1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 67 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 sinx sint 2 dt，g(x)=x 3 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小3.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大值点B.x=0 为 f(x)的极小值点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0
2、 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4.设 f(x)连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 g(0)=1，f(x)=-sin2x+ 0 x g(x-t)dt，则( )（分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大值点B.x=0 为 f(x)的极小值点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 非极值点，(0，f(0)非 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_6.设 （分数：2.00）填空项 1:_7.求 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:
3、_9. 0 1 x 4 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)= 0 x （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 y-xe -y + （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.设 f(x)= （分数：2.00）_15.确定 a，b，使得 x-(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设 f(x)在-a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在 (1)写出 f(x)
4、的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在 1 ， 2 -a，a，使得 （分数：2.00）_18.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)A 为正常数，问 A 至少为多少时 f(x)20?（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_20.设 f(x)连续，且 f(x)=2 0 x (x-t)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.00）_21.设 S(x)= 0 x costdt (1)证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)； (2)求 （分数：2.00）_22.设 f(x)
5、在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b (x)dx （分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 +(1-t)x 2 )tf(x 1 )+(1-t)f(x 2 ) 证明： （分数：2.00）_24.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由 z 轴、y 轴及 z+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_25.设 f(x，y)= 且 D：x 2 +y 2 2x求 （分数：2.00）_26.设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x)-
6、 （分数：2.00）_27.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0。从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_28.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f(x)+3 0 x f(t)dt+2x 0 1 f(tx)dt+e -x =0，求f(x)（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 67 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分
7、钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 sinx sint 2 dt，g(x)=x 3 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为3.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大值点B.x=0 为 f(x)的极小值点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点 D.x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)
8、的拐点解析：解析：由 0 x g(x-t)dt= 0 x g(t)dt 得 f(x)=-2x 2 + 0 x g(t)dt，f(x)=-4x+g(x)， 因为 =-40， 所以存在 0，当 0x 时， 4.设 f(x)连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 g(0)=1，f(x)=-sin2x+ 0 x g(x-t)dt，则( )（分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大值点 B.x=0 为 f(x)的极小值点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 非极值点，(0，f(0)非 y=f(x)的拐点解析：解析：由 0 x g(x-t)dt 0 x g(u)du 得 f(x
9、)=-sin2x+ 0 x g(u)du，f(0)=0， 因为 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 得6.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析： -2 2 9. 0 1 x 4 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 收敛， 于是10.设 f(x)= 0 x
10、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 0 f(x)dx= 0 dx 0 x dt= 0 dt t 11.微分方程 y-xe -y + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 y-xe -y + =0，得 e y y-x+ e y =0，即 e y =x， 令 z=e y ，则 x 3 +C)， 所以原方程的通解为 e y = 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(
11、x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 )解析：15.确定 a，b，使得 x-(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=x-(a+bcosx)sinx y=1+bsin 2 x-(a+bcosx)cosx y=bsin2x+ sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x， y=acosx+4bcos2x， 显然 y(0)=0，y(0)=0， 所以令y(0)=y(0)=0 得 故当 a= )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案
12、：(正确答案：当x1 时，y= 当 x1 时，y=1；当 x-1 时，y=-1； 由 得 y 在 x=-1 处不连续，故 y(-1)不存在； 由 由 得 y + (1)=1， 因为 y - (1)y + (1)，所以 y 在 x=1 处不可导， 故 )解析：17.设 f(x)在-a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在 1 ， 2 -a，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 存在，得 f(0)=0，f(0)=0，f(0)=0， 则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 f(x)= x 4 ，其中
13、 介于 0 与 x 之间 (2)上式两边积分得 -a a f(x)dx= -a a ()x 4 dx 因为 f (4) (x)在-a，a上为连续函数，所以 f (4) (x)在-a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx 4 f (4) ()x 4 Mx 4 ， 两边在-a，a上积分得 a 5 -a a f (4) ()x 4 dx a 5 ， 从而 -a a -a -a f(x)dx 于是 m -a a f(c)dxM， 根据介值定理，存在 1 -a，a，使得 f (4) ( 1 )= )解析：18.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)A 为正常数，问 A 至少为多少时 f
14、(x)20?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)20 等价于 A20x 3 -3x 5 ，令 (x)=200x 3 -3x 5 ，由 (x)=60x 2 -15x 4 =0，得 x=2，(x)=120x-60x 3 ，因为 (2)=-2400，所以 x=2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20)解析：19.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x-1) 2 f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据
15、罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x-1)f(x)+(x-1) 2 f(x)，所以 2(-1)f()+(-1) 2 f()=0，整理得 f()= )解析：20.设 f(x)连续，且 f(x)=2 0 x (x-t)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x (x-t)dt )解析：21.设 S(x)= 0 x costdt (1)证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1
16、)当 nx(n+1)n 时， 0 n costdt 0 x costdt 0 (n+1) costdt， 0 n costdt=n 0 costdt= costdt=2n， 0 (n+1) costdt=2(n+1)，则 2nS(x)2(n+1). (2)由 nx(n+1)，得 从而 ，根据迫敛定理得 )解析：22.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b (x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(a)=0，得 f(x)-f(a)=f(x)= a x f(t)dt，由柯西不等式得 f 2 (x)=( a x f(t)dt) a x 1 2 dt a x
17、 f 2 (t)dt(x-a) a b f 2 (x)dx 积分得 a b f 2 (x)dx a b (x-a)dx. a b f 2 (x)dx= )解析：23.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 +(1-t)x 2 )tf(x 1 )+(1-t)f(x 2 ) 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a b f(x)dx =(b-a) 0 1 fta(1-t)bdt (b-a)f(a) 0 1 tdt+f(b) 0 1 (1-t)dt=(b-a) 所以 又 a b f(x)dx 所以 )解析：24.求二元
18、函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由 z 轴、y 轴及 z+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L 1 ：y=0(0x6)上，z=0； 在 L 2 ：x=0(0y6)上，z=0； 在 L 3 ：y=6-x(0x6)上，z=-2x 2 (6-x)=2x 3 -12x 2 ， 由 =6x 2 -24x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以 f(x，y) 在 L 1 上最小值为-64，最大值为 0 (2)在区域 D 内，由 得驻点
19、为(2，1)， )解析：25.设 f(x，y)= 且 D：x 2 +y 2 2x求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)1x2， yx， 则 f(x，y)dxdy= x 2 ydxdy= 1 2 x 2 dx = 1 2 (x 4 -x 3 )dx= )解析：26.设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x)- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(x+1)f(x)+(x+1)f(x)- 0 x f(t)dt=0，两边求导数，得 (x+1)f(x)=-(x+2)f(x) f(x)= 再由 f(0)=1，f(0)+f(0)=0，
20、得 f(0)=-1，所以 C=-1，于是 f(x)= (2)当 x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1 令 g(x)=f(x)-e -x ，g(0)=0，g(x)=f(x)+e -x = e x 0， 由 )解析：27.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0。从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在
21、任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m 1 (t)m 2 (t)，在时间t，t+dt内有 dm 1 = ，且满足初始条件 m 1 (0)=150，解得 m 1 (t)= ；在时间t，t+dt内有 dm 2 = )解析：28.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f(x)+3 0 x f(t)dt+2x 0 1 f(tx)dt+e -x =0，求f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x 0 1 f(tx)dt= 0 x f(u)du，所以 f(x)+3 0 x f(t)dt+2x 0 1 (tx)dt+e -x =0 可化为 f(x)+3 0 x f(t)dt+2 0 x f(t)dt+e -x =0， 两边对 x 求导得 f(x)+3f(x)+2f(x)=e -x ， 由 2 +3+2=0 得 1 =-1， 2 =-2， 则方程 f(x)+3f(x)+2f(x)=0 的通解为 C 1 e -x +C 2 e -2x 令 f(x)+3f(x)+2f(x)=e -x 的一个特解为 y 0 =axe -x ，代入得 a=1， 则原方程的通解为 f(x)=C 1 e -x +C 2 e -2x +xe -x 由 f(0)=1，f(0)=-1 得 C 1 =0，C 2 =1，故原方程的解为f(x)=e -2x +xe -x )解析：
