1、考研数学（数学一）模拟试卷 469 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 为自然数，则 （分数：2.00）A.nB.2nC.3nD.4n3.曲面 z= （分数：2.00）A.2x+y+z-3=0B.2x+2y-z-3=0C.2x+2y+z-3=0D.2x+2y-z+3=04.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充要条件为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 （分数：2.00）A.若 ，则级数 B.若存在非零常数 ，使得
2、C.若级数D.若级数 a n 发散，则存在非零常数 ，使得 6.已知 n 维向量组(i) 1 ， 2 ， s 和(ii) 1 ， 2 ， t 的秩都为 r，则下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.若 s=t，则向量组(i)与(ii)等价B.若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价C.若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向囊组(i)与(ii)等价D.若向量组(iii)： 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 的秩为 r，则向量组(i)和(ii)等价7.矩阵 与( )相似 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，
3、2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 a=PXY，b=PYZ)，则( )（分数：2.00）A.abB.abC.a=bD.无法确定9.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 ， 2 均未知现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 =20cm，样本标准差 S=1cm，则 的置信度为 090 的置信区间是( )(其中 t a (n是上侧分位点) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.欧拉方程 x 2 y+xy-4y=x 3 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_12.设数量场 （分数：2
4、.00）填空项 1:_13.直线 L 1 ：x-1= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 D n = （分数：2.00）填空项 1:_15.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的样本，若估计量 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)在a，+)上可导，且当 xa 时，f(x)k0(忌为常数)证明：如果 f(a)0，则方程f(x)=0 在区间 （分数：2.00）_18.设 y 1 =x，y 2 =x+e 2x ，y 3 =x(1+e 2x )是二阶常系数
5、线性非齐次方程的解，求该微分方程的通解及该方程（分数：2.00）_19.设函数 y=f(x)有二阶导数，且 f(x)0，f(0)=0，f(0)=0，求 （分数：2.00）_20.已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2 +y 2 +xy=3，求 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数（分数：2.00）_21.求幂级数 （分数：2.00）_22.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 维列向量，满足 2 ， 3 ， 4 线性无关，且 1 + 3 =2 2 令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，= 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：2.00）_
6、23.设 A 是一个 n 阶方阵，满足 A 2 =A，R(A)=s 且 A 有两个不同的特征值 ()试证 A 可对角化，并求对角阵 A； ()计算行列式A-2E（分数：2.00）_24.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为 （分数：2.00）_25.已知 X 1 ，X n 为总体 X 的一组样本，总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 469 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 为自然数，
7、则 （分数：2.00）A.nB.2nC.3nD.4n 解析：解析：由于 注意到sint是以 为周期的函数，则3.曲面 z= （分数：2.00）A.2x+y+z-3=0B.2x+2y-z-3=0 C.2x+2y+z-3=0D.2x+2y-z+3=0解析：解析：令 F(x，y，z)= +y 2 -z，则 F x =x，F y =2y，F z =-1由条件知所求平面的法向量 n=(F x ，F y ，F z )=(x，2y，-1)平行于已知平面的法向量，n 1 =(2，2，-1)，从而有 ，由此得 x=2，y=1，z= 4.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充要条件为( ) （分数
8、：2.00）A.B. C.D.解析：解析：排除法 对于(A)选项，取 f(x)=x，则 极限存在，但 f(x)=x在 x=0 处不可导，故排除(A)； 对于(C)选项，仍取 f(x)=x，有 极限存在，但 f(x)在 x=0 处不可导，故排除(C)项； 对于(D)选项，取 f(x)= 则5.设 （分数：2.00）A.若 ，则级数 B.若存在非零常数 ，使得 C.若级数D.若级数 a n 发散，则存在非零常数 ，使得 解析：解析：取 a n = 发散，则排除(A)、(D)项； 又取 a n = 6.已知 n 维向量组(i) 1 ， 2 ， s 和(ii) 1 ， 2 ， t 的秩都为 r，则下列
9、命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.若 s=t，则向量组(i)与(ii)等价 B.若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价C.若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向囊组(i)与(ii)等价D.若向量组(iii)： 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 的秩为 r，则向量组(i)和(ii)等价解析：解析：取向量组(i)： 1 = 7.矩阵 与( )相似 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：令矩阵 A= ，则 A 的特征值为 1 和 2 而(A)选项中矩阵的特征值为-1 和-2，故矩阵 A不与(A)选项的矩阵相似 又因为 =2，而(B)选项中 =0
10、，(C)选项中 =-2，故矩阵 A 不与(B)、(C)选项的矩阵相似 所以，矩阵 A 与(D)选项的矩阵相似 事实上， 均与对角阵 相似再由相似的传递性，8.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 a=PXY，b=PYZ)，则( )（分数：2.00）A.ab B.abC.a=bD.无法确定解析：解析：因为 X-YN(-1，4)，Y-ZN(-1，9)，则 a=PXY=PX-Y0= b=PYZ)=PY-Z0)=9.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 ， 2 均未知现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 =20cm，样本标准差 S
11、=1cm，则 的置信度为 090 的置信区间是( )(其中 t a (n是上侧分位点) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由正态总体抽样分布的性质知， ，故 的置信度为 090 的置信区间是二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.欧拉方程 x 2 y+xy-4y=x 3 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 x 2 + ）解析：解析：令 x=e t ，则 原方程化为D(D-1)+D-4y=e 3t ，即 (D 2 -4)y=e 3t ， (*) 方程(*)对应的齐次方程的特征方程为 r 2 -4=0，有根 r 1 =2，r 2 =
12、-2，故齐次方程的通解为 Y=C 1 e 2t +C 2 e -2t =C 2 x 2 + 因为 f(t)=e 3t ，=3 不是特征方程的根，故可令 y * =ae 3t 是方程(*)的一个特解，代入原方程 x 2 y+xy-4y=x 3 中，解得 a= ，即 y * = e 3t ，因此原方程的通解为 y=Y+y * =C 1 x 2 + x 3 故应填 y=C 1 x 2 + 11.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：利用比值法或根值法先求 l，再由 R= 即可 由于 则 R=12.设数量场 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
13、案：*）解析：解析：由题可得13.直线 L 1 ：x-1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arccos*）解析：解析：先利用两向量的向量积求出 L 2 的方向向量，再由数量积便可得 L 1 的方向向量 S 1 =1，2，1，L 2 的方向向量 S 2 为 S 2 = =-i-j+2k， 因此所求夹角 a 满足： 则 a=arccos 故应填 arccos 14.设 D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!）解析：解析：利用公式 D n =a i1 A i1 +a i2 A i2 +a in A in ， 0=a i1 A i1 +a i
14、2 A j2 +a in A jn (ij) 因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以 1.A 11 +1.A 12 +1.A 1n =D n =n! 因第一行元素与第 i(i2)行对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以 1.A i1 +1.A i2 +1.A in =0 故所有元素代数余子式之和为 n! 故应填 n!15.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的样本，若估计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 = 2 ，从而得到 k (X i+1 -X i ) 2 = E(X i+1 -X i ) 2 = D(X i+
15、1 -X i )+E(X i+1 -X i ) 2 = 2 2 =2k(n-1) 2 ， 令 故应填 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)在a，+)上可导，且当 xa 时，f(x)k0(忌为常数)证明：如果 f(a)0，则方程f(x)=0 在区间 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先证根的存在性由题设知，f(x)在 上满足拉格朗日中值定理条件，故有即 (因为 f(a)0，f()k0)， 又 f(a)0，由零点定理知，方程 f(x)=0 在 内有实根 再由 f(x)0(xa)且 f(x
16、)在 xa 处连续知，f(x)在 上单调减少，故方程 f(x)=0 在)解析：解析：先利用拉格朗日中值定理及零点定理证明根的存在性；再利用函数的单调性证明根的唯一性18.设 y 1 =x，y 2 =x+e 2x ，y 3 =x(1+e 2x )是二阶常系数线性非齐次方程的解，求该微分方程的通解及该方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求二阶常系数线性非齐次方程为 y+a 1 y+a 2 y=f(x)， (*) y+a 1 y+a 2 y=f(x) (*) 对应的齐次方程为 y+a 1 y+a 2 y=0， (*) y+a 1 y+a 2 y=0， (*) 由非齐次方程与齐次方程解的
17、关系，可知 y 2 -y 1 =e 2x ，y 3 -y 1 =xe 2x 是方程(*)的解， 又因为 )解析：解析：由二阶线性非齐次微分方程与其对应的齐次微分方程的解之间的关系，先求出微分方程的通解，再由通解形式求出微分方程19.设函数 y=f(x)有二阶导数，且 f(x)0，f(0)=0，f(0)=0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点 p(x，f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f(x)(X-x)， 令 Y=0，则有 X=x- ，且有 由 f(x)在 x=0 处的二阶泰勒公式 )解析：解析：先求出曲线在点 P(x，f(z)处的切线方程，进而得其在 x
18、轴上的截距 u；再写出 f(x)在 x=0处的二阶泰勒展开式，代入表达式求极限即可20.已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2 +y 2 +xy=3，求 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知 f x (x，y)=1+y，f y (x，y)=1+x，于是梯度为 gradf(x，y)=f x .i+f y .j=(1+y)i+(1+x)j， 由梯度与方向导数 的关系，知 于是问题转化为求函数 H(x，y)=在约束条件 C：x 2 +y 2 +xy=3 下的最大值 为计算方便可将问题转化为求函数 T(x，y)=H 2 (x，y)=
19、(1+y) 2 +(1+x) 2 在条件 C：x 2 +y 2 +xy=3 下的最大值，于是由拉格朗日乘法，令 F(x，y，)=(1+y) 2 +(1+x) 2 +(x 2 +y 2 +xy-3) 则 解得 于是得下列可疑点：A 1 (1，1)，A 2 (-1，-1)，A 3 (2，-1)，A 4 (-1，2) 所求最大值为 maxH(1，1)，H(-1，-1)，H(2，-1)，H(-1，2)=max )解析：解析：先求函数 f(x，y)在点(x，y)处的梯度 gradf(x，y)，再求梯度的模gradf(x，y)；最后求 gradf(x，y)在约束条件 C：x 2 +y 2 +xy=3 下的
20、最大值21.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 I= 0 1 xf 3 (x)dx 0 1 f 2 (x)dx- 0 1 f 3 (x)dx 0 1 xf 2 (x)dx = D xf 3 (x)f 2 (y)dxdy- D f 3 (x)yf 2 (y)dxdy = D f 3 (x)f 2 (y)(x-y)dxdy 同理，可得 I= D f 2 (x)f 3 (y)(y-x)dxdy，其中，D=(x，y)0x1，0y1 将(*)、(*)相加，并注意到假设及(x-y)f(x)-f(y)0， 故 2I= D f 2 (x)f 2 (y)(x-y)f(x)-f(y)dxdy
21、0， 即I0，由此可推知命题成立)解析：22.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 维列向量，满足 2 ， 3 ， 4 线性无关，且 1 + 3 =2 2 令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，= 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非零公共解为 ，则 既可由 1 和 2 线性表示，也可由 1 和 2 线性表示 设 =x 1 1 +x 2 2 =-x 3 1 -x 4 2 ，则 x 1 1 +x 2 2 +x 3 1 +x 4 2 =0 ( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )= r0 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 不
22、全为零 R( 1 ， 1 ， 1 ， 2 )4 a=0 当 a=0 时， 解得 )解析：23.设 A 是一个 n 阶方阵，满足 A 2 =A，R(A)=s 且 A 有两个不同的特征值 ()试证 A 可对角化，并求对角阵 A； ()计算行列式A-2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 相似，所以A=B，且 tr(A)=tr(B)， 即 =(-3)(+5)+16= 2 +2-15+16 = 2 +2+1=(+1) 2 故 A 的两个特征值为-1，-1 但(-E-A)= 因此R(-E-A)=1，所以不能对角化 设 P= ，满足 P -1 AP=B，即有 AP=PB，从而 整理得
23、解得基础解系为 1 = 所以 ，k 1 ，k 2 为非零常数 令 k 1 =k 2 = )解析：24.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，其联合概率密度函数为 若区域 D 表示为 D=(x，y)0x1，0yz(x，y)1x2，x-1y1，则 X 的边缘概率 密度函数为 若区域 D 表示为 D=(x，y)0y1，yxy+1，则 Y 的边缘概率密度函数为 所以f(x，y)=f X (x).f Y (y)，即 X 与 Y 不相互独立 ()将 D=(x，y)0y1，yxy+1转化为 yOz平面的区
24、域，则 D=(y，z)0y1，yz+yy+1=(y，z)0y1，0z1 于是由卷积公式可得随机变量函数 Z 的概率密度函数为 ()因为 E(xy)= 0 1 dyxydx= y y+1 (y 2 + E(X)= - + xf X (x)dx= 0 1 xdx+ 1 2 x(2-x)dx=1； E(Y)= - + xf Y (y)dy= 0 1 ydy= 所以 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)= )解析：25.已知 X 1 ，X n 为总体 X 的一组样本，总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()似然函数为 解得 所以 的最大似然估计量为 () 而 E(X 2 )= - + x 2 f(x)dx= 0 + =2， 所以 故 )解析：解析：先求参数 的最大似然估计量，再利用
