1、考研数学（数学一）模拟试卷 486 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为极大值点B.x=0 为极小值点C.(0，f(0)为拐点D.x=0 不是极值点，(0，f(0)也不是拐点3.圆 （分数：2.00）A.16B.8C.4D.24.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.D.5.设 f(x，
2、y)在(0，0)处连续，且 （分数：2.00）A.f(x，y)在(0，0)处不可偏导B.f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C.f x (0，0)=f y (00)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分D.f x (0，0)=f y (0，0)=0 且 f(x，y)在(0，0)处可微分6.设 A 为三阶矩阵， 为非齐次线性方程组 （分数：2.00）A.当 t2 时，r(A)=1B.当 t2 时，r(A)=2C.当 t=2 时，r(A)=1D.当 t=2 时，r(A)=27.设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2则|A+4E|=( )（分数：2.00）
3、A.8B.16C.2D.08.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1 (x)+08F 1 (2x)，其中 F 1 (y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（分数：2.00）A.036B.044C.064D.19.设总体 XN(0， 2 )，(X 1 ，X 2 ，X 3 )为总体 X 的简单随机样本， 为样本均值，S 2 为样本方差，则 （分数：2.00）A.B. 4C.D. 2二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为 （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:
4、_12.过点(2，3)作曲线 y=x 2 的切线，该曲线和切线围成的图形的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)在区间-3，0)上的表达式为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XE()，且 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X 的简单随机样本，令 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 u n (x)满足 u n (x)=u n (x)+
5、x n-1 e x (n=1，2，)，且 u n (1)= 求级数 （分数：2.00）_18.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：2.00）_19.设 L： （分数：2.00）_20.设 u=f(x，y)满足 du=y 2 dx+(2xy+1)dy，且 f(0，0)=1，计算 其中是 （分数：2.00）_21.飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞行到原点时被发现，随即从 x 轴上点(x 0 ，y 0 )处发射导弹向飞机击去，其中 x 0 0若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为
6、常数 2v (I)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件； ()求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T（分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.当常数 a 取何值时，方程组 （分数：2.00）_24.设随机变量 X 在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时，随机变量 Y 的条件密度函数为 f Y|X (y|x)= （分数：2.00）_25.设总体 X 的密度函数为 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 (I)求 Y的分布函数； ()讨论 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 486 答案解析(总分：50.00，做题时
7、间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为极大值点B.x=0 为极小值点 C.(0，f(0)为拐点D.x=0 不是极值点，(0，f(0)也不是拐点解析：解析：3.圆 （分数：2.00）A.16 B.8C.4D.2解析：解析：x 2 +y 2 +z 2 一 4x 一 2y+2z19 化为 (x 一 2) 2 +(y 一 1) 2 +(z+1) 2 25， 球的半径为 R=5，球心(2，1，一 1)到平面 2x+2yz+2=0 的距离为
8、截口圆的半径为 4.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.D. 解析：解析：令 P(x，y)=2xy， Q(x，y)=x 2 一 1， 因为 所以 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 为全微分方程 由 2xydx+(x 2 一 1)dy=0，得 2xydx+x 2 dydy=0， 整理得 d(x 2 yy)=0，通解为 x 2 yy=C 由初始条件 y(0)=1 得 C=一 1，从而特解为 y(x)= 于是 5.设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 （分数：2.00）A.f(
9、x，y)在(0，0)处不可偏导B.f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C.f x (0，0)=f y (00)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分D.f x (0，0)=f y (0，0)=0 且 f(x，y)在(0，0)处可微分 解析：解析：由 得 f(0，0)=1，因为 一 1x 2 +y 2 ，所以 其中 为当(x，y)(0，0)时的无穷小，于是f=f(x，y)一 f(0，0)=0x+0y+ 6.设 A 为三阶矩阵， 为非齐次线性方程组 （分数：2.00）A.当 t2 时，r(A)=1 B.当 t2 时，r(A)=2C.当 t=2 时，r(A)=1D.当 t=2 时，r(A)=
10、2解析：解析：当 t2 时， 1 一 2 = 7.设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2则|A+4E|=( )（分数：2.00）A.8B.16 C.2D.0解析：解析：令 B=( 1 ， 2 ， 3 )，由 AB+2B=O 得 A i =一 2 i (i=1，2，3)，由 r(B)=2 得=一 2 至少为 A 的二重特征值，又由 r(A)3 得 3 =0，故 1 = 2 =-2， 3 =0，A+4E 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =4，故|A+4E|=16，应选(B)8.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1 (x)+08F 1 (2x)，
11、其中 F 1 (y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（分数：2.00）A.036B.044 C.064D.1解析：解析：设 X 1 E(1)，其密度函数为 f 1 (x)= 其分布函数为 9.设总体 XN(0， 2 )，(X 1 ，X 2 ，X 3 )为总体 X 的简单随机样本， 为样本均值，S 2 为样本方差，则 （分数：2.00）A. B. 4C.D. 2解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11. （分数
12、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.过点(2，3)作曲线 y=x 2 的切线，该曲线和切线围成的图形的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设切点坐标为(a，a 2 )，由已知条件得 解得 a=1 及 a=3，切点分别为(1，1)及(3，9)，两条切线分别为 L 1 ：y 一 1=2(x1)，即 L 1 ：y=2x-1； L 2 ：y 一 9=6(x 一 3)，即 L 2 ：y=6x-9， 所围成的面积为 A= 1 2 x 2 一(2x 一 1)dx+ 2 3 x 2 一(6x 一 9)dx = 1 2 (x 一
13、1) 2 dx+ 2 3 (x 一 3) 2 dx= 13.设 f(x)在区间-3，0)上的表达式为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：对 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则正弦级数的和函数 S(x)是以 6 为周期的奇函数，14.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为 1 =0, 2 =2，因为 A 为实对称矩阵，所以 1 T 2 =k 2 一 2k+1=0，解得 k=1，于是 又因为|E+A|=0，所以 3
14、=一 1 为 A 的特征值，令 3 =-1 对应的特征向量为 15.设总体 XE()，且 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X 的简单随机样本，令 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 u n (x)满足 u n (x)=u n (x)+x n-1 e x (n=1，2，)，且 u n (1)= 求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 u n (x)=u n (x)+x n-1 e x ，即 u n (x)一 u
15、n (x)=x n-1 e x 得 )解析：18.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x) x b g(t)dt+g(x) a x f(t)dt，显然函数 (x)在区间a，b上连续，函数 (x)在区间(a，b)内可导，且 (x)=f(x) x b g(t)dtf(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x) a x f(t)dt =f(x) x b g(t)dt+g(x) a x f(t)dt 另外，又有 (a)=(b)=0 所以根据罗尔定
16、理可知存在 (a，b)使 ()=0，即 f() b g(t)dt+g() a f(t)dt=0，由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0，从而就有 x b g(t)dt0，于是 有 )解析：19.设 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先求切线与坐标轴围成的面积 设 M(x，y)L，过点 M 的 L 的切线方程为令 Y=0，得 切线与 x 轴的交点为 令 X=0，得 切线与 y 轴交点为 切线与椭圆围成的图形面积为 S(x，y)= 其次求最优解 )解析：20.设 u=f(x，y)满足 du=y 2 dx+(2xy+1)dy，且 f(0，0)=1，计
17、算 其中是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 du=y 2 dx+(2xy+1)dy=y 2 dx+2xy dy+dy=d(xy 2 +y)得 f(x，y)=xy 2 +y+C， 由 f(0，0)=1 得 C=1，从而 f(x，y)=xy 2 +y+1 )解析：21.飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞行到原点时被发现，随即从 x 轴上点(x 0 ，y 0 )处发射导弹向飞机击去，其中 x 0 0若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数 2v (I)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件； ()求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T（分数：2.00）_正
18、确答案：(正确答案：(I)设导弹在 t 时刻的坐标为 A(x(t)，y(t)，其运行轨迹方程为 y=y(x)在某时刻 t0，飞机的位置为 B(0，vt)，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在 t 时刻，导弹运行轨迹曲线的切线斜率 与线段 AB 的斜率相等，于是有 两边对 x 求导数，得 因为导弹的速度大小为 2v，所以 y=y(x)所满足的初始条件为 y(x 0 )=0，y(x 0 )=0 )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)根据特征值、特征向量的定义，有 A 1 = 1 ，即 于是有 解得 a=1，b=1，=3，则 ()由|EA|=0，得 1 = 2 =2，
19、3 =32EA= )解析：23.当常数 a 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 原方程组的通解为 X=k(一 1，0，1) T +(2，一 1，0) T (k 为任意常数)； 若 a1，则 当 a=2 时，方程组无解； )解析：24.设随机变量 X 在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时，随机变量 Y 的条件密度函数为 f Y|X (y|x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)随机变量 X 的边缘密度函数为 f X (x)= 则(X，Y)的联合密度函数为 则 Y 的边缘密度函数为 f Y (y)= - + f(x，y)dx )解析：25.设总体 X 的密度函数为 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 (I)求 Y的分布函数； ()讨论 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
