1、2014 年福建省漳州市中考真题数学 一、单项选择题 (共 10 小题，每小题 4分，满分 40 分 ) 1.(4 分 )如图，数轴上有 A、 B、 C、 D 四个点，其中表示互为相反数的点是 ( ) A. 点 A 与点 D B. 点 A 与点 C C. 点 B 与点 D D. 点 B 与点 C 解析 ： 2 与 -2 互为相反数， 答案： A. 2.(4 分 )如图， 1 与 2 是 ( ) A. 对顶角 B. 同位角 C. 内错角 D. 同旁内角 解析 ： 1 与 2 是同位角 . 答案： B. 3.(4 分 )下列计算正确的是 ( ) A. =2 B. 3-1=- C. (-1)2014
2、=1 D. |-2|=-2 解析 ： A、 =2，故 A 选项错误； B、 3-1= ，故 B 选项错误； C、 (-1)2014=1，故 C 选项正确； D、 |-2|=2，故 D 选项错误 . 答案： C. 4.(4 分 )下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故 A 选项错误； B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故 B 选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故 C 选项正确； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故 D 选项错误 . 答案： C. 5.(4 分 )若
3、代数式 x2+ax 可以分解因式，则常数 a 不可以取 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 解析 ： 代数式 x2+ax 可以分解因式， 常数 a 不可以取 0. 答案： B. 6.(4 分 )如图，在 54 的方格纸中，每个小正方形边长为 1，点 O， A， B 在方格纸的交点 (格点 )上，在第四象限内的格点上找点 C，使 ABC 的面积为 3，则这样的点 C 共有 ( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 解析 ： 由图可知， ABx 轴，且 AB=3， 设点 C 到 AB 的距离为 h，则 ABC 的面积 = 3h=3 ，解得 h=2， 点 C 在第
4、四象限， 点 C 的位置如图所示，共有 3 个 . 答案： B. 7.(4 分 )中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学 2500 个学生家长对 “ 中学生骑电动车上学 ” 的态度，从中随机调查 400 个家长，结果有 360 个家长持反对态度，则下列说法正确的是 ( ) A. 调查方式是普查 B. 该校只有 360 个家长持反对态度 C. 样本是 360 个家长 D. 该校约有 90%的家长持反对态度 解析 ： A.共 2500 个学生家长，从中随机调查 400 个家长，调查方式是抽样调查，故本项错误； B.在调查的 400 个家长中，有 360 个家长持反对态度，该校只有 25
5、00 =2250 个家长持反对态度，故 本项错误； C.样本是 360 个家长对 “ 中学生骑电动车上学 ” 的态度，故本项错误； D.该校约有 90%的家长持反对态度，本项正确， 答案： D. 8.(4 分 )学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有 ( ) A. 7 盒 B. 8 盒 C. 9 盒 D. 10 盒 解析 ： 易得第一层有 4 碗，第二层最少有 2 碗，第三层最少有 1 碗，所以至少共有 7盒 . 答案： A. 9.(4 分 )如图，有以下 3 个条件： AC=AB ， ABCD ， 1=2 ，从这 3 个条件中任选 2个作为题设，另 1
6、个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是 ( ) A. 0 B. C. D. 1 解析 ： 所有等可能的情况有 3 种，分别为 ； ； ，其中组成命题是真命题的情况有： ； ； ，则 P=1， 答案： D 10.(4 分 )世界文化遗产 “ 华安二宜楼 ” 是一座圆形的土楼，如图，小王从南门点 A沿 AO 匀速直达土楼中心古井点 O 处，停留拍照后，从点 O 沿 OB 也匀速走到点 B，紧接着沿 回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心 O 的距离 s 随时间 t 变化的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 如图所示，当小王从 A 到古井点 O 的过程中， s 是 t 的一次函数
7、， s随 t的增大而减小； 当停留拍照时， t 增大但 s=0； 当小王从古井点 O 到点 B 的过程中， s 是 t 的一次函数， s随 t的增大而增大 . 当小王 回到南门 A 的过程中， s 等于半径，保持不变 . 综上所述，只有 C 符合题意 . 答案： C. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分 ) 11.(4 分 )若菱形的周长为 20cm，则它的边长是 cm. 解析 ： 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD ， 菱形 ABCD 的周长为 20cm， 边长为： 204=5 (cm). 答案： 5. 12.(4 分 )双曲线 y= 所在象限内， y
8、的值随 x 值的增大而减小，则满足条件的一个数值 k为 . 解析 ： 双曲线 y= 所在象限内， y 的值随 x 值的增大而减小， k+1 0， 解得： k -1， k 可以等于 3(答案不唯一 ). 答案： 3(答案不唯一 ). 13.(4 分 )在中国梦 我的梦演讲比赛中，将 5 个评委对某选手打分情况绘成如图的统计图，则该选手得分的中位数是 分 . 解析 ： 5 个数据分别为： 8， 8， 9， 9， 10， 位于中间位置的数为 9，故中位数为 9 分， 答案： 9. 14.(4 分 )如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点 O，绕点 O 任意转动其中一个三角尺，则与 AOD
9、始终相等的角是 . 解析 ： AOB=COD=90 ， AOD=AOB -BOD=90 -BOD ， BOC=COD -BOD=90 -BOD ， AOD=BOC . 答案： BOC . 15.(4 分 )水仙花是漳州市花，如图，在长为 14m，宽为 10m 的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为 m. 解析 ： 设小长方形的长为 x m，宽为 y m，由图可得 ， 解得 x+y=8， 每个小长方形的周长为 82=16m . 答案： 16. 16.(4 分 )已知一列数 2， 8， 26， 80. ，按此规律，则第 n 个数是 .(用含 n 的代数
10、式表示 ) 解析 ： 已知一列数 2， 8， 26， 80. ，按此规律，则第 n 个数是 3n-1， 答案： 3n-1. 三、解答题 (共 9 小题，满分 86 分 ) 17.(8 分 )先化简，再求值： (x+1)(x-1)-x(x-1)，其中 x= . 解析 ： 先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可 . 答案： 原式 =x2-1-x2+x=x-1， 当 x= 时，原式 = -1=- . 18.(8 分 )解不等式组： . 解析 ： 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 . 答案： 由 得： x 2；由 得： x 1，则不等式组的解集为： 1 x 2. 19.(8
11、分 )如图，点 C， F 在线段 BE 上， BF=EC， 1=2 ，请你添加一个条件，使 ABCDEF ，并加以证明 .(不再添加辅助线和字母 ) 解析 ： 先求出 BC=EF，添加条件 AC=DF，根据 SAS 推出两三角形全等即可 . 答案： AC=DF. 证明： BF=EC ， BF -CF=EC-CF， BC=EF ， 在 ABC 和 DEF 中 ， ， ABCDEF . 20.(8 分 )如图， ABC 中， AB=AC， A=36 ，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形 .请完成以下操作： (画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括 ABC ) (1)在图 1 中
12、画 1 条线段，使图中有 2 个等腰三角形，并直接写出这 2个等腰三角形的顶角度数分别是 度和 度； (2)在图 2 中画 2 条线段，使图中有 4 个等腰三角形； (3)继续按以上操作发现：在 ABC 中画 n 条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形 . 解析 ： (1)利用等腰三角形的性质以及 A 的度数，进而得出这 2 个等腰三角形的顶角度数； (2)利用 (1)种思路进而得出符合题意的图形； (3)利用当 1 条直线可得到 2 个等腰三角形；当 2 条直线可得到 4个等腰三角形；当 3条直线可得到 6 个等腰三角形，进而得出规律求出答案 . 答案： (1)如图 1 所
13、示： AB=AC ， A=36 ， 当 AE=BE，则 A=ABE=36 ，则 AEB=108 ，则 EBC=36 ， 这 2 个等腰三角形的顶角度数分别是 108 度和 36 度； 故答案为： 108， 36； (2)如图 2 所示： (3)如图 3 所示： 当 1 条直线可得到 2 个等腰三角形； 当 2 条直线可得到 4 个等腰三角形； 当 3 条直线可得到 6 个等腰三角形； 在 ABC 中画 n 条线段，则图中有 2n 个等腰三角形，其中有 n 个黄金等腰三角形 . 故答案为： 2n， n. 21.(8 分 )某中学组织网络安全知识竞赛活动，其中七年级 6 个班组每班参赛人数相同，学
14、校对该年级的获奖人数进行统计，得到每班平均获奖 15 人，并制作成如图所示不完整的折线统计图 . (1)请将折线统计图补充完整，并直接写出该年级获奖人数最多的班级是 班； (2)若二班获奖人数占班级参赛人数的 32%，则全年级参赛人数是 人； (3)若该年级并列第一名有男、女同学各 2 名，从中随机选取 2 名参加市级比赛，则恰好是1 男 1 女的概率是 . 解析 ： (1)共有 156=90 人获奖，然后用 90 分别减去其他 5 个班的获奖人数即可得到三班获奖人数，然后将折线统计图补充完整，并且可得到四班有 17 人获奖，获奖人数最多； (2)先计算出二班参赛人数，然后乘以 6 即可得到全
15、年级参赛人数； (3)先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出恰好是 1 男 1 女所占的结果数，然后根据概率公式求解 . 答案： (1)三班获奖人数 =615 -14-16-17-15-15=13，折线统计图如图， 该年级获奖人数最多的班级为四班； (2)二班参赛人数 =1632%=50 (人 )，所以全年级参赛人数 =650=300 (人 )； (3)画树状图为： ， 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好是 1 男 1 女占 8 种，所以恰好是 1男 1 女的概率 = =. 22.(10 分 )将一盒足量的牛奶按如图 1 所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接
16、触到点 P 时停止倒入 .图 2 是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度 (结果精确到 0.1cm).(参考数据： 1.73 ， 1.41 ) 解析 ： 根据题意得出 AP， BP 的长，再利用三角形面积求法得出 NP 的长，进而得出容器中牛奶的高度 . 答案： 过点 P 作 PNAB 于点 N， 由题意可得： ABP=30 ， AB=8cm，则 AP=4cm， BP=AB cos30=4 cm， NPAB=APBP ， NP= = =2 (cm)， 9 -2 5.5 (cm)， 答：容器中牛奶的高度为： 5.5cm. 23.(10 分 )杨梅是漳州的特色时令水果，杨梅一上市
17、，水果店的老板用 1200 元购进一批杨梅，很快售完；老板又用 2500 元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的 2 倍，但进价比第一批每件多了 5 元 . (1)第一批杨梅每件进价多少元？ (2)老板以每件 150 元的价格销售第二批杨梅，售出 80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批杨梅的销售利润不少于 320 元，剩余的杨梅每件售价至少打几折？ (利润 =售价 -进价 ) 解析 ： (1)设第一批杨梅每件进价是 x 元，则第二批每件进价是 (x+5)元，再根据等量关系：第二批杨梅所购件数是第一批的 2 倍； (2)设剩余的杨梅每件售价 y 元，由利润 =售价 -进价，根据第二批的销
18、售利润不低于 320 元，可列不等式求解 . 答案： (1)设第一批杨梅每件进价 x 元，则 2= ，解得 x=120. 经检验， x=120 是原方程的根 . 答：第一批杨梅每件进价为 120 元； (2)设剩余的杨梅每件售价打 y 折 . 则： 15080%+ 150 (1-80%)0.1y -2500320 ，解得 y7 . 答：剩余的杨梅每件售价至少打 7 折 . 24.(12 分 )阅读材料：如图 1，在 AOB 中， O=90 ， OA=OB，点 P 在 AB 边上， PEOA 于点 E， PFOB 于点 F，则 PE+PF=OA.(此结论不必证明，可直接应用 ) (1)【理解与应
19、用】 如图 2，正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC， BD 相交于点 O，点 P在 AB 边上， PEOA 于点E， PFOB 于点 F，则 PE+PF 的值为 . (2)【类比与推理】 如图 3，矩形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， AB=4， AD=3，点 P在 AB边上， PEOB 交AC 于点 E， PFOA 交 BD 于点 F，求 PE+PF的值； (3)【拓展与延伸】 如图 4， O 的半径为 4， A， B， C， D 是 O 上的四点，过点 C， D 的切线 CH， DG 相交于点 M，点 P 在弦 AB 上， PEBC 交 AC 于点 E， PFA
20、D 于点 F，当 ADG=BCH=30 时， PE+PF 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 . 解析 ： (1)易证： OA=OB， AOB=90 ，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题 . (2)易证： OA=OB=OC=0D= ，然后由条件 PEOB ， PFAO 可证 AEPAOB ， BFPBOA ，从而可得 = =1，进而求出 EP+FP= . (3)易证： AD=BC=4.仿照 (2)中的解法即可求出 PE+PF=4，因而 PE+PF 是定值 . 答案： (1)如图 2， 四边形 ABCD 是正方形， OA=OB=OC=OD ， ABC=AOB=90 . AB=
21、BC=2 ， AC=2 .OA= . OA=OB ， AOB=90 ， PEOA ， PFOB ， PE+PF=OA= . (2)如图 3， 四边形 ABCD 是矩形， OA=OB=OC=OD ， DAB=90 . AB=4 ， AD=3， BD=5 .OA=OB=OC=OD= . PEOB ， PFAO ， AEPAOB ， BFPBOA . ， . = =1. + =1.EP+FP= .PE+PF 的值为 . (3)当 ADG=BCH=30 时， PE+PF 是定值 .理由：连接 OA、 OB、 OC、 OD，如图 4. DG 与 O 相切， GDA=ABD . ADG=30 ， ABD=
22、30 .AOD=2ABD=60 . OA=OD ， AOD 是等边三角形 .AD=OA=4 . 同理可得： BC=4. PEBC ， PFAD ， AEPACB ， BFPBDA . ， . = =1. =1.PE+PF=4 . 当 ADG=BCH=30 时， PE+PF=4. 25.(14 分 )已知抛物线 l： y=ax2+bx+c(a， b， c 均不为 0)的顶点为 M，与 y轴的交点为 N，我们称以 N 为顶点，对称轴是 y 轴且过点 M 的抛物线为抛物线 l的衍生抛物线，直线 MN 为抛物线 l 的衍生直线 . (1)如图，抛物线 y=x2-2x-3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直
23、线的解析式是 ； (2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是 y=-2x2+1 和 y=-2x+1，求这条抛物线的解析式； (3)如图，设 (1)中的抛物线 y=x2-2x-3 的顶点为 M，与 y 轴交点为 N，将它的衍生直线 MN 先绕点 N 旋转到与 x 轴平行，再沿 y 轴向上平移 1个单位得直线 n， P是直线 n上的动点，是否存在点 P，使 POM 为直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)衍生抛物线顶点为原抛物线与 y 轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得， MN 解析式易得 . (2)已知
24、衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与 (1)相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式 . (3)由 N(0， -3)，衍生直线 MN 绕点 N 旋转到与 x 轴平行得到 y=-3，再向上平移 1个单位即得直线 y=-2，所以 P点可设 (x， -2).在坐标系中使得 POM 为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于 x 轴、 y 轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值 .进而我们可以先算出三 点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的
25、三种情况，易得 P 点坐标 . 答案： (1) 抛物线 y=x2-2x-3 过 (0， -3)， 设其衍生抛物线为 y=ax2-3， y=x 2-2x-3=x2-2x+1-4=(x-1)2-4， 衍生抛物线为 y=ax2-3 过抛物线 y=x2-2x-3 的顶点 (1， -4)， -4=a 1-3，解得 a=-1， 衍生抛物线为 y=-x2-3. 设衍生直线为 y=kx+b， y=kx+b 过 (0， -3)， (1， -4)， ， ， 衍生直线为 y=-x-3. (2) 衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点， 将 y=-2x2+1 和 y=-2x+1 联立，得 ，解得
26、或 ， 衍生抛物线 y=-2x2+1 的顶点为 (0， 1)， 原抛物线的顶点为 (1， -1). 设原抛物线为 y=a(x-1)2-1， y=a (x-1)2-1 过 (0， 1)， 1=a (0-1)2-1，解得 a=2， 原抛物线为 y=2x2-4x+1. (3)N (0， -3)， MN 绕点 N 旋转到与 x 轴平行后，解析式为 y=-3， 再沿 y 轴向上平移 1 个单位得的直线 n 解析式为 y=-2. 设点 P 坐标为 (x， -2)， O (0， 0)， M(1， -4)， OM 2=(xM-xO)2+(yO-yM)2=1+16=17， OP2=(|xP-xO|)2+(yO-yP)2=x2+4， MP2=(|xP-xM|)2+(yP-yM)2=(x-1)2+4=x2-2x+5. 当 OM2=OP2+MP2时，有 17=x2+4+x2-2x+5， 解得 x= 或 x= ，即 P( ， -2)或 P( ， -2). 当 OP2=OM2+MP2时，有 x2+4=17+x2-2x+5，解得 x=9，即 P(9， -2). 当 MP2=OP2+OM2时，有 x2-2x+5=x2+4+17，解得 x=-8，即 P(-8， -2). 综上所述，当 P 为 ( ， -2)或 ( ， -2)或 (9， -2)或 (-8， -2)时， POM 为直角三角形 .
