1、考研数学(数学一)模拟试卷 486 及答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)连续,且 (分数:2.00)A.x=0 为极大值点B.x=0 为极小值点C.(0,f(0)为拐点D.x=0 不是极值点,(0,f(0)也不是拐点3.圆 (分数:2.00)A.16B.8C.4D.24.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解,则 (分数:2.00)A.一 ln3B.ln3C.D.5.设 f(x,
2、y)在(0,0)处连续,且 (分数:2.00)A.f(x,y)在(0,0)处不可偏导B.f(x,y)在(0,0)处可偏导但不可微C.f x (0,0)=f y (00)=4 且 f(x,y)在(0,0)处可微分D.f x (0,0)=f y (0,0)=0 且 f(x,y)在(0,0)处可微分6.设 A 为三阶矩阵, 为非齐次线性方程组 (分数:2.00)A.当 t2 时,r(A)=1B.当 t2 时,r(A)=2C.当 t=2 时,r(A)=1D.当 t=2 时,r(A)=27.设 A,B 为三阶矩阵且 A 不可逆,又 AB+2B=O 且 r(B)=2则|A+4E|=( )(分数:2.00)
3、A.8B.16C.2D.08.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1 (x)+08F 1 (2x),其中 F 1 (y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数,则 D(X)为( )(分数:2.00)A.036B.044C.064D.19.设总体 XN(0, 2 ),(X 1 ,X 2 ,X 3 )为总体 X 的简单随机样本, 为样本均值,S 2 为样本方差,则 (分数:2.00)A.B. 4C.D. 2二、填空题(总题数:6,分数:12.00)10.设 f(x,y)为连续函数,改变为极坐标的累次积分为 (分数:2.00)填空项 1:_11. (分数:2.00)填空项 1:
4、_12.过点(2,3)作曲线 y=x 2 的切线,该曲线和切线围成的图形的面积为 1(分数:2.00)填空项 1:_13.设 f(x)在区间-3,0)上的表达式为 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_14.设 A 为三阶实对称矩阵, 为方程组 AX=0 的解, (分数:2.00)填空项 1:_15.设总体 XE(),且 X 1 ,X 2 ,X n 为总体 X 的简单随机样本,令 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.设 u n (x)满足 u n (x)=u n (x)+
5、x n-1 e x (n=1,2,),且 u n (1)= 求级数 (分数:2.00)_18.设函数 f(x)和 g(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内可导,且 f(a)=g(b)=0,g(x)0,试证明存在 (a,b)使 (分数:2.00)_19.设 L: (分数:2.00)_20.设 u=f(x,y)满足 du=y 2 dx+(2xy+1)dy,且 f(0,0)=1,计算 其中是 (分数:2.00)_21.飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行,当飞行到原点时被发现,随即从 x 轴上点(x 0 ,y 0 )处发射导弹向飞机击去,其中 x 0 0若导弹的速度方向始终指向飞机,其速度大小为
6、常数 2v (I)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件; ()求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T(分数:2.00)_22.设 (分数:2.00)_23.当常数 a 取何值时,方程组 (分数:2.00)_24.设随机变量 X 在(1,4)上服从均匀分布,当 X=x(1x4)时,随机变量 Y 的条件密度函数为 f Y|X (y|x)= (分数:2.00)_25.设总体 X 的密度函数为 X 1 ,X 2 ,X n 为来自总体 X 的简单随机样本,令 (I)求 Y的分布函数; ()讨论 (分数:2.00)_考研数学(数学一)模拟试卷 486 答案解析(总分:50.00,做题时
7、间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)连续,且 (分数:2.00)A.x=0 为极大值点B.x=0 为极小值点 C.(0,f(0)为拐点D.x=0 不是极值点,(0,f(0)也不是拐点解析:解析:3.圆 (分数:2.00)A.16 B.8C.4D.2解析:解析:x 2 +y 2 +z 2 一 4x 一 2y+2z19 化为 (x 一 2) 2 +(y 一 1) 2 +(z+1) 2 25, 球的半径为 R=5,球心(2,1,一 1)到平面 2x+2yz+2=0 的距离为
8、截口圆的半径为 4.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解,则 (分数:2.00)A.一 ln3B.ln3C.D. 解析:解析:令 P(x,y)=2xy, Q(x,y)=x 2 一 1, 因为 所以 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 为全微分方程 由 2xydx+(x 2 一 1)dy=0,得 2xydx+x 2 dydy=0, 整理得 d(x 2 yy)=0,通解为 x 2 yy=C 由初始条件 y(0)=1 得 C=一 1,从而特解为 y(x)= 于是 5.设 f(x,y)在(0,0)处连续,且 (分数:2.00)A.f(
9、x,y)在(0,0)处不可偏导B.f(x,y)在(0,0)处可偏导但不可微C.f x (0,0)=f y (00)=4 且 f(x,y)在(0,0)处可微分D.f x (0,0)=f y (0,0)=0 且 f(x,y)在(0,0)处可微分 解析:解析:由 得 f(0,0)=1,因为 一 1x 2 +y 2 ,所以 其中 为当(x,y)(0,0)时的无穷小,于是f=f(x,y)一 f(0,0)=0x+0y+ 6.设 A 为三阶矩阵, 为非齐次线性方程组 (分数:2.00)A.当 t2 时,r(A)=1 B.当 t2 时,r(A)=2C.当 t=2 时,r(A)=1D.当 t=2 时,r(A)=
10、2解析:解析:当 t2 时, 1 一 2 = 7.设 A,B 为三阶矩阵且 A 不可逆,又 AB+2B=O 且 r(B)=2则|A+4E|=( )(分数:2.00)A.8B.16 C.2D.0解析:解析:令 B=( 1 , 2 , 3 ),由 AB+2B=O 得 A i =一 2 i (i=1,2,3),由 r(B)=2 得=一 2 至少为 A 的二重特征值,又由 r(A)3 得 3 =0,故 1 = 2 =-2, 3 =0,A+4E 的特征值为 1 = 2 =2, 3 =4,故|A+4E|=16,应选(B)8.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1 (x)+08F 1 (2x),
11、其中 F 1 (y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数,则 D(X)为( )(分数:2.00)A.036B.044 C.064D.1解析:解析:设 X 1 E(1),其密度函数为 f 1 (x)= 其分布函数为 9.设总体 XN(0, 2 ),(X 1 ,X 2 ,X 3 )为总体 X 的简单随机样本, 为样本均值,S 2 为样本方差,则 (分数:2.00)A. B. 4C.D. 2解析:解析:二、填空题(总题数:6,分数:12.00)10.设 f(x,y)为连续函数,改变为极坐标的累次积分为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:11. (分数
12、:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:12.过点(2,3)作曲线 y=x 2 的切线,该曲线和切线围成的图形的面积为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设切点坐标为(a,a 2 ),由已知条件得 解得 a=1 及 a=3,切点分别为(1,1)及(3,9),两条切线分别为 L 1 :y 一 1=2(x1),即 L 1 :y=2x-1; L 2 :y 一 9=6(x 一 3),即 L 2 :y=6x-9, 所围成的面积为 A= 1 2 x 2 一(2x 一 1)dx+ 2 3 x 2 一(6x 一 9)dx = 1 2 (x 一
13、1) 2 dx+ 2 3 (x 一 3) 2 dx= 13.设 f(x)在区间-3,0)上的表达式为 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:对 f(x)进行奇延拓和周期延拓,则正弦级数的和函数 S(x)是以 6 为周期的奇函数,14.设 A 为三阶实对称矩阵, 为方程组 AX=0 的解, (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:显然 为 A 的特征向量,其对应的特征值分别为 1 =0, 2 =2,因为 A 为实对称矩阵,所以 1 T 2 =k 2 一 2k+1=0,解得 k=1,于是 又因为|E+A|=0,所以 3
14、=一 1 为 A 的特征值,令 3 =-1 对应的特征向量为 15.设总体 XE(),且 X 1 ,X 2 ,X n 为总体 X 的简单随机样本,令 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:10,分数:20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:17.设 u n (x)满足 u n (x)=u n (x)+x n-1 e x (n=1,2,),且 u n (1)= 求级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 u n (x)=u n (x)+x n-1 e x ,即 u n (x)一 u
15、n (x)=x n-1 e x 得 )解析:18.设函数 f(x)和 g(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内可导,且 f(a)=g(b)=0,g(x)0,试证明存在 (a,b)使 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=f(x) x b g(t)dt+g(x) a x f(t)dt,显然函数 (x)在区间a,b上连续,函数 (x)在区间(a,b)内可导,且 (x)=f(x) x b g(t)dtf(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x) a x f(t)dt =f(x) x b g(t)dt+g(x) a x f(t)dt 另外,又有 (a)=(b)=0 所以根据罗尔定
16、理可知存在 (a,b)使 ()=0,即 f() b g(t)dt+g() a f(t)dt=0,由于 g(b)=0 及 g(x)0,所以区间(a,b)内必有 g(x)0,从而就有 x b g(t)dt0,于是 有 )解析:19.设 L: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先求切线与坐标轴围成的面积 设 M(x,y)L,过点 M 的 L 的切线方程为令 Y=0,得 切线与 x 轴的交点为 令 X=0,得 切线与 y 轴交点为 切线与椭圆围成的图形面积为 S(x,y)= 其次求最优解 )解析:20.设 u=f(x,y)满足 du=y 2 dx+(2xy+1)dy,且 f(0,0)=1,计
17、算 其中是 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 du=y 2 dx+(2xy+1)dy=y 2 dx+2xy dy+dy=d(xy 2 +y)得 f(x,y)=xy 2 +y+C, 由 f(0,0)=1 得 C=1,从而 f(x,y)=xy 2 +y+1 )解析:21.飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行,当飞行到原点时被发现,随即从 x 轴上点(x 0 ,y 0 )处发射导弹向飞机击去,其中 x 0 0若导弹的速度方向始终指向飞机,其速度大小为常数 2v (I)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件; ()求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T(分数:2.00)_正
18、确答案:(正确答案:(I)设导弹在 t 时刻的坐标为 A(x(t),y(t),其运行轨迹方程为 y=y(x)在某时刻 t0,飞机的位置为 B(0,vt),因为导弹的速度方向始终指向飞机,从而在 t 时刻,导弹运行轨迹曲线的切线斜率 与线段 AB 的斜率相等,于是有 两边对 x 求导数,得 因为导弹的速度大小为 2v,所以 y=y(x)所满足的初始条件为 y(x 0 )=0,y(x 0 )=0 )解析:22.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)根据特征值、特征向量的定义,有 A 1 = 1 ,即 于是有 解得 a=1,b=1,=3,则 ()由|EA|=0,得 1 = 2 =2,
19、3 =32EA= )解析:23.当常数 a 取何值时,方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 原方程组的通解为 X=k(一 1,0,1) T +(2,一 1,0) T (k 为任意常数); 若 a1,则 当 a=2 时,方程组无解; )解析:24.设随机变量 X 在(1,4)上服从均匀分布,当 X=x(1x4)时,随机变量 Y 的条件密度函数为 f Y|X (y|x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)随机变量 X 的边缘密度函数为 f X (x)= 则(X,Y)的联合密度函数为 则 Y 的边缘密度函数为 f Y (y)= - + f(x,y)dx )解析:25.设总体 X 的密度函数为 X 1 ,X 2 ,X n 为来自总体 X 的简单随机样本,令 (I)求 Y的分布函数; ()讨论 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析: