1、考研数学（数学一）-试卷 68及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f “ (x)0，且 f(1)=f “ (1)=1，则( )（分数：2.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xB.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)xD.在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x3.已知函数 f(x)具有任意阶导
2、数，且 f “ (x)=f(x) 2 ，则当 n为大于 2的正整数时，f(x)的 n阶导数，则 f n (x)为( )（分数：2.00）A.n!f(x) n+1B.nf(x) n+1C.f(x) 2nD.n!f(x) 2n4.考虑二元函数的下面 4条性质 ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用 P Q表示可由性质 P推出性质 Q，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)=x
3、2 ，0x1，而 S(x)= ，其中 b n =2 0 1 sinnxdx，n=1，2，3，则 S(- 1/2)等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解7.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A.A -1 A nB. -1 AC.AD.A n8.已知 0P(B)1，且 P(A 1 +A 2 )B=P(A 1 B)+P(A 2
4、B)，则下列选项必然成立的是( )（分数：2.00）A.P(A 1 +A 2 ) =P(A 1 )+P(A 2 B.P(A 1 B+A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)C.P(A 1 +A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )9.设随机变量 X与 Y服从正态分布，XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，记 p 1 =Px-4)，p 2 =Y+5，则( )（分数：2.00）A.对任何实数 ，都有 p 1 =p 2B.对任何实数 ，都有 p 1 p 2C.只对 的个别值，才有 p 1 =p 2D.对任何实
5、数 ，都有 p 1 p 2二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.若 g(x) （分数：2.00）填空项 1:_11.设准线方程为 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_14.若矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.X，Y 相互独立，同服从 U(0，2)，即(0，2)上的均匀分布，Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设：x 2 /2 +
6、 y 2 /2 +z 2 =1(z0)点 P(x，y，z)， 为曲面在点 P处的切平面，d(x，y，z)为点 0(0，0，0)到平面 的距离，计算 （分数：2.00）_18.计算三重积分 ，其中 Q是由曲线 （分数：2.00）_19.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A的污水量为 V/6，流入湖泊内不含 A的水量为 V/6，流出湖的水量为 V/3设 2010年底湖中 A的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2011年初开始，限定排入湖中含 A污水的浓度不超过可 m 0 /V，问至多经过多少年，湖中污染物 A的含量降到 m 0 以内(设湖中 A的浓度是均匀的)?（分
7、数：2.00）_20.将函数 f(x)= （分数：2.00）_21.设 f(x)，g(x)在-a，a上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A为常数)()证明 ()利用()的结论计算定积分 （分数：2.00）_22.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=ax 1 2 +2 2 2 +(-2 3 2 )+2bx 3 2 (b0)，其中二次矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为-12 ()求 a，b 的值； ()利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵（分数：2.0
8、0）_24.两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时，停用而另一台自动开动 试求两台记录仪无故障工作的总时间 7的概率密度 f(t)、数学期望和方差（分数：2.00）_25.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为 72分，96 分以上的占考生总数的 23，试求考生的外语成绩在 60分到 84分之间的概率，如下表： （分数：2.00）_考研数学（数学一）-试卷 68答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
9、题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f “ (x)0，且 f(1)=f “ (1)=1，则( )（分数：2.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x B.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)xD.在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x解析：解析：设 (x)=f(x)-x，则 “ (x)=f “ (x)-1， “ (x)=f “ (x)， 由 f “ (x)0 得 “ (x)0，故 “ (x)单调减少， 则当 x1 时， “ (x)
10、“ (1)=f “ (1)-1=0，当 x1 时， “ (x) “ (1)=0， 则 (x)在 x=1处取得极大值， 当 x(1-，1)(1，1+)时 (x)(1)=f(1)-1=0，即 f(x)x故应选(A)3.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f “ (x)=f(x) 2 ，则当 n为大于 2的正整数时，f(x)的 n阶导数，则 f n (x)为( )（分数：2.00）A.n!f(x) n+1 B.nf(x) n+1C.f(x) 2nD.n!f(x) 2n解析：解析：为方便记 y=f(x)，由 y “ =y 2 ，逐次求导得 y “ =2yy “ =2y 3 ，y “ =3!y 2 y
11、 “ =3!y 4 ，归纳可证 y (n) =n!y n+1 应选(A)4.考虑二元函数的下面 4条性质 ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用 P Q表示可由性质 P推出性质 Q，则有( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续，则 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f(
12、x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续，所以 5.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 S(x)= ，其中 b n =2 0 1 sinnxdx，n=1，2，3，则 S(- 1/2)等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：S(x)是函数 f(x)先作奇延拓后再作周期为 2的周期延拓后的函数的傅氏级数的和由于 S(x)是奇函数，于是 S(- 1/2)=-S(1/2)，当 x=1/2时，f(x)连续，由傅氏级数的收敛性定理6.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn
13、 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解 解析：解析：由题设，AB 是 mm矩阵，则 x为 m维列向量 由已知，r(A)n 且 r(A)m，r(B)m，且 r(B)n， 而 r(AB)min(r(A)，r(B)，因此 r(AB)m，且 r(AB)n 当 mn 时，r(AB)nm，因此(AB)x=0 必有非零解， 即(D)成立，同理可排除(A)、(B)、(C)，所以选(D)7.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A.A -1 A nB. -1 A C.AD.A n解析：解析：涉及 A * 的问题，注意利用公式 AA * =A
14、 * A=AE 由题设 是 A的一个特征值，则存在 x0，使得 Ax=x， 于是 A * Ax=A * x，把 AA * =AE 层代入上式得 1/Ax=A * x， 即1/ A是 A * 的一个特征值故应选(B)8.已知 0P(B)1，且 P(A 1 +A 2 )B=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则下列选项必然成立的是( )（分数：2.00）A.P(A 1 +A 2 ) =P(A 1 )+P(A 2 B.P(A 1 B+A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B) C.P(A 1 +A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A
15、2 )P(BA 2 )解析：解析：由 P(A 1 +A 2 )B=P(A 1 B)+P(A 2 B) 得到 9.设随机变量 X与 Y服从正态分布，XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，记 p 1 =Px-4)，p 2 =Y+5，则( )（分数：2.00）A.对任何实数 ，都有 p 1 =p 2 B.对任何实数 ，都有 p 1 p 2C.只对 的个别值，才有 p 1 =p 2D.对任何实数 ，都有 p 1 p 2解析：解析：只需将 x，y 标准化，由题设，把 X，Y 标准化有 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.若 g(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
16、0）解析：解析：11.设准线方程为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：柱面的母线方程可表示为 12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e）解析：解析：13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.若矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.X，Y 相互独立，同服从 U(0，2)，即(0，2)上的均匀分布，Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2/3）解析：解析：Pmin(X，Y)
17、1=PX1Y1=PX1+PY1-PX1，Y1=2/3三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设：x 2 /2 + y 2 /2 +z 2 =1(z0)点 P(x，y，z)， 为曲面在点 P处的切平面，d(x，y，z)为点 0(0，0，0)到平面 的距离，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.计算三重积分 ，其中 Q是由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由曲线 绕 z轴旋转一周而成的旋转面方程是 x 2 +y 2 =2z 于是， 是由旋转抛物面 z=1/2(x 2 +y
18、 2 )与平面 z=4所围成，曲面与平面的交线是 x 2 +y 2 =8，z=4 选用柱会标变换，令 x=rcos，y=rsin，z=z 并选取先 rz后 的积分顺序， 极角为 的半平面与 相截得D()，于是 ：02，(r，z)D()，D()：0z4，0r 即：02，0z4，0r 因此 )解析：19.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A的污水量为 V/6，流入湖泊内不含 A的水量为 V/6，流出湖的水量为 V/3设 2010年底湖中 A的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2011年初开始，限定排入湖中含 A污水的浓度不超过可 m 0 /V，问至多经过多少年，湖中
19、污染物 A的含量降到 m 0 以内(设湖中 A的浓度是均匀的)?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设从 2011年初开始，第 t年湖中污染物 A的总量为 m，则浓度为 m/V，任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A的含量为 ，流出湖的污染物 A的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A的改变量为 )解析：20.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)，g(x)在-a，a上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A为常数)()证明 ()利用()的结论计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
20、知 arctane x +arctane -x 为常数，取 x=0得，arctane x +arctane -x =arctan1+arctan1=/2， 所以 f(x)+f(-x)=/2， )解析：22.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知方程组()中方程组个数未知数个数，从而()必有无穷多解，所以()必有无穷多解所以()的系数行列式必为 0，即 对()系数矩阵作初等变换，有 可得方程组()的通解为 k(-1，-1，1) T ，其中 k为任意常数 由于(-1，-1，1) T 是方程组()的解，故有 解得 b=1，c=2，或 b=0，c=1 当 b=0，c
21、=1 时，方程组()为 )解析：23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=ax 1 2 +2 2 2 +(-2 3 2 )+2bx 3 2 (b0)，其中二次矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为-12 ()求 a，b 的值； ()利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设，二次型 f相应的矩阵为 A= 设 A的 3个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，则由已知条件知 1 + 2 + 3 =1， 1 2 3 =-12；利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个
22、关系，得 ，可求出 b=2，即 a=1，b=2 ()由A-E=0，即 ，可求出 A的特征值为 1 = 2 =2， 3 =-3不难求得对应于 1 = 2 =2的特征向量为 1 = 对应于 3 =-3的特征向量为 3 = ，对 1 ， 2 ， 3 正交规范化，得 令矩阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )= 则 P为正交矩阵，在正交变换 x=Py下，其中 y= )解析：24.两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时，停用而另一台自动开动 试求两台记录仪无故障工作的总时间 7的概率密度 f(t)、数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确
23、答案：由题设，设先开动的一台记录仪的无故障工作时间为 T 1 ，后开动的一台记录仪的无故障工作时间为 T 2 ，则由已知，T i 的概率密度为 f i (x)= 且显然 T 1 与 T 2 独立 由于T=T 1 +T 2 ，则由卷积公式可得出当 t0 时 T的概率密度，即 所以 T的概率密度为 f(t)= 又 T i 服从参数为 5的指数分布，则 )解析：25.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为 72分，96 分以上的占考生总数的 23，试求考生的外语成绩在 60分到 84分之间的概率，如下表： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X为考生的外语成绩，由题设知 XN(72， 2 )，且 PX96=23=0023 由(x)的数值表知 24/=2，=12，这样 XN(72，12 2 )，所求概率为 )解析：解析：正态分布 N(， 2 )由数学期望 和方差 2 唯一决定，而 =72，因此要计算P(60X84)，只要由 PX96求出 2 即可
