1、2014 年湖南省常德市中考真题数学 一、选择题 (本大题 8 个小题，每小题 3分，满分 24 分 ) 1.(3 分 )|-2|等于 ( ) A.2 B.-2 C. D. 解析 ： 根据绝对值的性质可知： |-2|=2. 答案： A. 2.(3 分 )如图的几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从几何体的正面看可得 ， 答案： B. 3.(3 分 )下列各数： ， ， ， cos60 ， 0， ，其中无理数的个数是 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析 ： 据无理数定义得有， 和 是无理数 . 答案： B. 4.(3 分 )下列各式与 是
2、同类二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、 =2 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误； B、 =2 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误； C、 =5 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误； D、 =2 ，故，与 是同类二次根式，故此选项正确； 答案： D. 5.(3 分 )如图，已知 ACBD ， CAE=30 ， DBE=45 ，则 AEB 等于 ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 解析 ： 过 E 作 EFAC ， ACBD ， EFBD ， B=2=45 ， ACEF ， 1=A=30 ， AEB=30+45=75 ， 答案： D. 6
3、.(3 分 )某班体育委员记录了 7 位女生 1 分钟仰卧起坐的个数分别为 28， 38， 38， 35， 35，38， 48，这组数据的中位数和众数分别是 ( ) A. 35， 38 B. 38， 35 C. 38， 38 D. 35， 35 解析 ： 38 出现的次数最多， 38 是众数 . 排序后位于中间位置的数是 38，所以中位数为 38. 答案： C. 7.(3 分 )下面分解因式正确的是 ( ) A.x2+2x+1=x(x+2)+1 B.(x2-4)x=x3-4x C.ax+bx=(a+b)x D.m2-2mn+n2=(m+n)2 解析 ： A、 x2+2x+1=x(x+2)+1，
4、不是因式分解，故此选项错误； B、 (x2-4)x=x3-4x，不是因式分解，故此选项错误； C、 ax+bx=(a+b)x，是因式分解，故此选项正确； D、 m2-2mn+n2=(m-n)2，故此选项错误 . 答案： C. 8.(3 分 )阅读理解：如图 1，在平面内选一定点 O，引一条有方向的射线 Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点 M的位置可由 MOx 的度数 与 OM的长度 m确定，有序数对 ( ，m)称为 M 点的 “ 极坐标 ” ，这样建立的坐标系称为 “ 极坐标系 ” . 应用：在图 2 的极坐标系下，如果正六边形的边长为 2，有一边 OA 在射线 Ox 上，则正六边形的
5、顶点 C 的极坐标应记为 ( ) A. (60 ， 4) B. (45 ， 4) C. (60 ， 2 ) D. (50 ， 2 ) 解析 ： 如图，设正六边形的中心为 D，连接 AD， ADO=3606=60 ， OD=AD， AOD 是等边三角形， OD=OA=2 ， AOD=60 ， OC=2OD=22=4 ， 正六边形的顶点 C 的极坐标应记为 (60 ， 4). 答案： A. 二、填空题 (本大题 8 个小题，每小题 3分，满分 24 分 ) 9.(3 分 )要使式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 . 解析 ： 由题意得， 2x-10 ，解得 x . 答案： x . 10
6、.(3 分 )古生物学家发现 350 000 000 年前，地球上每年大约是 400 天，用科学记数法表示 350 000 000= . 解析 ： 将 350 000 000 用科学记数法表示为： 3.510 8. 答案： 3.510 8. 11.(3 分 )下列关于反比例函数 y= 的三个结论： 它的图象经过点 (7， 3)； 它的图象在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小； 它的图象在二、四象限内 . 其中正确的是 . 解析 ： 73=21 ， 它的图象经过点 (7， 3)，故 正确； k=21 0， 它的图象在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小，故 正确； 它的图象应在第一三象
7、限，故 错误； 答案： . 12.(3 分 )计算： - = . 解析 ： 原式 = - = = . 答案： . 13.(3 分 )一元二次方程 2x2-3x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 . 解析 ： 根据题意得 = (-3)2-42k 0，解得 k . 答案： k . 14.(3 分 )如图， AB 为 O 的直径， CDAB ，若 AB=10， CD=8，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 . 解析 ： 连接 OC， AB 为 O 的直径， AB=10， OC=5 ， CDAB ， CD=8， CE=4 ， OE= = =3. 答案： 3. 15.(3 分 )如图，已
8、知 ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D在 CA 的延长线上，且 DC=BC，AD=AO，若 BAC=80 ，则 BCA 的度数为 . 解析 ： ABC 三个内角的平分线交于点 O， ACO=BCO ， 在 COD 和 COB 中， ， CODCOB ， D=CBO ， BAC=80 ， BAD=100 ， BAO=40 ， DAO=140 ， AD=AO ， D=20 ， CBO=20 ， ABC=40 ， BCA=60 ， 答案： 60 . 16.(3 分 )已知： = ； = ； 计算： = ； 猜想： = . 解析 ： 已 = ； = ； = ； 分子为 n 个 1 相加，结果等
9、于 n； 分母为 n 项相加： (4n+3)+(4n-1)+11+7+3= =n(2n+3) 猜想 = . 答案： ； . 三、 (本大题 2个小题，每小题 5 分，满分 10分 ) 17.(5 分 )计算： (-2)2-2-1+(sin30 -1)0- . 解析 ： 本题涉及乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负指数幂等四个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案 ：原式 =4- +1-4= . 18.(5 分 )解方程： = . 解析 ： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案 ：去分母得
10、： x+2=2，解得： x=0，经检验 x=0 是分式方程的解 . 四、 (本大题 2个小题，每小题 6 分，满分 12分 ) 19.(6 分 )求不等式组 的解集 . 解析 ： 要求不等式组的解，只需要求出这两个不等式得解，然后根据不等式的解的公共部分确定不等式组的解 . 答案 ： 由 (1)得： ， 由 (2)得： x1 ， 所以原不等式组的解集为 - x1 . 20.(6 分 )小美周末来到公园，发现在公园一角有一种 “ 守株待兔 ” 游戏 .游戏设计者提供了一只兔子和一个有 A、 B、 C、 D、 E 五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的 .规定： 玩家只
11、能将小兔从 A、 B 两个出入口放入； 如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值 5 元小兔玩具，否则应付费 3 元 . (1)问小美得到小兔玩具的机会有多大？ (2)假设有 100 人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 解析 ： (1)根据五个出入口的兔笼中一个出口得奖，确定出所求概率即可； (2)求出获奖概率与没有获奖概率，确定出 100 人次玩此游戏，游戏设计者可赚的钱即可 . 答案 ： (1)根据题意得：小美得到小兔玩具的机会是 ； (2)根据题意得：一个人玩此游戏，游戏设计者可赚的钱为 - 5+ 3= (元 )， 则有 100 人次玩此游戏，估计游戏设计者可
12、赚 100 =140(元 ). 五、 (本大题 2个小题，每小题 7 分，满分 14分 ) 21.(7 分 )2014 年 5 月 12 日，国家统计局公布了 2013 年农民工监测调查报告，报告显示：我国农民工收入持续快速增长 .某地区农民工人均月收入增长率如图 1，并将人均月收入绘制成如图 2 的不完整的条形统计图 . 根据以上统计图解答下列问题： (1)2013 年农民工人均月收入的增长率是多少？ (2)2011 年农民工人均月收入是多少？ (3)小明看了统计图后说： “ 农民工 2012 年的人均月收入比 2011 年的少了 .” 你认为小明的说法正确吗？请说明理由 . 解析 ： (1
13、)直接利用折线统计图得出答案即可； (2)直接利用条形统计图得出答案即可； (3)利用 2012 年农民工人均月收入增长率进而求出 2012 年的月平均收入，进而得出答案 . 答案 ： (1)由折线统计图可得出： 2013 年农民工人均月收入的增长率是： 10%； (2)由条形统计图可得出： 2011 年农民工人均月收入是： 2205 元； (3)不正确，理由： 2012 年农民工人均月收入是： 2205 (1+20%)=2646(元 ) 2205 元， 农民工 2012 年的人均月收入比 2011 年的少了，是错误的 . 22.(7 分 )如图， A， B， C 表示修建在一座山上的三个缆车
14、站的位置， AB， BC 表示连接缆车站的钢缆 .已知 A， B， C 所处位置的海拔 AA1， BB1， CC1分别为 160 米， 400 米， 1000 米，钢缆 AB， BC 分别与水平线 AA2， BB2所成的夹角为 30 ， 45 ，求钢缆 AB和 BC 的总长度 .(结果精确到 1 米 ) 解析 ： 先根据题意得到 BD， CB2的长，在 RtABD 中，由三角函数可得 AB 的长度，在 RtBCB 2中，由三角函数可得 BC 的长度，再相加即可得到答案 . 答案 ： BD=400-160=240 米， CB2=1000-400=600 米， 在 RtABD 中， AB= =48
15、0 米， 在 RtBCB 2中， BC= =600 米， AB+BC=480+600 1328 米 . 答：钢缆 AB 和 BC 的总长度大约是 1328 米 . 六、 (本大题 2个小题，每小题 8 分，满分 16分 ) 23.(8 分 )如图，已知 O 的直径为 AB， ACAB 于点 A， BC 与 O 相交于点 D，在 AC上取一点 E，使得 ED=EA. (1)求证： ED 是 O 的切线 . (2)当 OA=3， AE=4 时，求 BC 的长度 . 解析 ： (1)如图，连接 OD.通过证明 AOEDOE 得到 OAE=ODE=90 ，易证得结论； (2)利用圆周角定理和垂径定理推
16、知 OEBC ，所以根据平行线分线段成比例求得 BC 的长度即可 . 答案： (1)如图，连接 OD. ACAB ， BAC=90 ，即 OAE=90 . 在 AOE 与 DOE 中， ， AOEDOE (SSS)， OAE=ODE=90 ，即 ODED . 又 OD 是 O 的半径， ED 是 O 的切线； (2)如图，在 OAE 中， OAE=90 ， OA=3， AE=4， 由勾股定理易求 OE=5. AB 是直径， ADB=90 ，即 ADBC . 又 由 (1)知， AOEDOE ， AEO=DEO ， 又 AE=DE ， OEAD ， OEBC ， = = . BC=2OE=10，
17、即 BC 的长度是 10. 24.(8 分 )在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案(设购票张数为 x，购票总价为 y)： 方案一：提供 8000 元赞助后，每张票的票价为 50 元； 方案二：票价按图中的折线 OAB 所表示 的函数关系确定 . (1)若购买 120 张票时，按方案一和方案二分别应付的购票款是多少？ (2)求方案二中 y 与 x 的函数关系式； (3)至少买多少张票时选择方案一比较合算？ 解析 ： (1)方案一中，总费用 y=8000+50x，代入 x=120 求得答案；由图可知方案二中，当 x=120时，对应的购票总价为 13200 元； (
18、2)分段考虑当 x100 时，当 x100 时，设出一次函数解析式，把其中两点的坐标代入即可求得相应的函数解析式； (3)由 (1)(2)的解析式建立不等式，求得答案即可 . 答案 ： (1)若购买 120 张票时， 方案一购票总价： y=8000+50x=14000 元， 方案二购票总价： y=13200 元 . (2)当 0 x100 时，设 y=kx，代入 (100， 12000)得 12000=100k，解得 k=120， y=120x ； 当 x 100 时，设 y=kx+b，代入 (100， 12000)、 (120， 13200)得 ，解得， y=60x+6000 . (3)由
19、(1)可知，要选择方案一比较合算，必须超过 120 张，由此得 8000+50x60x+6000 ， 解得 x200 ，所以至少买 200 张票时选择方案一比较合算 . 七、 (本大题 2个小题，每小题 10 分，满分 20分 ) 25.(10 分 )如图，已知二次函数的图象过点 O(0， 0)， A(4， 0)， B(2， - )， M 是 OA 的中点 . (1)求此二次函数的解析式； (2)设 P 是抛物线上的一点，过 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点 Q，要使四边形 PQAM是菱形，求 P 点的坐标； (3)将抛物线在 x轴下方的部分沿 x轴向上翻折，得曲线 OBA (B 为
20、B关于 x轴的对称点 )，在原抛物线 x 轴的上方部分取一点 C，连接 CM， CM 与翻折后的曲线 OBA 交于点 D.若 CDA的面积是 MDA 面积的 2 倍，这样的点 C 是否存在？若存在求出 C 点的坐标，若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)利用待定系数法求出二次函数的解析式； (2)由四边形 PQAM 是菱形，可知 PQ=2且 PQx 轴，因此点 P、 Q 关于对称轴 x=2 对称，可得点 P 横坐标为 1，从而求出点 P 的坐标； (3)假设存在满足条件的点 C.由 CDA 的面积是 MDA 面积的 2 倍，可得点 C 纵坐标是点 D纵坐标的 3 倍，由此列方程求出点 C
21、的坐标 . 答案 ： (1) 抛物线过原点， 设其解析式为： y=ax2+bx. 抛物线经过点 A(4， 0)， B(2， - )， ，解得 ， 二次函数解析式为： y= x2- x. (2)y= x2- x= (x-2)2- ， 抛物线对称轴为直线： x=2. 四边形 PQAM 是菱形， PQ=MA=2 ， PQx 轴 . 点 P、 Q 关于对称轴 x=2 对称， 点 P 横坐标为 1. 当 x=1 时， y= - =- .P (1， - ). (3)依题意，翻折之后的抛物线解析式为： y=- x2+ x.假设存在这样的点 C， CDA 的面积是 MDA 面积的 2 倍， CD=2MD ，
22、CM=3MD . 如答图所示，分别过点 D、 C 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 E、点 F，则有 DECF . ， CF=3DE ， MF=3ME. 设 C(x， x2- x)，则 MF=x-2， ME= MF= (x-2)， OE=ME+OM= x+ D ( x+ ， - ( x+ )2+ ( x+ ). CF=3DE ， x2- x=3- ( x+ )2+ ( x+ )，整理得： x2-4x-8=0， 解得： x1=2+2 ， x2=2-2 .y 1= ， y2= ， 存在满足条件的点 C，点 C 的坐标为 (2+2 ， )或 (2-2 ， ). 26.(10 分 )如图 1、 2，已知
23、四边形 ABCD 为正方形，在射线 AC 上有一动点 P，作 PEAD (或延长线 )于 E，作 PFDC (或延长线 )于 F，作射线 BP 交 EF 于 G. (1)在图 1 中，设正方形 ABCD 的边长为 2，四边形 ABFE 的面积为 y， AP=x，求 y 关于 x 的函数表达式； (2)结论： GBEF 对图 1，图 2 都是成立的，请任选一图形给出证明； (3)请根据图 2 证明： FGCPFB . 解析 ： (1)根据题意得出 S 四边形 ABFE=4- EDDF - BCFC 进而得出答案； (2)首先利用正方形的性质进而证明 FPEBHP (SAS)，即可得出 FPGBP
24、H ，求出即可； (3)首先得出 DPCBPC (SAS)，进而利用相似三角形的判定得出 FGCPFB . 答案： (1)PEAD ， PFDC ， 四边形 EPFD 是矩形， AP=x ， AE=EP=DF= x， DE=PF=FC=2- ， S 四边形 ABFE=4- ED DF- BC FC=4- x(2- x)- 2 (2- x)= x2+2； (2)证明：如图 1，延长 FP 交 AB 于 H， PFDC ， PEAD ， PFPE ， PHHB ，即 BHP=90 ， 四边形 ABCD 是正方形， AC 平分 DAB ， 可得 PF=FC=HB， EP=PH， 在 FPE 与 BHP 中 ， ， FPEBHP (SAS)， PFE=PBH ， 又 FPG=BPH ， FPGBPH ， FGP=BHP=90 ，即 GBEF ； (3)如图 2，连接 PD， GBEF ， BPF=CFG ， 在 DPC 和 BPC 中 ， ， DPCBPC (SAS)， PD=PB ， 而 PD=EF， EF=PB ， 又 GBEF ， PF 2=FG EF， PF 2=FG PB， 而 PF=FC， PF FC=FG PB， = ， 由 得 FGCPFB .
