1、考研数学（数学一）模拟试卷 492 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可偏导C.可偏导但不可微D.可微4.点 M(2，1，一 1)到直线 L： 的距离为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设幂级数 在 x=一 1 处收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不能确定6.设 A，B 为 n
2、 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 B 2 ，则 ABB.矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等C.若 A，B 的特征值相同，则 ABD.若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化7.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，令向量组(I)： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n 若向量组(1I)线性相关，则( )（分数：2.00）A.向量组(I)与向量组()都线性相关B.向量组(I)线性相关C.向量组()线性相关D.向量组(I)与(
3、)至少有一个线性相关8.设 P(A|B)=P(B|A)= （分数：2.00）A.事件 A，B 独立且 P(A+B)=B.事件 A，B 独立且 P(A+B)=C.事件 A，B 不独立且 P(A+B)=D.事件 A，B 不独立且 P(A+B)=9.设连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)= - x f(t)dt，则对任意常数a0，P|X|a为( )（分数：2.00）A.22F(a)B.1 一 F(a)C.2F(a)D.2F(a)一 1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)连续，且 f(0)=0，f(0)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.过
4、点 A(3，2，1)且平行于 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_12.设 D：(x 2 +y 2 ) 2 4(x 2 一 y 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.平面 ：Ax+By+z+D=0 被柱面 x 2 +4y 2 =4 所截得的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单随机样本，令 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤。（分数：2.00）_17.设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y一 y=(46x)e -x 的一个解，且 （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得 2 0 1 f(x)dx=f(0)+f(1)+ （分数：2.00）_19.设 y=f(x)= （分数：2.00）_20.求曲面 z=x 2 +y 2 +1 在点 M(1，一 1，3)的切平面与曲面 z=x 2 +y 2 所围成区域的体积（分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 （分数：2.00）_23.设 =
6、(1，1，一 1) T 是 A= （分数：2.00）_24.设 X 的概率密度为 （分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 492 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析： 因为 f(00)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点； 因为 f(20)=0，f
7、(2+0)=一，所以 x=2 为第二类间断点；3.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可偏导C.可偏导但不可微 D.可微解析：解析：当(x，y)(0，0)时，0|f(x，y)|=|x|. 由夹逼定理得 =0=f(0，0)，从而f(x，y)在(0，0)处连续，(A)不对； 因为4.点 M(2，1，一 1)到直线 L： 的距离为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：显然 M 0 (1，0，1)为直线 L 上一点，直线 L 的方向向量为 s=1，一 1，01，2，一 1=1，1，3， 5.设幂级数 在 x=一 1 处收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收
8、敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性不能确定解析：解析：令 3x+1=t，则级数 当 t=-2 时收敛，故级数 的收敛半径 R2，因为 1R，所以当 t=1 时，级数 绝对收敛，即级数6.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 B 2 ，则 ABB.矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等C.若 A，B 的特征值相同，则 ABD.若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化 解析：解析：由 AB 得 A，B 的特征值相同，设为 1 ， 2 ， n ,且存在可逆矩阵 P 1 ，使得P 1 -1 AP 1 =B，即 A=P 1 BP 1 -1
9、 ；因为 A 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 2 ，使得 P 2 -1 AP 2 = 即 A= ，于是有 7.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，令向量组(I)： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n 若向量组(1I)线性相关，则( )（分数：2.00）A.向量组(I)与向量组()都线性相关B.向量组(I)线性相关C.向量组()线性相关D.向量组(I)与()至少有一个线性相关 解析：解析：当向量组(I)线性相关时，r(A)n，由 r(AB)r(A)得 r(AB)n，即向量
10、组()线性相关； 同理，当向量组()线性相关时，r(B)n，由 r(AB)r(B)得 r(AB)n，即向量组()线性相关，应选(D)8.设 P(A|B)=P(B|A)= （分数：2.00）A.事件 A，B 独立且 P(A+B)=B.事件 A，B 独立且 P(A+B)=C.事件 A，B 不独立且 P(A+B)= D.事件 A，B 不独立且 P(A+B)=解析：解析：由 P(A|B)=P(B|A)= 得 P(A)=P(B)， 因为 P(AB)P(A)P(B)，所以 A，B 不独立 故 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=9.设连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x
11、)= - x f(t)dt，则对任意常数a0，P|X|a为( )（分数：2.00）A.22F(a) B.1 一 F(a)C.2F(a)D.2F(a)一 1解析：解析：P|X|a=1 一 P|X|a=1 一 P一 aXa=1 一 F(a)+F(一 a)，而 F(一 a)= - -a f(x)dx 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)连续，且 f(0)=0，f(0)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 0 x f(x 一 t)dt x 0 f(u)(一 du)= 0 x f(u)du， 11.过点 A(3，2，1)且平行于 L
12、1 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 2y 一 5z+6=0）解析：解析：s 1 =1，一 2，1，s 2 =2，1，0，则所求平面方程的法向量为 n=s 1 s 2 =一1，2，5 所求平面方程为 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z1)=0，即 ：x 一 2y 一 5z+6=012.设 D：(x 2 +y 2 ) 2 4(x 2 一 y 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.平面 ：Ax+By+z+D=0 被柱面 x 2 +4y 2 =4 所截得的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确
13、答案：正确答案：*）解析：解析：平面 为 z=-AxByD，由 于是平面 被柱面所截得的面积为14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：|EA|=( 一 1) 2 ( 一 2)=0 得 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，因为 A 可相似对角化，所以 r(E-A)=1， 15.设 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单随机样本，令 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(m+n 一 2)）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解
14、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y一 y=(46x)e -x 的一个解，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)2y“+y一 y=(46x)e -x 的特征方程为 2 2 +1=0，特征值为 1 =一1， 2y“+y一 y=0 的通解为 y=C 1 e -x + 令 2y“+y一 y=(46x)e -x 的特解为 y 0 =(ax 2 +bx)e -x ，代入得 a=1，b=0， 原方程的通解为 y=C 1 e -x + 由 )解析：18.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1
15、)证明：存在 (0，1)，使得 2 0 1 f(x)dx=f(0)+f(1)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得 因为 f“(x)C 1 ， 2 ，所以 f“(x)在 1 ， 2 上取到最大值 M 和最小值 m， )解析：19.设 y=f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0，所以 f(0+0)=e 0 =1，f(0)=f(0 一 0)=1， 因为 f(0 一 0)=f(0+0)=f(0)=1，所以 f(x)在 x=0 处连续 ()当 x0 时，f(x)=2x 2x (
16、1+lnx)，令 f(x)=0 得 当 x0 时，f(x)=1 当 x0 时，f(x)0；当 0x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0，故x=0 为极大值点，极大值为 f(0)=1；x= 为极小值点，极小值为 )解析：20.求曲面 z=x 2 +y 2 +1 在点 M(1，一 1，3)的切平面与曲面 z=x 2 +y 2 所围成区域的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：法向量为 =2，一 2，一 1，切平面为 ：2(x 一 1)一 2(y+1)一(z 一 3)=0，即 ：2x 一 2y 一 z1=0 由 得(x 一 1) 2 +(y+1) 2 =1， 令 D：(x 一 1) 2
17、+(y+1) 2 1，故所求的体积为 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ：z=x+2(x 2 +y 2 1)在 xOy 坐标平面上投影区域为 D 1 ：x 2 +y 2 1 2 ：x 2 +y 2 =1(0zx+2)在 xOz 坐标平面上投影区域为 D 2 ：一1x1,0zx+2 又 2 关于 xOz 坐标平面左右对称，被积函数关于 y 是偶函数， 21 (右半部分):)解析：22.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1)当 a一 1，a6 时，方程组只有唯一解； 2)当 a=一 1 时， 当 a=一 1，b36 时，方程组无解； 当 a=一 1，b=36 时，方程组有无数个解， 方程组的通解为 3)当 a=6，b 为任意数值时， )解析：23.设 =(1，1，一 1) T 是 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由 A=，得 )解析：24.设 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()F Y (y)=PX 3 y，当 y一 8 时，F Y (y)=0； )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
