1、考研数学（数学一）模拟试卷 500及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 |x|1 时 f(x) 展开成收敛于它自身的幂级数 f(x) （分数：2.00）A.a n2 a n1 a n B.a n3 a n C.a n4 a n2 a n D.a n6 a n 3.当 x0 时，下列 3个无穷小 a （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，4.设 f(x)是以 T为周期的连续函数(若下式中用到 f(x)，则设 f(x)存在)，则以下结论中不正确的是
2、（分数：2.00）A.f(x)必以 T为周期B.必以 T为周期C.必以 T为周期D.必以 T为周期5.设 S为球面 x 2 y 2 z 2 R 2 (常数 R0)的上半部分，方向为上侧则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 a 1 ，a 2 ，a s ，是线性方程组 （分数：2.00）A.1或 2B.2或 3C.D.1.7.已知 P 1 AP （分数：2.00）A.( 2 ， 1 ， 3 )B.( 1 ， 2 一 3 ， 3 1 )C.(3 1 ， 2 3 ， 2 一 3 )D.(2 2 ，3 3 ， 1 )8.将一枚均匀硬币连续抛 n次
3、，以 A表示“正面最多出现一次”，以 B表示“正面和反面各至少出现一次”，则（分数：2.00）A.n2 时，A 与 B相互独立B.n2 时，C.n2 时，A 与 B互不相容D.n3 时，A 与 B相互独立9.设总体 XN(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是 （分数：2.00）_二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设空间曲线 L : 其中常数 a0则空间第一型曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 a n x(1x) n1 dx,则 （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y2y一 3yx
4、(e x 1)的通解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 yy(x)由方程 x 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 x i 0，i1，2，3，4则行列式 D （分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 X在(1，2)上服从均匀分布，在 Xx 条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.已知ABC 的面积为 S，三边长分别为 a，b，c在该三角形内求一点 P，使该点到ABC 三边的距离的乘积为最大并求出乘积最
5、大时的这三个距离及此乘积的最大值（分数：2.00）_18.设有向曲面 S：zx 2 y 2 ，x0，y0，z1，法向量与 z轴正向夹角为钝角求第二型曲面积分 I （分数：2.00）_19.讨论常数 a的值，确定曲线 yae x 与 y1x 的公共点的个数（分数：2.00）_20.设 (x，y，z) | x 2 y 2 z 2 R 2 ，R0，求三重积分 I （分数：2.00）_21.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)2，且函数 z 满足 （分数：2.00）_设 (a 1 ，a 2 ，a n ) T ，(b 1 ，b 2 ，b n ) T 为非零正交向量 A （分数：6.00）(1).|
6、A|；（分数：2.00）_(2).A n ；（分数：2.00）_(3).A 1 .（分数：2.00）_(21)设向量组(i) 1 (2，4，一 2) T ， 2 (一 l，a 一 3，1) T ，a 3 (2，8，b1) T ；(ii) 1 一(2，b5，一 2) T ， 2 (3，7，a 一 4) T ， 3 (1，2b 十 4，一 1) i 记 A( 1 ， 2 ， 3 )，B( 1 ， 2 ， 3 ) 问（分数：4.00）(1).a，b 为何值时，A 等价于 B，a，b 为何值时，A 和 B不等价；（分数：2.00）_(2).a，b 为何值时，向量组(i)等价于(ii)，a，b 为何值时
7、，向量组(i)，(ii)不等价（分数：2.00）_二维随机变量(X，Y)在(1，1)，(1，一 1)，(0，0)三点组成的三角形区域 D上服从二维均匀分布，令 U（分数：4.00）(1).讨论 U，V 是否独立；（分数：2.00）_(2).求 U与 Y的相关系数（分数：2.00）_设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取 n只在时刻 t0 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间 T 0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效（分数：4.00）(1).求一只器件在时间 T 0 未失效的概率；（分数：2.00）_(2).求 的最大似然估计.（分数：2
8、.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 500答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 |x|1 时 f(x) 展开成收敛于它自身的幂级数 f(x) （分数：2.00）A.a n2 a n1 a n B.a n3 a n C.a n4 a n2 a n D.a n6 a n 解析：3.当 x0 时，下列 3个无穷小 a （分数：2.00）A.，B.，C.，D.， 解析：4.设 f(x)是以 T为周期的连续函数(若下式中用到 f(x)，则设 f(x)存
9、在)，则以下结论中不正确的是（分数：2.00）A.f(x)必以 T为周期B.必以 T为周期 C.必以 T为周期D.必以 T为周期解析：5.设 S为球面 x 2 y 2 z 2 R 2 (常数 R0)的上半部分，方向为上侧则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：6.设 a 1 ，a 2 ，a s ，是线性方程组 （分数：2.00）A.1或 2 B.2或 3C.D.1.解析：7.已知 P 1 AP （分数：2.00）A.( 2 ， 1 ， 3 )B.( 1 ， 2 一 3 ， 3 1 )C.(3 1 ， 2 3 ， 2 一 3 ) D.(2
10、2 ，3 3 ， 1 )解析：8.将一枚均匀硬币连续抛 n次，以 A表示“正面最多出现一次”，以 B表示“正面和反面各至少出现一次”，则（分数：2.00）A.n2 时，A 与 B相互独立B.n2 时，C.n2 时，A 与 B互不相容D.n3 时，A 与 B相互独立 解析：9.设总体 XN(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是 （分数：2.00）_解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设空间曲线 L : 其中常数 a0则空间第一型曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解
11、析： 平面 xy0 经过球面x 2 y 2 z 2 a 2 的中心，所以 L是一个半径为 a的圆周今建立它的参数方程将 L投影到 xOz平面上去，为此，消去 y，得 所以 L在 xOz平面上的投影是一个椭圆引入此椭圆的参数方程： x ，0t2 由于 L在平面 xy0 上，所以 L的参数方程为 x 于是 ds 所以 11.设 a n x(1x) n1 dx,则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：121n 2）解析：解析：a n 12.微分方程 y2y一 3yx(e x 1)的通解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：该常系数线性微
12、分方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 2r 一 3(r 一 1)(r3)0， 特征根 r 1 1，r2一 3，对应的齐次方程的通解为 YC 1 e x C 2 e -3x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 原给非齐次微分方程 y2y一 3yx(e x 1)xe x x， 可分解成两个非齐次方程 y 2 2y一 3yxe x 与 y2y一 3yx， 用常用的待定系数法，可求得各自的特解分别为 所以原给方程的通解为 y 13.设 yy(x)由方程 x 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：将 x0 代入 x 有 y1再将所给方程两边对 x求导
13、，得 1 于是 y将 x0，y1 代入，得14.设 x i 0，i1，2，3，4则行列式 D （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 将 D的第 1行的一 l倍加到 2，3，4 行，再将第 i列(i2，3，4)的 倍加到第 1列，得 D15.已知随机变量 X在(1，2)上服从均匀分布，在 Xx 条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：21n 2）解析：解析：由题设知 所以(X，Y)的联合概率密度为 F(x，y) 所以 E(XY 2 ) 三、解答题(总题数：10，分数：28.00)16.
14、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.已知ABC 的面积为 S，三边长分别为 a，b，c在该三角形内求一点 P，使该点到ABC 三边的距离的乘积为最大并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 P到 a，b，c 三边的距离分别为 x，y，z于是 S，即 axbycz2S0 令 F(x，y，z，)xyz(axbycz 一 2S)，由拉格朗日乘数法，令 解得 当点 P在三角形的边上时，xyz0而点 P在三角形内部时，xyz0所以当点 P在三角形内部时，乘积 xyz有最大值所以当 (x，y，z) 时，xyz 最大，最大值为 )解析
15、：18.设有向曲面 S：zx 2 y 2 ，x0，y0，z1，法向量与 z轴正向夹角为钝角求第二型曲面积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 法一 投影法：S 在 yOz平面上的有向投影为 D 1 (y，z)|y 2 z1，y0，法向量向前； S 在 xOy平面上的有向投影为 D 2 (x，y)|0x 2 y 2 1，x0，yO)，法向量向下 所以 I 法二 先化成第一型曲面积分再计算有向曲面 S：zx 2 y 2 ，z0，y0，z1，它与 z轴正向夹角为钝角的法向量 n(2x，2y，一 1)， n 又因 dS ，S 在 xOy平面上的投影区域 D(x，y)|0x 2 y 2 1
16、,x0,y0)，于是 )解析：19.讨论常数 a的值，确定曲线 yae x 与 y1x 的公共点的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 a0，则 yae x 成为 y0，它与 y1x 有且仅有 1个交点 x 0 一 1，y 0 0 以下设 a0令 f(x)ae x 一 1一 x，f(x)ae x 一 1 若 a0，则 f(x)0f()0，f()0，存在唯一公共点 若 0a1，则由 f(x)0 得唯一驻点 x 0 又 f(x)ae x 0所以有且仅有 2个公共点 若 a1，则由 f(x)0 得唯一驻点 x 0 )解析：20.设 (x，y，z) | x 2 y 2 z 2 R 2 ，R
17、0，求三重积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将被积函数展开，并注意到 关于 yOz平面、zOx 平面、xOy 平面都对称，于是有 所以 )解析：21.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)2，且函数 z 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 于是原方程化为 (1 一 u 2 )f(u)2f(u)u， 其中 u ，初始条件为 f(0)2解上述方程，得 f(u) 再由初始条件 f(0)2，求出 C1所以 f(u) 于是 z )解析：设 (a 1 ，a 2 ，a n ) T ，(b 1 ，b 2 ，b n ) T 为非零正交向量 A （分数：6.00）(1).|A|
18、；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：， 正交， T 0 |A| )解析：(2).A n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AE T ， A n )解析：(3).A 1 .（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 (E T )E2 T 2E2 T E2AE， 则 A 2 一2AA(A 一 2E)一 E，A(2EA)E， 故 A可逆，且 A -1 2EA2E-E 一 T E一 T )解析：(21)设向量组(i) 1 (2，4，一 2) T ， 2 (一 l，a 一 3，1) T ，a 3 (2，8，b1) T ；(ii) 1 一(2，b5，一 2) T ， 2 (3，7，
19、a 一 4) T ， 3 (1，2b 十 4，一 1) i 记 A( 1 ， 2 ， 3 )，B( 1 ， 2 ， 3 ) 问（分数：4.00）(1).a，b 为何值时，A 等价于 B，a，b 为何值时，A 和 B不等价；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB r(A)r(B)将 A，B 合并，一起作初等行变换， )解析：(2).a，b 为何值时，向量组(i)等价于(ii)，a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)不等价（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(i)(ii)向量组可以相互表出 ( 1 ， 2 ， 3 )x 1 ，( 1 ， 2 ， 3 )y i (i1，2，3)均有解
20、 )解析：二维随机变量(X，Y)在(1，1)，(1，一 1)，(0，0)三点组成的三角形区域 D上服从二维均匀分布，令 U（分数：4.00）(1).讨论 U，V 是否独立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y) 求(U，V)的联合分布列，)解析：(2).求 U与 Y的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先计算 Cov(U，Y)E(UY)一 EUEY，其中 故 Cov(U，Y)0，所以 )解析：设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取 n只在时刻 t0 时投入独立寿命试验，试验进
21、行到预订时间 T 0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效（分数：4.00）(1).求一只器件在时间 T 0 未失效的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 T的分布函数为 F(t)，则 一只器件在 t0 时投入试验，则在时间 T 0 以前失效的概率为 PTT 0 )F(T 0 ) ， 故在时间 T 0 未失效的概率为 PTT 0 )1 一 F(T 0 ) )解析：(2).求 的最大似然估计.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑事件 A试验直至时间 T 0 为止，有 k只器件失效，n-k 只未失效的概率由于各器件的试验是相互独立的，因此事件 A的概率为 这就是所求的似然函数取对数得 得 nk 解得 的最大似然估计为 )解析：
