1、考研数学（数学一）模拟试卷 471 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.极限 （分数：2.00）A.B.1C.D.23.设 f(x)= （分数：2.00）A.有两个第一类间断点B.有一个第一类间断点，一个第二类间断点C.有两个第二类间断点D.没有间断点4.设直线 l： （分数：2.00）A.a=5，b=2B.a=-5，b=2C.a=-5，b=-2D.a=5，b=25.设 D=(x，y)0x1，0y1，则二重积分 D y-x 2 dxdy 的值为( )
2、（分数：2.00）A.B.C.D.6.设向量组 1 ， 2 ， m 和向量组 1 ， 2 ， t 的秩相同，则正确结论的个数是( ) 两向量组等价； 两向量组不等价； 若 t=m，则两向量组等价；若两向量组等价，则 t=m； 若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， t 线性表示，则两向量组等价； 若 1 ， 2 ， t 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则两向量组等价（分数：2.00）A.5B.4C.3D.27. 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 R(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T c 表示任意常
3、数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(-1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 Y 不相关，aX+Y 与 X+bY 亦不相关，则( )（分数：2.00）A.a-b=1B.a-b=0C.a+b=1D.a+b=09.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的一个样本，其中 2 未知，检验假设 H 0 ：= 0 ，H 1 ： 0 ，则选取的统计量及其拒绝域分别是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.微分方程 yy+y 2 =0 满足初始条
4、件 y x=0 =1，y x=0 = （分数：2.00）填空项 1:_11.函数 z=xe 2y 在点 P(1，0)处沿从点 P(1，0)到点 Q(2，-1)的方向导数为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，在(-，)上的表达式为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0 确定，则 y(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 3 阶实对阵矩阵 A 满足 A 2 -3A+2E=0，且A=2，则二次型 f=x T Ax 的标准形为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.
5、在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ，则概率 PminX 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 1= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知 （分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上可导，且 f + (a)0，f - (b)0，证明方程 f(x)=0 在(a，b)内至少有一个根（分数：2.00）_19.()计算 0 n tsintdt，其中 n 为正整数； ()求 （分数：2.00）_20.设为
6、不经过原点的光滑封闭曲面，n 为上任一点(x，y，z)处的单位外法向量，r=xi+yj+zk，计算曲面积分 （分数：2.00）_21.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为 4 维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 Ax= 的通解为 (-1，1，0，2) T +k(1，-1，2，0) T () 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?为什么? ()求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 的一个极大无关组（分数：2.00）_22.设二次型 F(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 +ax 2 +x 3 +2x 2 x 3 -2x 1 x-2axx 3 的正负惯性指数都是 1 ()计算
7、 a 的值； ()用正交变换将二次型化为标准形； ()当 x 满足 x T x=2 时，求 f 的最大值与最小值（分数：2.00）_23.假设二维随机变量(X，Y)在矩形 G=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：2.00）_24.设某商品一周的需求量是 X，其概率密度为 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 471 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.极限 （分数：2.00）A.B.1C. D.2解析：解析：3.设 f(x
8、)= （分数：2.00）A.有两个第一类间断点 B.有一个第一类间断点，一个第二类间断点C.有两个第二类间断点D.没有间断点解析：解析：先求出 f(x)的具体表达式，再用间断点的定义判断即可 在分段点 x=-1 处，因为所以 x=-1 为第一类间断点(跳跃间断点) 在分段点=1 处，因为4.设直线 l： （分数：2.00）A.a=5，b=2B.a=-5，b=2C.a=-5，b=-2 D.a=5，b=2解析：解析：先求出曲面过点(1，-2，5)的切平面，再将直线 L 代入即可得 a，b 的值 曲面 z=x 2 +y 2 在点(1，-2，5)处的法向量 n=2，-4，-1于是切平面方程为 2(x-
9、1)-4(y+2)-(z-5)=0 即 2x-4y-z=5， 又由直线 L： 5.设 D=(x，y)0x1，0y1，则二重积分 D y-x 2 dxdy 的值为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：先去掉被积函数的绝对值符号，再将二重积分化为二次积分进行计算 如图 6-1 所示，由于y-x 2 = 从而有 D y-x 2 dxdy= D1 (x 2 -y)dxdy+ D2 (y-x 2 )dxdy = 0 1 dx 0 x2 (x 2 -y)dy+ 0 1 dx x2 1 (y-x 2 )dy= 故应选(C) 6.设向量组 1 ， 2 ， m 和向量组 1 ， 2 ， t 的
10、秩相同，则正确结论的个数是( ) 两向量组等价； 两向量组不等价； 若 t=m，则两向量组等价；若两向量组等价，则 t=m； 若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， t 线性表示，则两向量组等价； 若 1 ， 2 ， t 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则两向量组等价（分数：2.00）A.5B.4C.3D.2 解析：解析：利用向量组等价的定义和常用结论 若两个两向量组等价，则秩相同，但反之，未必成立 反例：向量组()只含一个向量 向量组()只含一个向量7. 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 R(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 +
11、 3 =(0，1，2，3) T c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可 根据线性方程组解的性质，可知 2 1 -( 2 + 3 )=( 1 - 2 )+( 1 - 3 ) 是非齐次线性方程组 Ax=b 导出组 Ax=0 的一个解因为 R(A)=3，所以 Ax=0 的基础解系含 4-3=1 个解向量，而 2 1 -( 2 + 3 )=(2，3，4，5) T 0，故是 Ax=0 的一个基础解系因此 Ax=b 的通解为 1 +c(2 1 - 2 - 3
12、)=(1，2，3，4) T +f(2，3，4，5) T ， 即(C)正确 对于其他几个选项，(A)项中 (1，1，1，1) T = 1 -( 2 + 3 )， (B)项中 (0，1，2，3) T = 2 + 3 ， (D)项中 (3，4，5，6) T =3 1 -2( 2 + 3 )， 都不是 Ax=b 的导出组的解所以(A)、(B)、(D)均不正确 故应选(C)8.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(-1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 Y 不相关，aX+Y 与 X+bY 亦不相关，则( )（分数：2.00）A.a-b=1B.a-b=0C.a+b=1D.a+b=0 解析：解析：利用
13、正态分布的数字特征以及不相关概念进行判断 XN(-1，2)，YN(1，2)，于是 D(X)=2，D(Y)=2 又 Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0 由协方差的性质有 Cov(aX+Y，X+bY) =aCov(X，X)+Cov(Y，X)+abCov(X，Y)+bCov(Y，Y) =aD(X)+bD(Y) =2a+2b=0 故 a+b=0 故应选(D)9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的一个样本，其中 2 未知，检验假设 H 0 ：= 0 ，H 1 ： 0 ，则选取的统计量及其拒绝域分别是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：
14、利用正态总体对参数 进行检验的方法可得正确选择 正态总体当 2 未知检验 时，需用 t 检验 故应选(A)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.微分方程 yy+y 2 =0 满足初始条件 y x=0 =1，y x=0 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题是不显含自变量 z 的可降阶微分方程，令 p=y，代入原方程进行求解即可 令 y=p，则 原方程可化为 于是 p=0 或 +p=0 前者显然不满足初始条件 积分得 py=C 1 ，即 =C 1 由初始条件 ，于是 积分得 y 2 =x+C 2 再由初始条件 y x=0 =1，得 C 2 =1
15、，y= 故所求特解为 (或 y 2 =x+1) 故应填 11.函数 z=xe 2y 在点 P(1，0)处沿从点 P(1，0)到点 Q(2，-1)的方向导数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先求出与向量 同方向的单位向量，再利用方向导数即可 由题设条件，知 =(1，-1)于是 又因为 =2xe 2y ，所以在点 P(1，0)处： 此时令 ，于是所求方向导数为 故应填 12.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，在(-，)上的表达式为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用公式求出傅里叶系数 a n ，b
16、 n ，再代入即可 13.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0 确定，则 y(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：将方程两边对 x 求导，视 y 为关于 x 的函数，得 e y y+6xy+6y+2x=0， (*) 再对 x 求导，y 和 y均视为关于 x 的函数，得 e y y+e y (y) 2 +6xy+12y+2=0 (*) 当 x=0 时，由原方程知y=0，再将 x=0，y=0 代入(*)式中，得 y(0)=0，再代入(*)式中得 y(0)=-2 故应填-214.设 3 阶实对阵矩阵 A 满足 A 2 -3A
17、+2E=0，且A=2，则二次型 f=x T Ax 的标准形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 +y 2 2 +2y 3 2）解析：解析：由 A 2 -3A+2E=O，得 A 的特征值为 1 或 2 又因为A=2，即特征值乘积为 2，故 A 的特征值为 1，1，2 所以二次型的标准形为 y 1 2 +y 2 2 +2y 3 2 . 故应填 y 1 2 +y 2 2 +2y 3 2 15.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ，则概率 PminX 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 1=
18、 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PminX 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 1=1-PminX 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 1 =1-PX 1 1，X 2 1，X 5 1=1-PX 1 1 5 =1-1-(0) 5 =1- 故应填 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 整理，得 )解析：解析：由已知极限求出函数 f(x)的表达式，将 f(x)的表达式代入18.设 f(x)在a，
19、b上可导，且 f + (a)0，f - (b)0，证明方程 f(x)=0 在(a，b)内至少有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，可知存在 x 0 0，使 a+x 0 (a，b)且 f(a+ 0 )f(a) 同理，由 f - (b)= )解析：解析：由题设条件找到函数 f(x)在a，b上的最值点即可得结论19.()计算 0 n tsintdt，其中 n 为正整数； ()求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()设 nxn+1，有 nx(n+1)于是 当 n时，由夹逼准则，得 )解析：解析：()利用定积分对积分区间的可加性将积分用和式表示，并将被积函数的绝对值符号去掉
20、后直接计算定积分即可 ()利用()的结论及夹逼准则便可得所求极限20.设为不经过原点的光滑封闭曲面，n 为上任一点(x，y，z)处的单位外法向量，r=xi+yj+zk，计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 n=cos，cos，cos，其中 ， 为 n 的方向角，则 P= ，显然(0，0，0)是它们的奇点 当(x，y，z)(0，0，0)时， 同理，有 ，则 若原点(0，0，0)不在封闭曲面内，则由高斯公式得 其中 是闭曲面所围的闭区域 若原点(0，0，0)在封闭曲面内，则作一个半径为 的小球面 1 ，取内侧( 1 在内)在和 1 所围的封闭区域 1 上，由高斯公式得 由于在
21、一 1 上恒有 x 2 +y 2 +z 2 = 2 ，且 n= x，y，z与 r 同向，于是有 )解析：解析：利用两类曲面积分的关系将已知对面积的曲面积分化为对坐标的组合曲面积分，再根据原点与积分曲面三的关系便可得结果21.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为 4 维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 Ax= 的通解为 (-1，1，0，2) T +k(1，-1，2，0) T () 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?为什么? ()求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 的一个极大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 Bx=0 的基础解系，为此，首先要找出矩阵
22、 B 的秩 由题目的已知信息可得：Ax=0 的基础解系中含有两个向量，故 4-R(A)=2，也即 R(A)=2，而由(1，0，2，1) T 是 Ax=0 的解可得 1 +2 3 + 4 =0，故 4 =- 1 -2 3 可知 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，故R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=R( 1 ， 2 ， 3 )=R(B)，也即 R(B)=2因此 Bx=0 的基础解系中仅含一个向量，求出 Bx=0 的任一非零解即为其基础解系 由于(1，0，2，1) T ，(2，1，1，-1) T 均为Ax=0 的解，故它们的和(3，1，3，0) T 也为 Ax=0 的解，可知 3 1 +
23、2 +3 3 =0，因此(3，1，3) T 为 Bx=0 的解，也即(3，1，3) T 为 Bx=0 的基础解系 最后，再求 Bx=b 的任何一个特解即可只需使得Ax=b 的通解中 1 的系数为 0 即可，为此，令(1，1，1，1) T +k 1 (1，0，2，1) T +k 2 (2，1，1，-1) T 中 k 1 =0，k 2 =1，得(3，2，2，0) T 是 Ax=b 的一个解，故(3，2，2) T 是 Bx=b 和一个解 可知Bx=b 的通解为(3，2，2) T +k(3，1，3) T ，kR ()与()类似，先求 Cx=0 的基础解系 由于 C 即为线性方程组 Ax=b 的增广矩阵
24、，故 R(C)=R(A)=2，可知 Cx=0 的基础解系中含有 5-2=3 个线性无关的解向量，为此，需要找出 Cx=0 的三个线性无关的解 由于(1，0，2，1) T ，(2，1，1，-1) T 均为 Ax=0 的解，可知(1，0，2，1，0) T ，(2，1，1-1，0) T 均为 Cx=0 的解而(1，1，1，1) T 为 Ax=b 的解，可知 1 + 2 + 3 + 4 =b，也即 1 + 2 + 3 + 4 -b=0，故(1，1，1，1，-1) T 也为 Cx=0 的解 这样，我们就找到了 Cx=0 的三个解：(1，0，2，1，0) T ，(2，1，1，-1，0) T ，(1，1，1
25、，1，-1) T ，容易验证它们是线性无关的，故它们即为 Cx=0 的基础解系 最后，易知(0，0，0，0，1) T 为 Cx=b 的解，故 Cx=b 的通解为 (0，0，0，0，1) T +k 1 (1，0，2，1，0) T +k 2 (2，1，1，-1，0) T +k 3 (1，1，1，1，-1) T ，k I R，i=1，2，3)解析：22.设二次型 F(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 +ax 2 +x 3 +2x 2 x 3 -2x 1 x-2axx 3 的正负惯性指数都是 1 ()计算 a 的值； ()用正交变换将二次型化为标准形； ()当 x 满足 x T x=2 时，求
26、f 的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =(-2)(-1)(+1)， 得 A 的特征值为 2，1，-1因此 A相似于 进而求得对应于 2，1，-1 的特征向量分别为 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则有 P -1 AP= 又因为 B 是下三角矩阵，所以特征值为 2，1，-1B 也相似于 进而求得对应 2，1，-1的特征向量分别为 1 = 令 Q( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q -1 BQ= 因此 P -1 AP=Q -1 BQ，所以 B=QP -1 APQ -1 =(PQ -1 ) -1 A(PQ -1 )， 令 X=PQ -1 = )解析：23.假设二
27、维随机变量(X，Y)在矩形 G=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由概率分布的性质知 a+02+01+6+02+01+c=1，即 a+b+c=04 (*) 由(X，Y)的概率分布可写出 X 的边缘概率分布为 故 E(X)=-(a+02)+(c+01)=-02，即 a-c=01 (*) 又因 05=PY0X0= ，即 a+b=03 (*) 将(*)、(*)、(*)联立，解方程组得 a=02，b=01，c=01 ()Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，则 PZ=-2=PX=-1，Y=-1=02， PZ=-1=PX=-1，Y=0+PX=0，Y=-1=01， PZ=0=PX=-1，Y=1+PX=0，Y=0+PX=1，Y=-1=03， PZ=1=PX=1，Y=0+PX=0，Y=1=03， P(Z=2=PX=1，Y=1=01 故 Z 的概率分布为)解析：24.设某商品一周的需求量是 X，其概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
