1、考研数学四-113 及答案解析(总分：99.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1. （分数：4.00）A.B.C.D.2. （分数：4.00）A.B.C.D.3. （分数：4.00）A.B.C.D.4. （分数：4.00）A.B.C.D.5. （分数：4.00）A.B.C.D.6. （分数：4.00）A.B.C.D.7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项
2、1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：2，分数：43.00)已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=0及 f(x)+f(x)=2ex，（分数：10.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：5.00）_(2).求曲线 （分数：5.00）_设 A是 n阶矩阵，证明：（分数：33.00）(1).r(A)=1的充分必要条件是存在 n阶非零列向量 ，使得 A= T；（分数：11.00）_(2).r(A)=1且 tr(A)0，证明 A可相似对角化（分数：11.00）_
3、(3).()设 n维向量 1， 2， 3， 4线性无关 i= i+t 4，i=1，2，3，证明： 1， 2， 3对任意 t都线性无关()设 n维向量 1， 2， 3， 4满足 （分数：11.00）_考研数学四-113 答案解析(总分：99.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*2. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*3. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：f(x)为偶函数，f(0)0，由积分中值定理， *4. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*5. （分数：4.00）A. B.C
4、.D.解析：*6. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*7. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*8. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：* *二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*
5、）解析：*三、B解答题/B(总题数：2，分数：43.00)已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=0及 f(x)+f(x)=2ex，（分数：10.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：5.00）_正确答案：(齐次方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=0的特征方程为 r2+r-2=0，得特征根为 r1=1，r 2=-2，则有通解f(x)=C1ex+C2e-2x，代入方程 f(x)+f(x)=2ex得 2C1ex-C2e-2x=2ex，则 C1=1，C 2=0，因此 f(x)=ex。)解析：(2).求曲线 （分数：5.00）_正确答案：(由()知 f(x)=ex，则曲
6、线 y=(x2)*分别求它的一阶、二阶导数。得*令 y“=0，得 x=0，又当 x0，y“0；x0 时，y“0.x=0时，y(0)=0，因此(0，0)为曲线拐点。)解析：设 A是 n阶矩阵，证明：（分数：33.00）(1).r(A)=1的充分必要条件是存在 n阶非零列向量 ，使得 A= T；（分数：11.00）_正确答案：(若 r(A)=1，则 A为非零矩阵且 A的任意两行成比例，即*于是*显然 ， 都不是零向量且 A= T；反之，若 A= T，其中 ， 都是 n维非零列向量，则 r(A)=r( T)r()=1，又因为 ， 为非零列向量，所以 A为非零矩阵，从而 r(A)1，于是 r(A)=1
7、)解析：(2).r(A)=1且 tr(A)0，证明 A可相似对角化（分数：11.00）_正确答案：(因为 r(A)=1，所以存在非零列向量 ，使得 A= T，显然 tr(A)=(，)，因为 tr(A)0，所以(，)=k0令 AX=X，因为 A2=kA，所以 2X=kX，或( 2-k)X=0，注意到 X0，所以矩阵 A的特征值为 =0或 =k因为 1+ 2+ n=tr(A)=k，所以 1=k， 2= 3= n=0，由 r(0E-A)=r(A)=1，得 A一定可以对角化)解析：(3).()设 n维向量 1， 2， 3， 4线性无关 i= i+t 4，i=1，2，3，证明： 1， 2， 3对任意 t
8、都线性无关()设 n维向量 1， 2， 3， 4满足 （分数：11.00）_正确答案：()设有数是 k1，k 2，k 3使得k1 1+k2 2+k3 3=0，代入已知条件。得k1( 1+t 4)+k2( 2+t 4)+k3( 3+t 4)=0，整理得*因已知 1， 2， 3， 4线性无关，故上式成立，当且仅当*即当且仅当 k1=k2=k3=0，故对任意 t， 1， 2， 3都线性无关()设有数 k1，k 2，k 3，k 4，使得k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0代入已知条件得k1( 1+ 1)+k 1( 2+2 2)+k 3( 3+3 3)+k 4( 4+4 4)=0，*故 1， 2， 3， 4满足 1+4 2+9 3+16 4=0时，对任意向量 ，向量组 1， 2， 3， 4均线性相关)解析：
