (0，0)=f y (0，0)=0 且 f(x，y
2、)在(0，0)处可微分4.设 A 为三阶矩阵 （分数：2.00）A.当 t2 时，r(A)=1B.当 t2 时，r(A)=2C.当 t=2 时，r(A)=1D.当 t=2 时，r(A)=25.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T ，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1 (x)+08F 1 (2x)，其中 F 1 (y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（分数：2.00）A.036B.044C.064D.17.设 X 1 ，X 2 ，X 3
3、 ，X 4 ，X 5 是来自总体 N(1，4)的简单随机样本， （分数：2.00）A.2B.C.D.18.设随机变量 x 与 y 的联合分布是二维正态分布，X 与 Y 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.E(XY)=0。B.D(XY)=0。C.E(X 2 Y 2 )=0。D.EX(YEY)=0。9.假设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布律为 PY=1=PY=1= （分数：2.00）A.是连续函数。B.恰有一个间断点的阶梯函数。C.恰有一个间断点的非阶梯函数。D.至少有两个间断点。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1。 （分数
4、：2.00）填空项 1:_11.函数 y=f(x)由方程 e 2xy cosxy=e 一 1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.函数 u=f(x+y，xy)，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=y(x)由方程 x= 1 yx sin 2 ( t)dt 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.行列式 D n = （分数：2.00）填空项 1:_15.从正态总体 N(， 2 )中抽取一容量为 16 的样本，S 2 为样本方差，则 D( （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：28.00)
5、16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.求极限 （分数：2.00）_18.设企业生产一种产品，其成本 C(Q) Q 3 16Q 2 +100Q+1000，平均收益 =a （分数：2.00）_19.令 x=cost(0t)将方程(1x 2 )y一 xy+y=0 化为 y 关于 t 的微分方程，并求满足 y x=0 =1，y x=0 =2 的解（分数：2.00）_设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0，且 f(x)在0，1上的最小值为一 1证明：存在 (0，1)，使得f()8（分数：6.00）_(2).试求曲线 L 的方程；（分数：2.00）_(3).求 L 位于第一象限
6、部分的一条切线，使该切线与曲线 L 以及两坐标轴所围图形面积最小。（分数：2.00）_20.求幂级数 （分数：2.00）_21.设 A 为 mn 矩阵，且 （分数：2.00）_(已知 A，B 为三阶非零方阵，A ，B 1 ，B 2 ，B 3 （分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_(2).求 Bx0 的通解。（分数：2.00）_设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数 f Z (z)（分数：6.00）_(2).求 X 1 和 X 2 的联合概率分布；（分数：2.00）_(3).求 E(X 1 +X 2 )。（分数：2.00
7、）_22.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 422 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若B.设C.若D.设 a n 0，b n 0，且 解析：解析：3.设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 （分数：2.00）A.f(x，y)在(0，0)处不可偏导B.f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C.f x (0，0)=f y (0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0
8、)处可微分D.f x (0，0)=f y (0，0)=0 且 f(x，y)在(0，0)处可微分 解析：解析：4.设 A 为三阶矩阵 （分数：2.00）A.当 t2 时，r(A)=1 B.当 t2 时，r(A)=2C.当 t=2 时，r(A)=1D.当 t=2 时，r(A)=2解析：解析：当 t2 时,5.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T ，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：解析：令 AX=X，则 A 2 X= 2 X，因为 ， 正交，所以 T = T =0，A 2 = T . T =0，于是 2 X=0，故 1
9、= 2 = 3 4 =0，因为 ， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r( T )r()一 1，所以 r(A)=1因为 4 一 r(OEA)=4 一 r(A)=3，所以A 的线性无关的特征向量是 3 个，选 C6.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1 (x)+08F 1 (2x)，其中 F 1 (y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（分数：2.00）A.036B.044 C.064D.1解析：解析：设 X 1 E(1)，其密度函数为 其分布函数为 F 1 (x)= 且 E(X 1 )=D(X 1 )=1，则 E(
10、X 1 2 )=D(X 1 )+EE(X 1 ) 2 =2 7.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 是来自总体 N(1，4)的简单随机样本， （分数：2.00）A.2B.C. D.1解析：解析：8.设随机变量 x 与 y 的联合分布是二维正态分布，X 与 Y 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.E(XY)=0。B.D(XY)=0。C.E(X 2 Y 2 )=0。D.EX(YEY)=0。 解析：解析：(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 独立的充分必要条件是它们的相关系数 xy =0。而对任何两个随机变量 X 与 Y 有 xy =0 Cov(X，Y)=0 9
11、.假设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布律为 PY=1=PY=1= （分数：2.00）A.是连续函数。 B.恰有一个间断点的阶梯函数。C.恰有一个间断点的非阶梯函数。D.至少有两个间断点。解析：解析：方法一(分布函数法)：已知 XF X (x) 又 X 与 Y 相互独立，所以应用全概率公式得 Z=X+Y 的分布函数： F Z (z)=PX+Yz =PX+Yz，Y=1+PX+Yz，Y=1 =PXz1，Y=1+PXz+1，Y1 = P(Xz 一 1)+ P(xz+1) = F X (z1)+ F X (z+1) = 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10
12、.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 。 因为 ， 所以11.函数 y=f(x)由方程 e 2xy cosxy=e 一 1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x-2y+2=0）解析：解析：方程 e 2xy -cosxy=e 一 1 两边同时对 x 求导，得 ， 则有 。 因此， =2。 于是可得曲线在点(0，1)处的法线斜率为 12.函数 u=f(x+y，xy)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f 11 +(x+y)f 12 +xyf
13、22 +f 2）解析：解析：由多元函数求导法则 =f 1 yf 2 13.设 y=y(x)由方程 x= 1 yx sin 2 ( t)dt 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由 x= 1 yx sin 2 ( t)dt，将 x=0 代入得 y=1，再将所给方程两边对 x 求导，得1=sin 2 (yx)(y 1)。 于是 y =cos 2 (yx)1 从而 y = 14.行列式 D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n+1）解析：解析：将各列加到第一列 15.从正态总体 N(， 2 )中抽取一容量为 16 的样本，S
14、 2 为样本方差，则 D( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将其转化为 X 2 分布，利用 X 2 分布的方差计算，样本容量为 16，则 X 2 (161)，即 X 2 (15)。 因 X 2 = X 2 (161)，故 三、解答题(总题数：10，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由等价无穷小替换 得 ， 上述极限为 型，且含有变上限积分函数，由洛必达法则，原式= = )解析：18.设企业生产一种产品，其成本 C(Q) Q 3 16Q 2 +100Q+10
15、00，平均收益 =a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：收益函数 R(Q)= ，当获得最大利润时，边际收益等于边际成本，即MR=MC=44 又 MR= =a-bQ，MC= =2Q 2 -32Q100=44，即 Q 2 -16Q28=0，解得 Q 1 =14，Q 2 =2。又 ， 因此当 Q=14 时， ，此时企业利润取得最大值。 又因为 MR= ，即 44= ，得 p=82。 由 =p，因此当 Q=14 时，有 可得 a=120，b= 。 当 Q=2 时，得b=38，不满足 0b24 的条件。故舍去。 综合分析：Q=14 时企业利润最大，此时 a=120，b= )解析：19.令 x=c
16、ost(0t)将方程(1x 2 )y一 xy+y=0 化为 y 关于 t 的微分方程，并求满足 y x=0 =1，y x=0 =2 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0，且 f(x)在0，1上的最小值为一 1证明：存在 (0，1)，使得f()8（分数：6.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，所以 f(x)在0，1上取到最小值和最大值，又因为f(0)=f(1)=0，且 f(x)在0，1上的最小值为一 1，所以存在 c(0，1)，使得 f(C)=一 1，f(C)=0，由泰勒公式得 )解析：(2).试求曲线 L
17、的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Y-y=y (X-x)，令 X=0，则 Y=-xy y，即它在 y 轴上的截距为-xy y。 )解析：(3).求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线 L 以及两坐标轴所围图形面积最小。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(I)知 y= -x 2 ，则 y =2x，点 P(x，y)=P(x， -x 2 )，所以在点 P 处的切线方程为：Y（ -x 2 )2x（Xx），分别令 X0，Y0，解得在 y 轴，z 轴上的截距分别为 。 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A（x）= ，x0，
18、 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记 S 0 ，于是题中所求的面积为： )解析：20.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 A 为 mn 矩阵，且 （分数：2.00）_解析：(已知 A，B 为三阶非零方阵，A ，B 1 ，B 2 ，B 3 （分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 ， 2 ， 3 均为 Bx=0 的解，而 BO 知， 1 ， 2 ， 3 必线性相关，于是 1 ， 2 ， 3 = 0，由此解得 a=3b。 由 Ax=B 3 有解，知 r(A: 3 )r(A)，)解析：(2).
19、求 Bx0 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 r(B)1，于是 3r(R)2，而 1 ， 2 为 Bx=0 的两个线性无关的解，故 3 一 r(B)=2，可见 1 ， 2 即可作为 Bx0 的基础解系，故通解为 x=k 1 B 1 +k 2 B 2 (k 1 ，k 2 为任意常数)。)解析：设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数 f Z (z)（分数：6.00）_正确答案：(正确答案：X，Y 的边缘密度分别为 )解析：(2).求 X 1 和 X 2 的联合概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 y 服从参
20、数为 A=1 的指数分布，则其分布函数为 由 X k = )解析：(3).求 E(X 1 +X 2 )。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由期望的性质和离散型随机变量期望的定义，有 E(X 1 )=0PX 1 =0+1PX 1 =1 PY1=1Py1=1 一 F(1)=1 一(1 一 e 1 )=e 1 ， E(X 2 )0PX 2 =0=1PX 2 =1 =P Y2=1Py2=1 一 F(2)=1 一(1e 2 )=e 2 ， 故 E(X 1 +X 2 )=E(X 1 )+E(X 2 )e 1 +e 2 。)解析：22.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
21、案：最大似然估计法的求解步骤：第一步，写出样本的似然函数 。 第二步，求出使 L()达到最大值的 1 ， K 。 ()由于 L()与 lnL()在同一 处取到极值，则如果 L()或 lnL()关于 可微，则 可以从方程 =0 或 =0 中解得，若总体 X 的分布中含有 K 个未知参数 1 ， 2 ， k ，则 (i=1，2，k)可以由似然方程组 =0 或 =0(i=1，2，k)解得，从而得到 i 的最大似然估计量 。 ()如果 p(X i ； 1 ， k )或 f(x i ； 1 ， k )关于 i 不可微，或似然方程无解，此时应考虑利用似然函数的单调性找到极值点。由题可知 E(X) ，所以 的矩估计量为 。 设样本 X 1 ，X 2 ，X n 的一组取值为 x 1 ，x 2 ，x n ，则似然函数为 L(x 1 ，x 2 ，x n ；) ， ， 当 0 时，得 的最大似然估计量为 )解析：
