1、考研数学（数学一）模拟试卷 496 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 g(x)在 x0 的某邻域内连续且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值D.f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定3.设 （分数：2.00）A.在区间(，0)内是严格单调增，在(0，)内严格单调减B.在区间(，0)内是严格单调减，在(0，)内严格单调增C.在区间(，0)与(0，)内都是
2、严格单调增D.在区间(，0)与(0，)内都是严格单调减4.设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可微D.可微5.设 f(x)在 xx 0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx 0 处 f(x)存在，则 （分数：2.00）A.充分必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分条件而非必要条件D.既非充分又非必要条件6.设 A，B 是 n 阶实对称可逆矩阵则下列关系错误的是（分数：2.00）A.A，B 等价B.AB，BA 相似C.A，B 合同D.A 2 ，B 2 合同7.设 A 是 3 阶矩阵， 1 (1，2，一 2) T ， 2 (2，1，一 1) T ， 3 (1，1，t
3、) T 是非齐次线性方程组 Axb 的解向量，其中 b(1，3，一 2) T ，则（分数：2.00）A.t一 1 时，必有 r(A )1B.t一 1 时，必有 r(A )2C.t一 1 时，必有 r(A )1D.t一 1 时，必有 r(A )28.设 XN(， 2 )，F(x)为其分布函数，0，则对于任意实数 a，有（分数：2.00）A.F(一 a)F(A )1B.F(一 a)F(A )1C.F(一 a)F(A )1D.F( 一 a)F(a)9.甲乙两人约定在 812 点某地会面，设两人 8 点后 X 与 Y(小时)到达会面地，两人到达时间相互独立且均服从0，4上的均匀分布，则先到者的平均等待
4、时间为（分数：2.00）A.1/3B.2/3C.1D.4/3二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)cos 2015 x， （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.函数 f(x，y)39x 一 6y4x 2 一 5y 2 2xyx 3 2xy 2 一 y 3 在点(1，一 1)展开至 n2 的泰勒公式为 f(x，y) 1R2，其中余项 R 2 2（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 ABAB，其中 B （分数：2.00）填空项 1:_15.若 XN(1，
5、4)，则 D(x 2 一 2X) 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 D(x，y)|x|2，|y|2，求二重积分 （分数：2.00）_18.求 yy一 2ymine x ，1)的通解（分数：2.00）_19.设有向曲面 S 为锥面 的下侧，且介于 z1 与 z4 之间，f(x，y，z)为连续函数，求第二型曲面积分 （分数：2.00）_20.设 f(x)在闭区间0，1上连续， （分数：2.00）_回答下列问题（分数：4.00）(1).求幂级数 （分数：2.00）_(2).求数项级数 （分数：
6、2.00）_已知 1 ， 2 及 1 ， 2 均是 3 维线性无关向量组（分数：4.00）(1).若 不能由 1 ， 2 线性表出，证明 1 ， 2 ， 线性无关（分数：2.00）_(2).证明存在 3 维向量 ， 不能由 1 ， 2 线性表出，也不能由 1 ， 2 线性表出（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )x T ，且|A|1B.F(一 a)F(A )1C.F(一 a)F(A )1 D.F( 一 a)F(a)解析：9.甲乙两人约定在 812 点某地会面，设两人 8 点后 X 与 Y(小时)到达会面地，两人到达时间相互独立且均服从0，4上的均匀分布，则先到者的平均
7、等待时间为（分数：2.00）A.1/3B.2/3C.1D.4/3 解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)cos 2015 x， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：a 100 11.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 由初始条件 知，在初值 x0 附近 y0，以 统乘原方程，得 此为伯努利方程令 u ，原方程化为 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 所以 再将初始条件 y(0)12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：取对数化为 n 项之和1
8、3.函数 f(x，y)39x 一 6y4x 2 一 5y 2 2xyx 3 2xy 2 一 y 3 在点(1，一 1)展开至 n2 的泰勒公式为 f(x，y) 1R2，其中余项 R 2 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：x 0 l，y 0 一 1，则 f(1，一 1)19， f x (x，y)98x2y3x 2 2y 2 ， f x (1，一 1)20， f x (x，y)一 610y2x4xy 一 3y 2 ， f x (1，一 1)一 1， f xx (x，y)86x， f xx (1，一 1)14， f xy (x，y)24y， f xy (1，一
9、 1)一 2， f yy (x，y)一 104x 一 6y， f yy (1，一 1)0， 所以 f(x，y)在点(1，一 1)处的 2 阶泰勒公式为 2 阶泰勒公式的余项 14.设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 ABAB，其中 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1/16）解析：解析：由题设，ABAB，(AE)BAEE，(AE)(E 一 B)E，则15.若 XN(1，4)，则 D(x 2 一 2X) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：32）解析：解析：由题意，易知 (0，1)，则 故 D(X 2 一 2X)D(X 2 一 2X1)D(X 一 1
10、) 2 三、解答题(总题数：10，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设 D(x，y)|x|2，|y|2，求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 关于 X 轴对称，关于 y 轴也对称，被积函数 f(x，y)|x 2 y 2 一 1|既是 x 的偶函数，也是 y 的偶函数取平面区域 D 1 (x，y)|0x2，0y2)，由偶函数及相应的对称性的公式，有 再将 D 1 分成两块(如图)： G 1 (x，y)|(x，y)D 1 且 x 2 y 2 1，G 2 (x，y)|(x，y)D 1 且 x 2 y 2 1， 于是 采用极坐
11、标： 所以 )解析：18.求 yy一 2ymine x ，1)的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 yy2ymine x ，1的右边写成分段表达式：yy一 2y 分别解之对于 yy一 2ye x ，特征方程为 r 2 r 一 2(r2)(r1)，对应的齐次微分方程的通解为 YC 1 e 2x C 2 e x 令非齐次微分方程的一个特解为 y1 * Axe x ，由待定系数法可求得 y1 * xe x 故相应非齐次微分方程的通解为 yC 1 e 2x C 2 e x (x0) 对于yy一 2yl，容易求得通解为 yC 3 e 2x C 4 e x 一 (x0) 为使所得到的解在 x
12、0 处连续且一阶导数连续，则 C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 之间应满足 解得 C 3 从而得原方程的通解为 )解析：19.设有向曲面 S 为锥面 的下侧，且介于 z1 与 z4 之间，f(x，y，z)为连续函数，求第二型曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 下侧的单位法向量记为 n(cos ，COS ，COS ) 所给曲面可写为 x 2 y 2 一 z 2 0(1z4)，法向量 n(2x，2y，一 2z)， )解析：20.设 f(x)在闭区间0，1上连续， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：回答下列问题（分数：4.00）(1).求幂级数 （分数：2
13、.00）_正确答案：(正确答案：令 ux 2 ，化为 u 的幂级数 易知 所以收敛半径 R1，收敛区间为(一 1，1)回到原给幂级数，收敛半径也是 1，收敛区间也是(一 1，1)当 x1 时，易知原幂级数收敛，所以收敛域为一 1，1 在收敛域一 1，1上，令其和函数为 在区间(一 1，1)内，令 因此，当 x(1，1)时， )解析：(2).求数项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于幂级数的和函数 S(x)在其收敛域上为连续函数，所以由()得到的 S(x)的表达式，有 )解析：已知 1 ， 2 及 1 ， 2 均是 3 维线性无关向量组（分数：4.00）(1).若 不能由 1 ，
14、 2 线性表出，证明 1 ， 2 ， 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 1 k 2 2 k 3 0，其中 k 3 0(若 k 3 0，则 )解析：(2).证明存在 3 维向量 ， 不能由 1 ， 2 线性表出，也不能由 1 ， 2 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 是两个 3 维向量，不可能表出所有 3 维向量， 1 ， 2 ，也一样若 不能由 1 , 2 线性表出，也不能由 1 ， 2 线性表出，则 即为所求 现设 1 不能由 1 ， 2 线性表出，但可由 1 ， 2 线性表出，设为 1 x 1
15、 1 x 2 2 ； 设 2 不能由 1 ， 2 表出，但可由 1 ， 2 线性表出，设 2 y 1 1 y 2 2 ，则向量 1 2 既不能由 1 ， 2 线性表出，也不能由 1 ， 2 线性表出，向量 即为所求 因若 1 2 k 1 1 k 2 2 ，则 1 2 (k 1 一 y 1 ) 1 (k 2 一 y 2 ) 2 ，这和 1 不能由线性表出矛盾(或 2 1 (k 1 一 x 1 ) 1 (k 2 x 2 ) 2 ,这和 2 不能由 1 ， 2 线性表出矛盾)解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )x T ，且|A|0（分数：4.00）(1).证明：存在 n 维列向量 0
16、，使得 0 T A 0 0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 有特征值 i ，i0，1，2，n 一 1，则 )解析：(2).设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()可知先求 A 的特征值 (4)( 2 一 7122)(4)( 一 2)( 一 5) 得 A 的负特征值 0 一 4由 ( 0 E 一 A)X(一 4E 一 A)X0 )解析：设(X，Y)的联合概率密度为 （分数：4.00）(1).求 ZX 一 2Y 的概率密度；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：法一 分布函数法 由分布函数的定义 F z (z)PZz)PX 一 2Yz，可知当 z一 1 时，F z
17、 (z)0； 当一 1x0 时，积分区域如图(a)所示： 当 0z1 时，积分区域如图(b)所示： F z (z)PX 一 2Yz)1 一 PX 一 2Yz 当 z1 时，F z (z)1 综上， 法二 公式法 概率密度非零区域 则 )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：法一 为求 在 0y1 条件下， , 当 所以 法二 利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布 条件 Y 等价于在直线 AB 上随机投点，再要求x d2202 等价于范围缩小到 AC 上随机投点，如图所示， 所以 )解析：设 X 1 ，X 2 ,X 5 是总体 XN(0,2 2 )的简单随机样本 （分数：6.00）(1).令随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X 1 ，X 2 ，X 5 是总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，由 得 )解析：(2).求随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).给定 a(a05)，常数 c 满足 PZca，随机变量 UF(2，1)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
