1、2014 年湖南省湘潭市中考真题数学 一、选择题 1.(3 分 )下列各数中是无理数的是 ( ) A. B. -2 C. 0 D. 解析 ： A、正确； B、是整数，是有理数，选项错误； C、是整数，是有理数，选项错误； D、是分数，是有理数，选项错误 . 答案： A. 2.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a+a2=a3 B. 2-1= C. 2a 3a=6a D. 2+ =2 解析 ： A、原式不能合并， 答案： 项错误； B、原式 = ， 答案： 项正确； C、原式 =6a2， 答案： 项错误； D、原式不能合并， 答案： 项错误 . 答案： B. 3.(3 分 )如图， AB
2、 是池塘两端，设计一方法测量 AB 的距离，取点 C，连接 AC、 BC，再取它们的中点 D、 E，测得 DE=15 米，则 AB=( )米 . A. 7.5 B. 15 C. 22.5 D. 30 解析 ： D 、 E 分别是 AC、 BC 的中点， DE=15 米， AB=2DE=30 米， 答案： D. 4.(3 分 )分式方程 的解为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ： 去分母得： 5x=3x+6，移项合并得： 2x=6，解得： x=3，经检验 x=3 是分式方程的解 . 答案： C. 5.(3 分 )如图，所给三视图的几何体是 ( ) A. 球 B. 圆柱 C.
3、 圆锥 D. 三棱锥 解析 ： 主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥 . 答案： C. 6.(3 分 )式子 有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x 1 B. x 1 C. x1 D. x1 解析 ： 根据题意，得 x-10 ，解得， x1 . 答案： C. 7.(3 分 )以下四个命题正确的是 ( ) A. 任意三点可以确定一个圆 B. 菱形对角线相等 C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 平行四边形的四条边相等 解析 ： A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误； C、正确； D
4、、平行四边形的四条边不一定相等 . 答案： C. 8.(3 分 )如图， A、 B 两点在双曲线 y= 上，分别经过 A、 B 两点向轴作垂线段，已知 S 阴影 =1，则 S1+S2=( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ： 点 A、 B 是双曲线 y= 上的点，分别经过 A、 B 两点向 x 轴、 y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于 |k|=4， S 1+S2=4+4-12=6 . 答案： D. 二、填空题 9.(3 分 )-3 的相反数是 . 解析 ： -(-3)=3，故 -3 的相反数是 3. 答案： 3. 10.(3 分 )分解因式： a
5、x-a= . 解析 ： ax-a=a(x-1). 答案： a(x-1) 11.(3 分 )未测试两种电子表的走时误差，做了如下统计 则这两种电子表走时稳定的是 . 解析 ： 甲的方差是 0.026，乙的方差是 0.137， 0.026 0.137， 这两种电子表走时稳定的是甲； 答案： 甲 . 12.(3 分 )计算： ( )2-|-2|= . 解析 ： 原式 =3-2=1. 答案： 1. 13.(3 分 )如图，直线 a、 b 被直线 c 所截，若满足 ，则 a、 b 平行 . 解析 ： 1=2 ， ab( 同位角相等两直线平行 )， 同理可得： 2=3 或 3+4=180 时， ab ，
6、答案： 1=2 或 2=3 或 3+4=180 . 14.(3分 )如图， O 的半径为 3， P是 CB延长线上一点， PO=5， PA 切 O 于 A点，则 PA= . 解析 ： PA 切 O 于 A 点， OAPA ， 在 RtOPA 中， OP=5， OA=3， PA= =4. 答案： 4. 15.(3 分 )七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共 589 人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的 2 倍多 56 人 .设到雷锋纪念馆的人数为 x 人，可列方程为 . 解析 ： 设到雷锋纪念馆的人数为 x 人，则到毛泽东纪念馆的人数为 (589-x)人， 由题意得， 2x+5
7、6=589-x. 答案： 2x+56=589-x. 16.(3 分 )如图，按此规律，第 6 行最后一个数字是 ，第 行最后一个数是 2014. 解析 ： 每一行的最后一个数字构成等差数列 1， 4， 7， 10 ， 第 n 行的最后一个数字为 1+3(n-1)=3n-2， 第 6 行最后一个数字是 36 -2=16； 3n-2=2014， 解得 n=672. 因此第 6 行最后一个数字是 16，第 672 行最后一个数是 2014. 答案： 16， 672. 三、综合解答题 17.在边长为 1 的小正方形网格中， AOB 的顶点均在格点上， (1)B 点关于 y 轴的对称点坐标为 ； (2)
8、将 AOB 向左平移 3 个单位长度得到 A 1O1B1，请画出 A 1O1B1； (3)在 (2)的条件下， A1的坐标为 . 解析 ： (1)根据关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答； (2)根据网格结构找出点 A、 O、 B 向左平移后的对应点 A1、 O1、 B1的位置，然后顺次连接即可； (3)根据平面直角坐标系写出坐标即可 . 答案 ： (1)B 点关于 y 轴的对称点坐标为 (-3， 2)； (2)A 1O1B1如图所示； (3)A1的坐标为 (-2， 3). 故答案为： (1)(-3， 2)； (3)(-2， 3). 18.先化简，在求值： ( + ) ，其中
9、 x=2. 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 . 答案 ：原式 = + = = ， 当 x=2 时，原式 = = . 19.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道 .为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工 .为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想过 C 点作直线 AB的垂线 L，过点 B 作一直线 (在山的旁边经过 )，与 L 相交于 D 点，经测量 ABD=135 ， BD=800 米，求直线 L 上距离 D 点多远的 C 处开挖？ ( 1.414 ，精确到 1米 ) 解析 ： 首先证明 BCD 是等腰
10、直角三角形，再根据勾股定理可得 CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800 米进行计算即可 . 答案 ： CDAC ， ACD=90 ， ABD=135 ， DBC=45 ， D=45 ， CB=CD ， 在 RtDCB 中： CD2+BC2=BD2， 2CD2=8002， CD=400 566( 米 )， 答：直线 L 上距离 D 点 566 米的 C处开挖 . 20.如图，将矩形 ABCD 沿 BD 对折，点 A 落在 E处， BE 与 CD 相交于 F，若 AD=3， BD=6. (1)求证： EDFCBF ； (2)求 EBC . 解析 ： (1)首先根据矩形的性质和折叠的性质可得
11、 DE=BC， E=C=90 ，对顶角 DFE=BFC ，利用 AAS 可判定 DEFBCF ； (2)在 RtABD 中，根据 AD=3， BD=6，可得出 ABD=30 ，然后利用折叠的性质可得 DBE=30 ，继而可求得 EBC 的度数 . 答案： (1)由折叠的性质可得： DE=BC， E=C=90 ， 在 DEF 和 BCF 中， ， DEFBCF(AAS )； (2)在 RtABD 中， AD=3 ， BD=6， ABD=30 ， 由折叠的性质可得； DBE=ABD=30 ， EBC=90 -30 -30=30 . 21.某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定
12、购买 A、 B 两种型号的污水处理设备共 8 台，具体情况如下表： 经预算，企业最多支出 89 万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于 1380 吨 . (1)该企业有几种购买方案？ (2)哪种方案更省钱，说明理由 . 解析 ： (1)设购买污水处理设备 A 型号 x 台，则购买 B 型号 (8-x)台，根据企业最多支出 89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于 1380 吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可 . (2)计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案 . 答案 ：设购买污水处理设备 A 型号 x 台，则购买 B 型号 (8-x)台， 根据题意，得 ，解这个不等式组，得：
13、2.5x4.5 . x 是整数， x=3 或 x=4. 当 x=3 时， 8-x=5； 当 x=4 时， 8-x=4. 答：有 2 种购买方案：第一种是购买 3 台 A 型污水处理设备， 5 台 B 型污水处理设备； 第二种是购买 4 台 A 型污水处理设备， 4 台 B 型污水处理设备； (2)当 x=3 时，购买资金为 121+105=62( 万元 )， 当 x=4 时，购买资金为 124+104=88( 万元 ). 因为 88 62， 所以为了节约资金，应购污水处理设备 A 型号 3 台， B 型号 5 台 . 答：购买 3 台 A 型污水处理设备， 5 台 B 型污水处理设备更省钱 .
14、 22.有两个构造完全相同 (除所标数字外 )的转盘 A、 B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜 .现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？ 解析 ： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与 A 大于 B 的有 5种情况， A 小于 B 的有 4 种情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案 ：选择 A 转盘 .画树状图得： 共有 9 种等可能的结果， A 大于 B 的有 5 种情况， A小于 B的有 4种情况， P(A 大于 B)= ， P(A 小于 B)= ， 选择 A 转盘 . 23.从全校 1200 名学生中随机选取一部分学生进行调查，
15、调查情况： A、上网时间 1 小时；B、 1 小时上网时间 4 小时； C、 4 小时上网时间 7 小时； D、上网时间 7 小时 .统计结果制成了如图统计图： (1)参加调查的学生有 人； (2)请将条形统计图补全； (3)请估计全校上网不超过 7 小时的学生人数 . 解析 ： (1)用 A 的人数除以所占的百分比求出总人数； (2)用总人数减去 A、 B、 D 的人数，再画出即可； (3)用总人数乘以全校上网不超过 7 小时的学生人数所占的百分比即可 . 答案 ： (1)参加调查的学生有 20 =200(人 )； 故答案为： 200； (2)C 的人数是： 200-20-80-40=60(
16、人 )，补图如下： (3)根据题意得： 1200 =960(人 )， 答：全校上网不超过 7 小时的学生人数是 960 人 . 24.已知两直线 L1： y=k1x+b1， L2： y=k2x+b2，若 L1L 2，则有 k1k2=-1. (1)应用：已知 y=2x+1 与 y=kx-1 垂直，求 k； (2)直线经过 A(2， 3)，且与 y= x+3 垂直，求解析式 . 解析 ： (1)根据 L1L 2，则 k1 k2=-1，可得出 k 的值即可； (2)根据直线互相垂直，则 k1 k2=-1，可得出过点 A 直线的 k 等于 3，得出所求的解析式即可 . 答案 ： (1)L 1L 2，则
17、 k1 k2=-1， 2k= -1， k= - (2) 过点 A 直线与 y= x+3 垂直， 设过点 A 直线的直线解析式为 y=3x+b， 把 A(2， 3)代入得， b=-3， 解析式为 y=3x-3. 25.ABC 为等边三角形，边长为 a， DFAB ， EFAC ， (1)求证： BDFCEF ； (2)若 a=4，设 BF=m，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S与 m 之间的函数关系，并探究当 m 为何值时 S 取最大值； (3)已知 A、 D、 F、 E 四点共圆，已知 tanEDF= ，求此圆直径 . 解析 ： (1)只需找到两组对应角相等即可 . (2)四边形 ADFE
18、 面积 S 可以看成 ADF 与 AEF 的面积之和，借助三角函数用 m 表示出 AD、DF、 AE、 EF 的长，进而可以用含 m 的代数式表示 S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题 . (3)易知 AF就是圆的直径，利用圆周角定理将 EDF 转化为 EAF .在 AFC 中，知道 tanEAF 、C 、 AC，通过解直角三角形就可求出 AF 长 . 答案 ： (1)DFAB ， EFAC ， BDF=CEF=90 . ABC 为等边三角形， B=C=60 . BDF=CEF ， B=C ， BDFCEF . (2)BDF=90 ， B=60 ， sin60= = ，
19、cos60= = . BF=m ， DF= m， BD= . AB=4 ， AD=4 - .S ADF = AD DF= (4 - ) m=- m2+ m. 同理： SAEF = AE EF= (4 - ) (4-m)=- m2+2 . S=S ADF +SAEF =- m2+ m+2 =- (m2-4m-8)=- (m-2)2+3 .其中 0 m 4. - 0， 0 2 4， 当 m=2 时， S 取最大值，最大值为 3 . S 与 m 之间的函数关系为： S=- (m-2)2+3 (其中 0 m 4). 当 m=2 时， S 取到最大值，最大值为 3 . (3)如图， A 、 D、 F、
20、E 四点共圆， EDF=EAF . ADF=AEF=90 ， AF 是此圆的直径 . tanEDF= ， tanEAF= . = . C=60 ， =tan60= . 设 EC=x，则 EF= x， EA=2x. AC=a ， 2x+x=a .x= .EF= ， AE= . AEF=90 ， AF= = . 此圆直径长为 . 26.已知二次函数 y=-x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点，直线 AC 解析式为 y=kx+4， (1)求二次函数解析式； (2)若 = ，求 k； (3)若以 BC 为直径的圆经过原点，求 k. 解析 ： (1)由对称轴为 x=- ，且函数过 (0， 0)
21、，则可推出 b， c，进而得函数解析式 . (2) = ，且两三角形为同高不同底的三角形，易得 = ，考虑计算方便可作 B， C对 x 轴的垂线，进而有 B， C 横坐标的比为 = .由 B， C 为直线与二次函数的交点，则联立可求得 B， C 坐标 .由上述倍数关系，则 k 易得 . (3)以 BC 为直径的圆经过原点，即 BOC=90 ，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解 k.可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑 (2)的思路，发现 B， C 横纵坐标恰好可表示出 EB， EO， OF， OC.而由 BOC=90 ，易证 EBOFOC ，即 EB FC=EO FO.有此构
22、造方程发现 k 值大多可约去 ，进而可得 k 值 . 答案 ： (1) 二次函数 y=-x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点， - =2， 0=0+0+c， b=4 ， c=0， y= -x2+4x. (2)如图 1，连接 OB， OC，过点 A 作 AEy 轴于 E，过点 B 作 BFy 轴于 F， = ， = ， = ， EBFC ， = = . y=kx+4 交 y=-x2+4x 于 B， C， kx+4= -x2+4x，即 x2+(k-4)x+4=0， =(k -4)2-4 4=k2-8k， x= ，或 x= ， x B xC， EB=x B= ， FC=xC= ， 4 = ， 解得 k=9(交点不在 y 轴右边，不符题意，舍去 )或 k=-1.k= -1. (3)BOC=90 ， EOB+FOC=90 ， EOB+EBO=90 ， EBO=FOC ， BEO=OFC=90 ， EBOFOC ， ， EB FC=EO FO. x B= ， xC= ，且 B、 C 过 y=kx+4， y B=k +4， yC=k +4， EO=y B=k +4， OF=-yC=-k -4， =(k+4) (-k -4)，整理得 16k=-20， k= - .
