1、考研数学（数学一）模拟试卷 498 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 Zf(x，y)在点 O(0，0)的某邻域内有定义，向量 与 表示相应的方向导数 （分数：2.00）A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件3.设 ，则 （分数：2.00）A.2B.4C.6D.84.设 y(x)是初值问题 的解，则 （分数：2.00）A.一 1 一 b2aB.一 1b 一 2aC.一 1 一 b 一 2aD.一 1
2、b2a5.空间 n 个点 P i (x i ，y i ，z i )，i1，2，n，n4矩阵 （分数：2.00）A.r1B.r2C.r3D.1r36.设 E 是 n 阶单位阵EA 是 n 阶可逆阵，则下列关系式中不恒成立的是（分数：2.00）A.(EA)(EA) 2 (EA) 2 (EA)B.(EA)(EA) T (EA) T (EA)C.(EA)(EA) 1 (EA) 1 (EA)D.(EA)(EA) * (EA) * (EA)7.设 A （分数：2.00）A.AB，CDB.AD，BCC.AC，BDD.A，B，C，D 中没有相似矩阵8.设 X 为非负的连续型随机变量且期望存在，对任意 t 0，
3、下列正确的是 （分数：2.00）A.B.C.D.9.网球男子单打决赛由纳达尔与费德勒进行比赛，比赛采用 7 局 4 胜制，假设每局比赛相互独立按照以往的胜率统计每局比赛纳达尔战胜费德勒的概率为 06，则纳达尔以 4：2 战胜费德勒的概率为（分数：2.00）A.1506 4 04 2 B.1006 3 04 2 C.1506 3 04 2 D.1006 4 04 2 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_11.空间曲线 在 xOy 平面上的投影在 x0 处围成的区域记为 D，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 满足初始条件 （分
4、数：2.00）填空项 1:_13. 1. （分数：2.00）填空项 1:_14.直线 （分数：2.00）填空项 1:_15.独立重复试验中事件 A 发生的概率为 1/3，若随机变量 x 表示事件 A 第一次发生时前面已经发生的试验次数，则 EX 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设当 x一 1，1时 f(x)连续，F(x) （分数：4.00）(1).若 f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数；（分数：2.00）_(2).若 f(x)0(1x1)，证明：曲线 yF(x)在区间一 1，1上是凹的（
5、分数：2.00）_17.设 0xy，a0，b0证明： （分数：2.00）_设 a n （分数：4.00）(1).证明：a n1 a n (n1)，且 （分数：2.00）_(2).求幂级数 （分数：2.00）_18.设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)0，且表达式 xy(1y)一 f(x)ydxf(x)x 2 ydy 为某可微函数 u(x，y)的全微分求 f(x)及 u(x，y)（分数：2.00）_19.设平面区域 D 用极坐标表示为 D= 求二重积分 （分数：2.00）_回答下列问题（分数：4.00）(1).设 A 是 n 阶方阵，AO 是否是 A 2 O 的充分必要条件，说明理由；（分数：
6、2.00）_(2).设 A 是 2 阶方阵，证明 A 3 O 的充分必要条件是 A 2 O（分数：2.00）_回答下列问题（分数：4.00）(1).A 是竹阶实对称阵 1 ， 2 ， n 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， n 是 A 的分别对应于 1 ， 2 ， n 的标准正交特征向量证明：A 可表示成 n 个秩为 1 的实对称矩阵的和；（分数：2.00）_(2).设 A （分数：2.00）_20.设随机变量 X 的概率分布为 PX1一 PX 一 2 （分数：2.00）_设总体 X 的概率密度 f(x) （分数：6.00）(1).若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，l 200，
7、求 的矩估计值；（分数：2.00）_(2).若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，1 200，求 的最大似然估计值；（分数：2.00）_(3).若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，则 的最大似然估计值唯一吗?（分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 498 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 Zf(x，y)在点 O(0，0)的某邻域内有定义，向量 与 表示相应的方向导数 （分数：2.00）A.充分条件而非必要条件
8、B.必要条件而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件解析：3.设 ，则 （分数：2.00）A.2B.4C.6 D.8解析：4.设 y(x)是初值问题 的解，则 （分数：2.00）A.一 1 一 b2aB.一 1b 一 2aC.一 1 一 b 一 2a D.一 1b2a解析：5.空间 n 个点 P i (x i ，y i ，z i )，i1，2，n，n4矩阵 （分数：2.00）A.r1B.r2C.r3D.1r3 解析：6.设 E 是 n 阶单位阵EA 是 n 阶可逆阵，则下列关系式中不恒成立的是（分数：2.00）A.(EA)(EA) 2 (EA) 2 (EA)B.(EA)(EA)
9、T (EA) T (EA) C.(EA)(EA) 1 (EA) 1 (EA)D.(EA)(EA) * (EA) * (EA)解析：7.设 A （分数：2.00）A.AB，CDB.AD，BC C.AC，BDD.A，B，C，D 中没有相似矩阵解析：8.设 X 为非负的连续型随机变量且期望存在，对任意 t 0，下列正确的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：9.网球男子单打决赛由纳达尔与费德勒进行比赛，比赛采用 7 局 4 胜制，假设每局比赛相互独立按照以往的胜率统计每局比赛纳达尔战胜费德勒的概率为 06，则纳达尔以 4：2 战胜费德勒的概率为（分数：2.00）A.1506 4 04 2 B
10、.1006 3 04 2 C.1506 3 04 2 D.1006 4 04 2 解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln(322)）解析：解析：将|2xx 2 |去掉绝对值符号，写成分段表达式为 因此 积分 的上限x0 是瑕点，则 积分 的下限 x0 和上限 x2 是瑕点， 11.空间曲线 在 xOy 平面上的投影在 x0 处围成的区域记为 D，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：160256）解析：解析：由 两式相减，得 x 2 y 2 -8z0，即 z 于是得投影曲线方程为 4,化
11、简即得 (x 2 y 2 ) 2 32(x 2 一 y 2 ) 化成极坐标，上述方程成为 r 2 32cos 2则 12.微分方程 满足初始条件 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2xtan(x2)）解析：解析：由全微分知 原微分方程可写成 令 u，上式化成 du 分离变量dx，两边积分 arctan13. 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1）解析：解析：14.直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：将直线 L 1 的标准方程(点向式方程)改为交面式方程 L 1 和 L 2 相交于一点四个平面交于一
12、点方程组 有唯一解r(A)r(A|b)3 对(A|b)作初等行变换，得 15.独立重复试验中事件 A 发生的概率为 1/3，若随机变量 x 表示事件 A 第一次发生时前面已经发生的试验次数，则 EX 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：法一 X 的所有可能取值为 0，1，2，其概率分布为 PXk) ，k0，1，2， 由期望的定义有 EX 法二 若记 Y 为“A 第一次发生时的试验次数”，则 Y 服从参数为 的几何分布，又随机变量 XY1，则三、解答题(总题数：10，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设当 x一 1
13、，1时 f(x)连续，F(x) （分数：4.00）(1).若 f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 x一 1，1时，f(x)为连续的偶函数，则 )解析：(2).若 f(x)0(1x1)，证明：曲线 yF(x)在区间一 1，1上是凹的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 0xy，a0，b0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 ab，则欲证之式成为当 0xy 时， 此式显然是正确的若 ab，将欲证的不等式两边同时提出因子 a，于是成为要证 即要去证明：当 0xy 时， 令 即要去证明：在区间(0，)上 f(
14、x)为严格单调减函数采用求导的方法，有 f(x) )解析：设 a n （分数：4.00）(1).证明：a n1 a n (n1)，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，0tan x1，且仅在 x0 与 x 两处等号成立，所以 又 且 a n a n2 ，所以 2a n a n a n2 ，从而 因 2a n2 a n a n2 ，从而 ,于是 )解析：(2).求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()有 ，所以 发散又 a n a n2 ，并由已证 ，可知 所以由莱布尼茨定理知 收敛，所以 条件收敛从而知幂级数 )解析：18.设 f(x)具有一阶连续导数，f(0
15、)0，且表达式 xy(1y)一 f(x)ydxf(x)x 2 ydy 为某可微函数 u(x，y)的全微分求 f(x)及 u(x，y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知存在可微函数 u(x，y)，使 du(x，y)xy(1y)一 f(x)ydxf(x)x 2 ydy， 于是知 又因 f(x)具有一阶连续导数，故 连续且相等，于是有 即 f(x)f(x)x，此为一阶线性微分方程，结合条件 f(0)0 解得 f(x)x 一 1e -x 所以 du(x，y)xy(1y)一 y(x 一 1e -x )dx(x1e -x x 2 y)dy (xy 2 yye -x )dx(x1e -x x
16、 2 y)dy 由 du(x，y)的表达式求 u(x，y)有多种方法 法一 凑原函数法此方法有技巧性，要求读者对用微分形式不变性求微分相当熟练 所以 (C 为任意常数). 法二 偏积分法由 du(x，y)的表达式知 所以 其中 (y)对 y 可微由题设知 于是有 则 (y)一 1，即(y)yC(C 为任意常数) 所以 (C 为任意常数) 法三 用第二型曲线积分求原函数由所给的 du(x，y)知，它的 中的 P(x，y)与 Q(x，y)在全平面具有连续的一阶偏导数且 故可以用第二型曲线积分，取起点为(0，0)较方便，计算 由于此曲线积分与路径无关，取折线(0，0)(0，y)(x，y)，于是 )解
17、析：19.设平面区域 D 用极坐标表示为 D= 求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，区域 D 为阴影部分，为清楚起见，4 个圆只画出有关的 4 个半圆 D关于直线 yx 对称，交点 A，B，C 的极坐标分别为 )解析：回答下列问题（分数：4.00）(1).设 A 是 n 阶方阵，AO 是否是 A 2 O 的充分必要条件，说明理由；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因 AO，则 A 2 O，故 AO 是 A 2 O 的充分条件 由反例：A O，但 A 2 )解析：(2).设 A 是 2 阶方阵，证明 A 3 O 的充分必要条件是 A 2 O（分数：2.00）
18、_正确答案：(正确答案：因 A 2 O，则 A 3 O，故 A 2 O 是 A 3 O 的充分条件 现证 A 3 OA 2 O 因 A 3 O，故|A 3 |一|A| 3 0，即|A|0，则 A 是不可逆矩阵 故 r(A)2，即 r(A)O 或，r(A)1 当 r(A)0 时，A 3 0A 2 0； 当 r(A)1 时，AO，A 的两列成比例设 A (1，k)0， A 2 其中 0，若 0 已证 A 2 O 由 A 3 A 2 AAA 2 A 2 O，0，得证 A 2 O. 故当 A 是 2 阶方阵时，A 2 O )解析：回答下列问题（分数：4.00）(1).A 是竹阶实对称阵 1 ， 2 ，
19、 n 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， n 是 A 的分别对应于 1 ， 2 ， n 的标准正交特征向量证明：A 可表示成 n 个秩为 1 的实对称矩阵的和；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 Q( 1 ， 2 ， 1 )，则 Q 是标准正交矩阵且 其中 )解析：(2).设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|E 一 A| 故 A 有特征值 1 一 4， 2 2， 3 5 当 一 4时，一 4E 一 A 当 2 时，2EA 当 5 时，5EA 故 A )解析：20.设随机变量 X 的概率分布为 PX1一 PX 一 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Fz(z)
20、PZz)PXYz PX1PXYz|XIPX2PXYz|X2 Px 一 1PYz|X1Px2PY |X2 )解析：设总体 X 的概率密度 f(x) （分数：6.00）(1).若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，l 200，求 的矩估计值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EX ，由 EX 得 的矩估计值 )解析：(2).若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，1 200，求 的最大似然估计值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于总体的样本值 l 000，1 100，1 200，似然函数 L() 由于 f()|1 000-|1 100-|1 200 一 |在 1 100 时取得最小值，则 L()取得最大值，即 的最大似然估计值 )解析：(3).若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，则 的最大似然估计值唯一吗?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于总体的样本值 1 000，1 100，似然函数 L() )解析：
