1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 70 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 在(-，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b03.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最
2、大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.求xarctan （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)满足等式 xf(x)-f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)的一个原
3、函数为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_11.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为通解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求极限 （分数：2.00）_14.求极限 （分数：2.00）_15.求 f(x)的间断点并分类 （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 ，又 f
4、(2)= （分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_18.设 a0，讨论方程 ae x =x 2 根的个数（分数：2.00）_19.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2 (1)证明：对 0x
5、a，存在 01，使得 0 x (t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)-f(-x)； (2)求 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 0 1 (x 2 )dx （分数：2.00）_23.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?（分数：2.00）_24.设 z=(x 2 +y 2 ) sec2(x+y) ，求 （分数：2.00）_25.计算
6、 I= xydxdy，其中 D 由 y=-x，y= （分数：2.00）_26.设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 z 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)-f(1)若 f(1)= （分数：2.00）_27.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cms外力为 392cms 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少?（分数：2.00）_28.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的
7、摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kg.s 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kg.s 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 70 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 在(-，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解
8、析：因为 f(x)= 在(-，+)内连续，所以 a0，又因为3.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导 D.不连续解析：解析：由 f(x)在 x 0 处可导得f(x)在 x 0 处连续，但f(x)在 x 0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)=x在 x=0 处不可导，选(C)4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值 C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f
9、(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点解析：解析：令二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 因为 所以6.设 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 两边对 x 求导得 则 7.求xarctan （分数：2.00）填空项 1:
10、_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x)满足等式 xf(x)-f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 1 f(x)dx=xf(x) 0 1 - 0 1 xf(x)dx=f(1)- 0 1 f(x)+ dx =4- 0 1 f(x)dx+ 0 1 (1-x) 于是 0 1 (x)dx=2- 9.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2）解析
11、：解析：由 f(x)g(y-x)= 得 I= 11.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为通解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y-3y+4y-2y=0）解析：解析：特征值为 1 =1， 2 =1i，特征方程为(-1)(-1+i)(-1-i)=0，即 3 -3 2 +4-2=0，所求方程为 y-3y+4y-2y=0三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14
12、.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x x -(sinx) x =x x =1 当 x0 时， x-sinx， 则 )解析：15.求 f(x)的间断点并分类 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=k(k=0，-1，-2，)及 x=1 为 f(x)的间断点 因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点； 由 得 x=-2 为可去间断点； 当 x=k(k=-1，-3，-4，)时， 由 f(x)=得 x=k(k=-1，-3，-4，)为第二类间断点； 由 )解析：16.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 ，又 f(2)= （分数：2.00）_正
13、确答案：(正确答案：由 得 f(1)=-1， 又 ，所以 f(1)=0 由积分中值定理得 f(2)= f(x)dx=f(c)，其中 c 由罗尔定理，存在 x 0 (c，2) (1，2)，使得 f(x 0 )=0 令 (x)=e x f(x)，则 (1)=(x 0 )=0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0 ) )解析：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =f - (a)0，所以存在 0，当 0x-a 时，有 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 c
14、(a，6)，使得 f(c)f(a)=0由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 )解析：18.设 a0，讨论方程 ae x =x 2 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ae x =x 2 等价于 x 2 e -x -a=0 令 f(x)=x 2 e -x -a，由 f(x)=(2x-x 2 )e -x =0 得 x=0，x=2 当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0， 于是 x=0为极小值点，极小值为 f(0)=-a0；x=2 为极大
15、值点，极大值为 f(2)= -a， 又 =-a0 (1)当-a0，即 0a 时，方程有三个根； (2)当 -a=0，即 a= 时，方程有两个根 (3)当 -a0，即 a )解析：19.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 c=a i (i=1，2，n)时，对任意的 (a 1 ，a n )，结论成立； 设 c 为异于 a 1 ，a 2 ，a n 的数，不妨设 a 1 ca 2 a n 令 构造
16、辅助函数 (x)=f(x)-k(x-a 1 )(x-a 2 )(x-a n )，显然 (x)在a 1 ，a 2 上 n 阶可导，且 (a 1 )=(c)=(a 2 )=(a n )=0， 由罗尔定理，存在 1 (1) (a 1 ，c)， 2 (1) (c，a 2 )， n (1) (a n ，a n )，使得 ( 1 (1) )=( 2 )=( n )=0，(x)在(a 1 ，a n )内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n-1) (x)在(a 1 ，a n )内至少有两个不同零点，设为 c 1 ，c 2 (a 1 ，a n )，使得 (n-1) (c 1 )= (n-1) (c
17、 2 )=0， 再由罗尔定理，存在 (c 1 ，c 2 ) (a 1 ，a n )，使得 (n) ()=0 而 (n) (x)=f (n) (x)-n!k，所以 f (n) ()=n!k，从而有 f(c)= )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(x 2 e x )=(x 2 +2x)e x ， 所以 )解析：21.设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2 (1)证明：对 0xa，存在 01，使得 0 x (t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)-f(-x)； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)= 0 x f
18、(x)dt+ 0 -x f(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)-F(0)=F(x)x，即 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)-f(-x) (2)令 =A，由 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)=xf(x)-f(-x)，得 于是 )解析：22.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 0 1 (x 2 )dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 与 t 之间，从而 f(x 2 ) ，积分得 0 1 f(x 2 )dx )解析：23.为清除井底污泥，用缆绳将抓
19、斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设拉力对空斗所做的功为 W 1 ，则 W 1 =40030=12000J 设拉力对绳所做的功为 W 2 ，任取x，x+dx 0，30，dW 2 =50(30-x)dx， 则 W 2 = 0 30 dW 2 =22500J 设拉力对污泥做功为 W 3 ，任取t，t+dt 0，10， dW 3 =(2000-20t)3dt， 则 W 3
20、 = 0 dW 3 =57000J，拉力克服重力所做的功为 W=W 1 +W 2 +W 3 =91500J )解析：24.设 z=(x 2 +y 2 ) sec2(x+y) ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=(x 2 +y 2 ) sec2(x+y) ，得 z=e sec2(x+y)ln(x2+y2) 则 =e sec2(x+y)ln(x2+y2) 2sec 2 (x+y)tan(x+y)ln(x 2 +y 2 )+ sec 2 (x+y)， =e sec2(x+y)ln(x2+y2) 2sec 2 (x+y)tan(x+y)ln(x 2 +y 2 )+ )解析：25.计
21、算 I= xydxdy，其中 D 由 y=-x，y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 分成两部分 D 1 ，D 2 ，其中 D 1 =(x，y)0x1， )解析：26.设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 z 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)-f(1)若 f(1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题设知， 1 a f 2 (x)dx= a 2 f(a)-f(1)，两边对 a 求导，得 3f 2 (a)=2af(a)+a 2 f(a) 令 =3u 2 -3u =ca 3
22、，即 f(a)= ，得 c=-1，所以f(x)= (2)因为 又因为 )解析：27.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cms外力为 392cms 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 F=k ，因为当 t=10 时，v=50，F=392，所以 k=196， 从而F=196 ，又因为 F= ，分离变量得 vdv=196tdt， 所以 v 2 =98t 2 +C，由 v t=10 =50，得 C=-8550， 于是 )解析：28.飞机在机场开始滑行着陆，在着
23、陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kg.s 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kg.s 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：水平方向的空气阻力 R x =k x v 2 ，垂直方向的空气阻力 R y =k y v 2 ，摩擦力为 W=(mg-R y )，由牛顿第二定律，有 +g=0 记 A= ，B=g，显然 A0，故有 分离变量得 ，两边积分得 =-t+C， 又当 t=0 时， 所以当 v=0 时， )解析：
