1、考研数学（数学一）模拟试卷 491 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若函数 f(x)在点 x 0 处的左导数 f(x 0 )和右导数 f + (x 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.函数 f(x)在点 x 0 处必可导B.函数 f(x)在点 x 0 处不一定可导，但必连续C.函数 f(x)在点 x 0 处不一定连续，但极限 D.极限3.设平面 平行于两直线 （分数：2.00）A.4x+2yz=0B.4x 一 2y+z+3=0C.16x+8
2、y-16z+11=0D.16x 一 8y+8z1=04.曲线 （分数：2.00）A.2B.3C.4D.55.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导，且满足 （分数：2.00）A.最大值和最小值只能在边界上取到B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值6. （分数：2.00）A.方程组 AX=0 只有零解B.方程组 A T X=0 有非零解C.方程组 A T AX=0 只有零解D.方程组 AA T X=0 只有零解7.对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一 2 倍加到第三列得一 E
3、，且|A|0，则 A 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0，1)，则 Z=F -1 (Y)的分布函数( )（分数：2.00）A.可导B.连续但不一定可导且与 X 分布相同C.只有一个间断点D.有两个以上的间断点9.对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)B.D(X+Y)=D(X)一 D(Y)C.X 和 Y 独立D.X 和 Y 不相关二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 y=y(
4、x)由 xy= 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设由 x=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz| (e,0) = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.y“一 2y一 3y=e -x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(m，一 m，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(m，1，1 一 m) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 m= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XN(0， 2 )，且 X 1 ，X 2 ，X 15 为来自总体 X 的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_
5、三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_18.计算 (yz+xy 2 )dzdx+x 2 zdxdy，其中： （分数：2.00）_19.设方程 （分数：2.00）_20.将函数 f(x)= 展开成 x 一 1 的幂级数，并求 （分数：2.00）_21.设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x 轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l 1 ，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l
6、2 ，又满足 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 ，求曲线 y=y(x)；（分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 A 为三阶实对称矩阵，若存在三阶正交矩阵 Q= 使得二次型 （分数：2.00）_24.设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中 （分数：2.00）_25.设 X 的密度为 f(x)= 其中 0 为未知参数(I)求参数 的最大似然估计量 。()（分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 491 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分
7、数：2.00）_解析：2.若函数 f(x)在点 x 0 处的左导数 f(x 0 )和右导数 f + (x 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.函数 f(x)在点 x 0 处必可导B.函数 f(x)在点 x 0 处不一定可导，但必连续 C.函数 f(x)在点 x 0 处不一定连续，但极限 D.极限解析：解析：由 f(x 0 )存在，即 即 f(x 0 一 0)=f(x 0 )； 由 f + (x 0 )存在，即 3.设平面 平行于两直线 （分数：2.00）A.4x+2yz=0B.4x 一 2y+z+3=0C.16x+8y-16z+11=0 D.16x 一 8y+8z1=0解析：解析：平面
8、 的法向量为 n=2，一 2，11，2，2=一 32，1，一 2 设平面 与曲面 z=x 2 +y 2 +1 相切的切点为(x 0 ，y 0 ，z 0 )，则曲面在该点处的法向量为2x 0 ，2y 0 ，一 1，由 因此 的方程为 4.曲线 （分数：2.00）A.2B.3C.4 D.5解析：解析：5.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导，且满足 （分数：2.00）A.最大值和最小值只能在边界上取到 B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值解析：解析：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D
9、 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0 ，y 0 )处取到，即 f(x 0 ，y 0 )=M0，此时 6. （分数：2.00）A.方程组 AX=0 只有零解B.方程组 A T X=0 有非零解C.方程组 A T AX=0 只有零解D.方程组 AA T X=0 只有零解 解析：解析：由 7.对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一 2 倍加到第三列得一 E，且|A|0，则 A 等于( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由一 E=E 13 A*E 23 (一 2)得 A*=一 E 13 -1 E
10、 23 -1 (2)=-E 13 E 23 (2)，因为|A*|=|A| 2 =1 且|A|0，所以|A|=1，于是 A*=A -1 ， 故 A=(A*) -1 =一 E 23 -1 (2)E 13 -1 =一 E 23 (一 2)E 13 8.设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0，1)，则 Z=F -1 (Y)的分布函数( )（分数：2.00）A.可导B.连续但不一定可导且与 X 分布相同 C.只有一个间断点D.有两个以上的间断点解析：解析：因为 YU(0，1)，所以 Y 的分布函数为 F Y (y)= 9.对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E
11、(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)B.D(X+Y)=D(X)一 D(Y)C.X 和 Y 独立D.X 和 Y 不相关 解析：解析：因为 E(XY)=E(X).E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X).E(Y)=0于是 XY =0，即 X，Y 不相关，应选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11.设函数 y=y(x)由 xy= 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：x=0 代入，得 y=012.设由 x=ze
12、y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz| (e,0) = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 x=e，y=0 代入得 z=1 x=ze y+z 两边求微分得 dx=ze y+z dy+(z+1)e y-1 dz，将x=e，y=0z=1 代入得 13.y“一 2y一 3y=e -x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：特征方程为 2 一 2 一 3=0特征值为 1 =-1， 2 =3则方程 y“一 2y一 3y=0 的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x 令原方程的特解为 y 0 (x)=Ax
13、e -x ，代入原方程得 A= ，于是原方程的通解为 14.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(m，一 m，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(m，1，1 一 m) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 m= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 AX=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值， 1 =(m，一 m，1) T 为其对应的特征向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，|A+E|=0，=一 1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为 2 =(m，1，1 一 m) T ，因为 A 为实对称矩阵，所以
14、 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=115.设总体 XN(0， 2 )，且 X 1 ，X 2 ，X 15 为来自总体 X 的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(5)）解析：解析：因为 X i N(0， 2 )(i=1，2，10)，所以 (一 1)X i N(0，10 2 ) ，又 X i N(0， 2 )(i=11，12，15)，所以 (X i ) 2 2 (5)， 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)
15、内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(0)=0，f + (0)=1，f(1)=0，f - (1)=2 由 f + (0)0，存在 x 1 (0，1)，使得 f(x 1 )f(0)=0； 由 f - (1)0，存在 x 2 (0，1)，使得 f(x 2 )f(1)=0 因为 f(x 1 )f(x 2 )0，所以由零点定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0 ()令 h(x)=e x f(x)，因为f(0)=f(c)=f(1)=0，所以 h(0)=h(c)=h(1)=0，由罗尔定理，存在 1 (0，c)， 2 (c，1)，使得h( 1 )=h( 2 )=0，而 h(x)=
16、e x f(x)+f(x)且 e x 0，所以 f( 1 )+f( 1 )=0，f( 2 )+f( 2 )=0 令 (x)=e -x f(x)+f(x)，因为 ( 1 )=( 2 )=0，所以存在( 1 ， 2 ) (0，1)，使 得 ()=0，而 (x)=e -x f“(x)一 f(x)且 e -x 0，于是 f“()=f() ()令 h(x)=e -x f(x)，因为 f(0)=f(c)=f(1)=0，所以 h(0)=h(c)=h(1)=0 由罗尔定理，存在 1 (0，c)， 2 (c，1)，使得 h( 1 )=h( 2 )=0，而 h(x)=e -x f(x)一 f(x)且 e -x 0
17、， 所以 f( 1 )一 f( 1 )=0，f( 2 )一 f( 2 )=0 令 (x)=e -2x f(x)一f(x)，因为 ( 1 )=( 2 )=0，所以存在 ( 1 ， 2 ) )解析：18.计算 (yz+xy 2 )dzdx+x 2 zdxdy，其中： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.将函数 f(x)= 展开成 x 一 1 的幂级数，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边对 x 求导，得 )解析：21.设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x 轴相切，P(x，y)
18、为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l 1 ，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l 2 ，又满足 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 ，求曲线 y=y(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件得 y(0)=0，y(0)=0， P(x，y)处的切线为 Yy=y(Xx)， 令 X=0，则 Y=yxy，A 的坐标为(0，yxy)， 两边对 x 求导整理得 1+y 2 =2(x+1)yy“ 积分得 ln(1+p 2 )=ln(x+1)+lnC 1 ，即 1+p 2 =C 1 (x+1)，由初始条件得 C 1 =1，即 再由y(0)=0 得 C
19、2 =0，故所求的曲线为 )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 情形一：a0 当 a0 且 ab+10 时，方程组有唯一解； 当 a0 且 ab+1=0 时，方程组有无数个解， 情形二：a=0 当 b1 时，方程组无解； 当 b=1 时，方程组有无数个解， )解析：23.设 A 为三阶实对称矩阵，若存在三阶正交矩阵 Q= 使得二次型 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)A 的特征值为 1 =一 1， 2 =2， 3 =b， 1 =一 1 对应的特征向量为 2 =2 对应的特征向量为 因为不同特征值对应的特征向量正交，所以 a=-1 |A|=-2b，由|A*|
20、=|A| 2 得 b=2 )解析：24.设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)U，V 的可能取值为 1，2，3，显然 P(UV)=0 PU=1，V=1=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= PU=2，V=1=PX=2，Y=1+PX=1，Y=2=2PX 一 2PY 一 1= PU=2，V=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2= PU=3，V=1=PX=3，Y=1+PX=1，Y=3=2PX=3PY 一 1= PU=3，V=2=PX=3，Y=2+PX=2，Y=3=2PX=3PY=2= PU=3，V=3=PX=3，Y=3=PX=3PY=3= 于是(U，V)的联合分布律为 ()PU=V=PU=1，V=1+PU=2，V=2+PU=3，V=3= ()PU=1= PU=1，V=3=0， 因为 PU=1，V=3PU=1PV=3，所以U，V 不独立 )解析：25.设 X 的密度为 f(x)= 其中 0 为未知参数(I)求参数 的最大似然估计量 。()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)似然函数为 )解析：
