1、考研数学（数学一）模拟试卷 487 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x0 时，无穷小 （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，3.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处可导，则一定存在 0，在|xx 0 | 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x 0 处连续，则一定存在 0，在|xx 0 | 内 f(x)连续C.若 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，f(x)在 x 0 处连续，且 存在，则 f(x)
2、在 x 0 处可导，且f(x 0 )= 4.设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且 f(x)=lncosx+ 0 x g(xt)dt， （分数：2.00）A.f(0)为 f(x)的极大值B.f(0)为 f(x)的极小值C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点5.当 x=一 2 时，级数 （分数：2.00）A.R=2B.R=4C.R=1D.6.设 A 为可逆矩阵，令 则 A -1 P 1 100 AP 2 -1 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 =2， 3
3、 =4，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令P=(一 3 2 ，2 1 ，5 3 )，则 P -1 (A*+2E)P 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.下面四个随机变量的分布中，期望值最大，方差最小的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设总体 X 服从标准正态分布，(X 1 ,X 2 ，X n )为总体的简单样本 则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.积分 （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设 y=y(x)由 =x+1 一 y 确定，则 （分数：2.00）填空项
4、1:_13.微分方程 yy“=y 2 y+y 2 满足 y(0)=1，y(0)=2 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1 =一 1， 2 =1 为矩阵 A 的两个特征值，又|B -1 |= 则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XN(0，1)，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为来自总体的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且 （分数：2.00）
5、_18.设 f(x)连续，且 f(1)=0，f(1)=2，求极限 （分数：2.00）_19.椭球面 1 是椭圆 L： 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 2 是由过点(4，0)且与椭圆 L： （分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.计算曲面积分 （分数：2.00）_22.设 B 为三阶非零矩阵, （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设随机变量 X 的分布律为 PX=k=p(1 一 p) k-1 (k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求PY=3（分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i
6、一 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 487 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x0 时，无穷小 （分数：2.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析：3.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处可导，则一定存在 0，在|xx 0 | 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x 0 处连续，则一定存在 0，在|xx 0 | 内 f(x)连续C.若 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，f(x)
7、在 x 0 处连续，且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且f(x 0 )= 解析：解析： 得 f(x)在 x=0 处可导(也连续) 对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对； 所以 f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导，(C)不对； 因为 f(x)在 x 0 处连续且在 x 0 ，的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 其中 介于 x 0 与 x 之间，两边取极限得 存在，即 f(x)在 x 0 处可导，且 4.设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且 f(x)=lncosx+
8、0 x g(xt)dt， （分数：2.00）A.f(0)为 f(x)的极大值B.f(0)为 f(x)的极小值C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：显然 f(0)=0，由 得 g(0)=0，g(0)=一 25.当 x=一 2 时，级数 （分数：2.00）A.R=2 B.R=4C.R=1D.解析：解析：因为当 x=一 2 时，级数 条件收敛，所以级数 的收敛半径为 4 且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径，又 的收敛半径为6.设 A 为可逆矩阵，令 则 A -1 P 1 100 AP 2 -1 等于(
9、) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：P 1 =E 23 ，因为 E ij -1 =E ij ，所以 E ij 2 =E，即 P 1 100 =EP 2 =E 13 (4)，因为 E ij -1 (k)=E ij (一 k)，所以 P 2 -1 = 7.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 =2， 3 =4，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令P=(一 3 2 ，2 1 ，5 3 )，则 P -1 (A*+2E)P 等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：A*+2E 对应的特征值为 1 =10， 2 =一 2， 3 =0，对应的特征向量为 1
10、， 2 ， 3 ，则一 3 2 ，2 1 ，5 3 仍然是 A*+2E 的对应于特征值 2 =一 2， 1 =10， 3 =0 的特征向量，于是有 P -1 (A*+2E)P= 8.下面四个随机变量的分布中，期望值最大，方差最小的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析： 由 YU(5，7)得 E(Y)=6，D(Y)= 由 Z 得 E(Z)=6，D(Z)=36；9.设总体 X 服从标准正态分布，(X 1 ,X 2 ，X n )为总体的简单样本 则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.积分 （分数：2.00）填空项
11、 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2ln2）解析：解析：12.设 y=y(x)由 =x+1 一 y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.微分方程 yy“=y 2 y+y 2 满足 y(0)=1，y(0)=2 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1 =一 1， 2 =1 为矩阵 A 的两个特征值，又|B -1 |= 则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析
12、：解析：因为|B -1 |= 所以|B|=3，又因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设 A 的另一个特征值为 3 ，由|A|=|B|= 1 2 3 ，得 3 =一 3，因为 A 一 3E 的特征值为一 4，一 2，一 6，所以|A 一 3E|=一 48 15.设总体 XN(0，1)，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为来自总体的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(1)）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，
13、2)内三阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(0)=0，f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax 3 +Bx 2 +Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2，P(1)=1，P(2)=6， 令 (x)=f(x)一 ，则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)= (1)=(2)=0，因此 (x)在0，1和1，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1 (0，1)， 2 (1，2)，使得 ( 1 )=( 2 )=0 又 (0)=0，由罗尔定理，存在 1 (0， 1 )， 2 ( 1 ， 2 )，使得 “( 1 )=“( 2 )=0，再由罗尔定理，存在 ( 1 ，
14、2 ) )解析：18.设 f(x)连续，且 f(1)=0，f(1)=2，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.椭球面 1 是椭圆 L： 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 2 是由过点(4，0)且与椭圆 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 设切点坐标为(x 0 ，y 0 )，则切线方程为 因为切线经过点(4，0)，所以 x 0 =1， 则 2 ：(x 一 4) 2 =4(y 2 +z 2 ) () 1 及 2 围成的几何体在 yOz 平面上的投影为 D yz ：y 2 +z 2 则 )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()特征方程为
15、2 - 一 6=0，特征值为 1 =一 2， 2 =3， )解析：21.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 :x 2 +y 2 +z 2 =1，取外侧，由及 0 构成的几何体为 ， 由高斯公式得 )解析：22.设 B 为三阶非零矩阵, （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量， 由 1 ， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3-r(B)2，从而 r(B)1，再由 r(B)1 得r(B)=1， 1 ， 2 为 BX=0 的一个基础解系， )解析：23.设 （分数：2.00）
16、_正确答案：(正确答案：(I)由|EA|= =( 一 1) 2 =0 得 1 = 2 =1， 3 =0因为 A 可对角化，所以 r(E 一 A)=1， ()将 =1 代入(E-A)X=0 中得(E-A)X=0， 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 将 =0 代入(E-A)X=0 得 AX=0， )解析：24.设随机变量 X 的分布律为 PX=k=p(1 一 p) k-1 (k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求PY=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A k =X=k(k=1，2，)， B=Y=3， P(B|A 1 )=P(B|A 2 )=0， 由全概率公式得 )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)D(Y i )=Cov(Y i ，Y i ) 因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y 1 +Y n 服从正态分布， )解析：
