1、考研数学（数学一）模拟试卷 470 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导且 f(x)在 x=0 处连续D.可导但 f(x)在 x=0 处不连续3.若函数 f(x)的二阶导数连续，且满足 f(x)-f(x)=x，则 - f(x)cosxdx=( )（分数：2.00）A.f()-f(-)B.C.f()-f(-)D.4.极限 （分数：2.00）A.0B.1C.-1D.25.设 F(x)= （
2、分数：2.00）A.1B.2C.3D.不存在6.设 n 维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则对任意常数 k 必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关7.下列各组矩阵相似的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.对于任意两个事件 A 和 B，( )（分数：2.00）A.若 ABB.若 AB=C.若
3、 AB=D.若 AB=9.设 X 1 ，X 2 ，X n ，为独立同分布序列，且 X 服从参数为 的指数分布，则当 n 充分大时，Z n = （分数：2.00）A.N(2，4)B.C.D.N(2n，4n)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xe x -ye y =ze z 所确定，则 du= 1.（分数：2.00）填空项 1:_12.定积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 (x+2y+3z)d
4、xdydz= 1.（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为 3 阶方阵，如果 A -1 的特征值是 1，2，3，则A的代数余子式 A 11 +A 22 +A 33 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 和 B 独立，P(A)=05，P(B)=06，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明存在一点 a，b，使 a b f(x)g(x)dx=f() a b g(x)dx（分数：2.00）_18.计
5、算 ，其中为下半球面 （分数：2.00）_19.设 z=z(x，y)是由方程 确定的隐函数，且具有连续的二阶导数证明： （分数：2.00）_20.已知曲线 L 的方程为 （分数：2.00）_21.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(a)=g(b)=1，在(a，b)内 f(x)，g(x)可导，且 g(x)+g(x)0，f(x)0证明： （分数：2.00）_22.设方程组 （分数：2.00）_23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 1 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 2 ) 2 ， ()求二次型 f 的秩； ()求正交变换 Q，使二
6、次型 f 化为标准形（分数：2.00）_24.设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_25.设(X，Y)的分布律为 F(x，y)为(X，Y)的分布函数，若已知 Cov(X，Y)= （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 470 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导且 f(x)在 x=0 处连续 D.可导但 f(x)在 x=0 处不连续解析：解析：先考查
7、在 x=0 处 f(x)是否可导；若可导，则进一步考查 f(x)的连续性，否则只考查 f(x)的连续性 当 x0 时，f(x)=arctan 当 x0 时，f(x)=arctan 所以3.若函数 f(x)的二阶导数连续，且满足 f(x)-f(x)=x，则 - f(x)cosxdx=( )（分数：2.00）A.f()-f(-)B. C.f()-f(-)D.解析：解析：利用对称区间上奇函数的定积分为零的性质及定积分的分部积分法即可 - f(x)cosxdx= - f(x)dsinx=f(x)sinx - - - f(x)sinxdx = - f(x)dcosx=f(x)cosx - - - f(x
8、)cosxdx =f(-)-f()- - f(x)cosxdx =f(-)-f()- - f(x)+xcosxdx =f(-)-f() - f(x)cosxdx- - xcosdx =f(-)-f()- - f(x)cosxdx-0 =f(-)-f()- - f(x)cos xdx， 移项，得 - f(x)cosxdx= 4.极限 （分数：2.00）A.0 B.1C.-1D.2解析：解析：因为 所以5.设 F(x)= （分数：2.00）A.1 B.2C.3D.不存在解析：解析：由 F - (0)与 F + (0)便可得 F(0) 当 x0 时，令 u=xt，则 ，从而 0 1 f(xt)dt=
9、 0 x f(u). du= 0 1 f(u)du 于是由导数定义： 6.设 n 维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则对任意常数 k 必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关 B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关解析：解析：设有一组数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，满足 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 (k 1 + 2 )=0，
10、 若 4 =0，则有条件 1 = 2 = 3 =0，从而推出 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关 若 4 0，则 k 1 + 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性 表示，而 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，故 2 也可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，矛盾，所以， 4 =0，从而(A)项正确对于其余三个选项，也可用排除法 当 k=0 时，可排除(B)、(C)项；当 k=1 时，可排除(D)项 故应选(A)7.下列各组矩阵相似的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为相似矩阵的秩相等，由 的秩为 1，而 的秩为 2，故(A)项中的矩阵不能相似 因为相似矩阵
11、的行列式的值相等，由于 =8，故(C)项中的矩阵不相似 因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等由于 的对角线元素之和为 6，而 的对角线元素之和为 4，故(D)中的矩阵不相似因此只能选(B) 事实上， 都与对角矩阵 相似，因而8.对于任意两个事件 A 和 B，( )（分数：2.00）A.若 ABB.若 AB= C.若 AB=D.若 AB=解析：解析：由 AB 推不出 P(AB)=P(A)P(B)，因此推不出事件 A，B 一定独立，排除(A)项； 若AB=9.设 X 1 ，X 2 ，X n ，为独立同分布序列，且 X 服从参数为 的指数分布，则当 n 充分大时，Z n = （分数：2.00）
12、A.N(2，4)B. C.D.N(2n，4n)解析：解析：E(X)= =2，D(X)= =4，则当 n 充分大时， X i 近似服从 N(2n，4n)，可者 X i 近似服从 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x+*）解析：解析：直接用斜渐近线方程公式进行计算即可 因为 =1 故所求斜渐近线方程为 y=x+故应填 y=x+11.设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xe x -ye y =ze z 所确定，则 du= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
13、析：解析：利用多元函数全微分公式与隐函数求导法即可得 设 F(x，y，z)=xe x -ye y -ze z ，则 F x =(x+1)e x ，F y =-(y+1)e y ，F z =-(z+1)e z 12.定积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用定积分的性质、换元积分法及恒等式： arctane x +arctane -x I= -sinx.arctane x .dx+ sinx.arctane x .dx 对于积分 -sinx.arctane x dx sint.arctane -t (-dt) = sint.arctane -t .
14、dt= sinx.arctane -x dx 代入上式，于是，故应填 13.设 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 (x+2y+3z)dxdydz= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在直角坐标系中将三重积分化为三次积分计算 利用轮换对称性，知 ，于是 (x+2y+3z)dxdydz= xdxdydz=6 0 1 xdx 0 1-x dy 0 1-x-y dz = 0 1 xdx 0 1-x (1-x-y)dy=3 0 1 (x-2x 2 +x 3 )dx 故应填 14.设 A 为 3 阶方阵，如果 A -1 的特征值是 1，
15、2，3，则A的代数余子式 A 11 +A 22 +A 33 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：注意到 A 11 +A 22 +A 33 恰为伴随矩阵 A * 的主对角线元素之和，即 A * 的迹，再由结论：方阵的迹等于特征值的和，只需求出 A * 的特征值即可 因为 A -1 的特征值为 1，2，3，所以A -1 =123=6，从而A= 又因为 AA * =AE= E，所以 A * = A -1 故 A * 的特征值为 所以 A 11 +A 22 +A 33 = 15.设 A 和 B 独立，P(A)=05，P(B)=06，则 （分数：2.00）填空
16、项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用条件概率公式、概率基本性质以及事件的独立性计算结果 故应填三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明存在一点 a，b，使 a b f(x)g(x)dx=f() a b g(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(x)0，由最值定理，知 f(x)在a，b上有最大值 M 和最小值 m，即 mf(x)M， 故 mg(x)f(x)g(x)Mg(x
17、)所以 a b mg(x)dx a b f(x)g(x)dx a b Mg(x)dx， 即 m M 由介值定理知，存在 a，b，使 )解析：18.计算 ，其中为下半球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 补一块有向平面 S - ： 其法向量与 z 轴正向相反，从而得到 其中， 为+S - 围成的空间区域，D 为 z=0 上的平面区域 x 2 +y 2 a 2 于是 )解析：解析：由于已知积分曲面是非封闭曲面，因此补上一块有向曲面 S - ，使+S - 构成封闭曲面，然后利用高斯公式即可19.设 z=z(x，y)是由方程 确定的隐函数，且具有连续的二阶导数证明： （分数：2.00）_正
18、确答案：(正确答案：对方程两边分别对 x，y 求导，可得 由此解得 ，所以， 将上式分别对 x，y 求导，得 x，y，相加得到 )解析：解析：利用隐函数求偏导数的方法是直接求偏导数；并注意在求导过程中将 z 看作因变量，x，y看作自变量，求出相应的偏导数并整理即可得所求的结论20.已知曲线 L 的方程为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：参数法 由 L 的方程： 知若以 为参数，则 L 的方程可表示为 所以 I= L (y+z)dx+(z 2 -x 2 +y)dy+x 2 y 2 dz = +cos).sin+2sin.cos-2cos 2 .sin 3 d = -sin.cos+2c
19、os 2 .sin 3 )d = (2sin 2 .cos-1)sin.cosd )解析：解析：本题可采用两种方法计算曲线积分：一种方法是直接将曲线积分化为定积分；另一种方法是利用斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分进行计算21.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(a)=g(b)=1，在(a，b)内 f(x)，g(x)可导，且 g(x)+g(x)0，f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x g(x)，则由题设可知 f(x)，(x)在a，b上满足柯西中值定理，于是存在 (a，b)，使得 又因为 g(a)=g(b)=1，所以 又令 (x)=e x
20、 ，则 f(x)，(x)在a，b上满足柯西中值定理，于是存在 (a，b)，使得 由(*)、(*)可得 )解析：解析： ，将 和 均看作变量，则上式可写成 22.设方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()将方程组(i)改写为 令 ，得(i)的基础解系 1 =(0，-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，0，1) T ， 故方程组(i)的通解为 k 1 1 +k 2 2 ，k 1 ，k 2 为常数 又将方程组(ii)改写为 令 ，得(ii)的基础解系 1 =(0，1，0，-2) T ， 2 =(-2，0，1，0) T ， 故方程组(ii)的通解为 k 1 1 +k 2 2 ，k 1
21、 ，k 2 为常数 (11)联立方程组(i)和(ii)，求得的通解即为公共解 对系数矩阵 A 进行初等行变换，可得 )解析：解析：若两个方程组都给了一般表示式，则求公共解，只需联立求通解即可23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 1 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 2 ) 2 ， ()求二次型 f 的秩； ()求正交变换 Q，使二次型 f 化为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()实对称矩阵 A 的特征多项式为 E-A=(-1) 2 (-3)， 故 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =3于是，A 与对角矩阵 相似，又因为
22、A 与 B 相似，故 B 也与对角矩阵 相似，因此，B 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =3，且 R(E-B)=1， 又因为 x+5= 1 + 2 + 3 =5，解得 x=0 由 得 y=-2，z=3 ()经计算可知，将实对称矩阵 A 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 P 1 = ，即 P 1 -1 AP 1 = 把矩阵 B 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 P 2 = ，即 P 2 -1 BP 2 = 取 P=P 1 P 2 -1 = 有 PAP=P 2 P 1 -1 AP 1 P 2 -1 =P 2 )解析：解析：将 A，B 分别与同一个对角阵相似，再由相似的传递性，可得 A，B 相似
23、24.设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()X 的概率密度为 f X (x)= 在 X=x(0x1)的条件下，Y 的条件概率密度为 当 0yx1 时，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x，y)=f X (x)f YX (yx)= 在其他点处，有 f(x，y)=0，即 ()当 0y1 时，Y 的概率密度为 f Y (y)= - + f(x，y)dx= y 1 dx=-lny； 当 y0 或 y1 时，f Y (y)=0因此 ()PX+Y1 )解析：解析：利用条件密度公式求出 f(x，y)，再利用 f(x，y)求边缘密度及概率25.设(X
24、，Y)的分布律为 F(x，y)为(X，Y)的分布函数，若已知 Cov(X，Y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 T=X 1 +X 2 ，其中 X 1 ，X 2 分别表示两台仪器无故障时的工作时间 因为 XE(5)(i=1，2)且相互独立，故 X 1 ，X 2 的密度函数为 则由卷积公式 f(t)- - + f X (t-y)f Y (y)dy，可得 ()因为 X i E(5)(i-1，2)且相互独立，由 E(X i )= ，D(X i )= (i=1，2)，可得 E(T)=E(X 1 +X 2 )=E(X 1 )+E(X 2 )= D(T)=D(X 1 +X 2 )=D(X 1 )+D(X 2 )= )解析：解析：先求随机变量之和的分布，再利用指数分布求期望和方差
