1、考研数学四-113 及答案解析(总分:99.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)1. (分数:4.00)A.B.C.D.2. (分数:4.00)A.B.C.D.3. (分数:4.00)A.B.C.D.4. (分数:4.00)A.B.C.D.5. (分数:4.00)A.B.C.D.6. (分数:4.00)A.B.C.D.7. (分数:4.00)A.B.C.D.8. (分数:4.00)A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)填空项 1:_10. (分数:4.00)填空项 1:_11. (分数:4.00)填空项
2、1:_12. (分数:4.00)填空项 1:_13. (分数:4.00)填空项 1:_14. (分数:4.00)填空项 1:_三、B解答题/B(总题数:2,分数:43.00)已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=0及 f(x)+f(x)=2ex,(分数:10.00)(1).求 f(x)的表达式;(分数:5.00)_(2).求曲线 (分数:5.00)_设 A是 n阶矩阵,证明:(分数:33.00)(1).r(A)=1的充分必要条件是存在 n阶非零列向量 ,使得 A= T;(分数:11.00)_(2).r(A)=1且 tr(A)0,证明 A可相似对角化(分数:11.00)_
3、(3).()设 n维向量 1, 2, 3, 4线性无关 i= i+t 4,i=1,2,3,证明: 1, 2, 3对任意 t都线性无关()设 n维向量 1, 2, 3, 4满足 (分数:11.00)_考研数学四-113 答案解析(总分:99.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)1. (分数:4.00)A. B.C.D.解析:*2. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*3. (分数:4.00)A.B.C. D.解析:f(x)为偶函数,f(0)0,由积分中值定理, *4. (分数:4.00)A.B.C. D.解析:*5. (分数:4.00)A. B.C
4、.D.解析:*6. (分数:4.00)A.B. C.D.解析:*7. (分数:4.00)A.B. C.D.解析:*8. (分数:4.00)A. B.C.D.解析:* *二、B填空题/B(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*10. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*11. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:1)解析:*12. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*13. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*14. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*
5、)解析:*三、B解答题/B(总题数:2,分数:43.00)已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=0及 f(x)+f(x)=2ex,(分数:10.00)(1).求 f(x)的表达式;(分数:5.00)_正确答案:(齐次方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=0的特征方程为 r2+r-2=0,得特征根为 r1=1,r 2=-2,则有通解f(x)=C1ex+C2e-2x,代入方程 f(x)+f(x)=2ex得 2C1ex-C2e-2x=2ex,则 C1=1,C 2=0,因此 f(x)=ex。)解析:(2).求曲线 (分数:5.00)_正确答案:(由()知 f(x)=ex,则曲
6、线 y=(x2)*分别求它的一阶、二阶导数。得*令 y“=0,得 x=0,又当 x0,y“0;x0 时,y“0.x=0时,y(0)=0,因此(0,0)为曲线拐点。)解析:设 A是 n阶矩阵,证明:(分数:33.00)(1).r(A)=1的充分必要条件是存在 n阶非零列向量 ,使得 A= T;(分数:11.00)_正确答案:(若 r(A)=1,则 A为非零矩阵且 A的任意两行成比例,即*于是*显然 , 都不是零向量且 A= T;反之,若 A= T,其中 , 都是 n维非零列向量,则 r(A)=r( T)r()=1,又因为 , 为非零列向量,所以 A为非零矩阵,从而 r(A)1,于是 r(A)=1
7、)解析:(2).r(A)=1且 tr(A)0,证明 A可相似对角化(分数:11.00)_正确答案:(因为 r(A)=1,所以存在非零列向量 ,使得 A= T,显然 tr(A)=(,),因为 tr(A)0,所以(,)=k0令 AX=X,因为 A2=kA,所以 2X=kX,或( 2-k)X=0,注意到 X0,所以矩阵 A的特征值为 =0或 =k因为 1+ 2+ n=tr(A)=k,所以 1=k, 2= 3= n=0,由 r(0E-A)=r(A)=1,得 A一定可以对角化)解析:(3).()设 n维向量 1, 2, 3, 4线性无关 i= i+t 4,i=1,2,3,证明: 1, 2, 3对任意 t
8、都线性无关()设 n维向量 1, 2, 3, 4满足 (分数:11.00)_正确答案:()设有数是 k1,k 2,k 3使得k1 1+k2 2+k3 3=0,代入已知条件。得k1( 1+t 4)+k2( 2+t 4)+k3( 3+t 4)=0,整理得*因已知 1, 2, 3, 4线性无关,故上式成立,当且仅当*即当且仅当 k1=k2=k3=0,故对任意 t, 1, 2, 3都线性无关()设有数 k1,k 2,k 3,k 4,使得k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0代入已知条件得k1( 1+ 1)+k 1( 2+2 2)+k 3( 3+3 3)+k 4( 4+4 4)=0,*故 1, 2, 3, 4满足 1+4 2+9 3+16 4=0时,对任意向量 ,向量组 1, 2, 3, 4均线性相关)解析: