1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 66 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cc 0 ln(1+2x) sintdt，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=C.a=D.a 为任意常数，b=2，c=03.设 f(x)在 x=0 处二阶可导 f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极
2、值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_6.设 （分数：2.00）填空项 1:_7.求 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)连续，且 0 x tf(2x-t)dt= （分数：2.00）填空项 1:_10.设
3、 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 =e 3 ，其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点(1)写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项
4、的一阶泰勒公式；(2)证明：f(c)2a+ （分数：2.00）_18.设 f(x)在01上二阶可导且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f(x)-f(x)=0 在(01)内有根（分数：2.00）_19.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_20.设 f(x)= 1 x （分数：2.00）_21.设 f(x)连续， 0 x xf(x-t)dt=1-cosx，求 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上连续，且 f(1)-f(0)=1证明： 0 1 f 2 (x)dx1（分数：2.00）_23.证明：当 x0
5、 时，f(x)= 0 x (t-t 2 )sin 2n tdf 的最大值不超过 （分数：2.00）_24.设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若 ，证明：u 仅为 与 的函数(2)若 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.设 且二阶连续可导，又 （分数：2.00）_27.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：2.00）_28.设非负函数 f(x)
6、当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 66 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cc 0 ln(1+2x) sintdt，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=C.a=D.a 为任意常数，b=2，c=0 解析：解析：
7、因为当 x0 时，ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt， 所以 显然 c=0， 再由 3.设 f(x)在 x=0 处二阶可导 f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 ，得 f(9)+f(0)=0，于是 f(0)=0 再由4.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值 B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x
8、)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 ，得 f(2)=0，又由 ，则存在 0，当 0x-2 时，有二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 x0 时，e ln2(1+x) -1ln 2 (1+x)x 2 ， 6.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：当 x=0 时，t=0；当 t=0 时，由 y+e y =1，得 y=0 方程 y+e y =ln(e+t 2 )两边对 t求导数，得 7.求 （分数：
9、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 所以 0 2 = 0 1 xdx+ 1 2 xdx= 9.设 f(x)连续，且 0 x tf(2x-t)dt= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 0 x (2x-t)dt 2x x (2x-u)f(u)(-du) = x 2x (2x-u)f(u)du=2x x 2x f(u)du- x 2x uf(u)du. 得 2x x 2x f(u)du- x 2x uf(u)du= arctanx 2 ，等
10、式两边对 x 求导得 2 2x f(u)du+2x2f(2x)-f(x)-4xf(2x)+xf(x)= ，整理得 2 x 2x f(u)du-xf(x)= 取 x=1得 2 1 2 f(u)du-f(1)= ，故 1 2 f(x)dx= 10.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-xf(x 2 -1)）解析：解析： a 1 vf(u 2 -v 2 )dv= a 1 f(u 2 -v 2 )d(u 2 -v 2 )= 0 n2-1 f(t)dt， 则 0 x du u 1 vf(u 2 -v 2 )dv= 0 x du 0 u2-1 f(t)dt= 0
11、x2-1 f(t)dt， 11.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由y= x+o(x)得函数 y=y(x)可微且 y= ，积分得 y(x)= ，因为y(1)=1，所以 C=0， 于是 y(x)= ，故 0 2 y(x)dx 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 =e 3 ，其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x=0，-1，
12、-2，及 x=1 当 x=0 时，f(0-0)= f(0+0)=-sin1，则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x=-1 时， ，则 x=-1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 x=k(k=-2，-3，)时， =，则 x=k(k=-2，-3，)为函数 f(x)的第二类间断点 当 x=1 时，因为 )解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ln(1+x)-(ax+bx 2 )=x- +o(x 2 )-(ax+bx 2 ) =(1-a)x-(b+ )x 2 +o(x 2 )， 由 得 x0 时， 0 x2 e -t2 dtx 2 ， 于是 )
13、解析：16.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(0)=f(0)=0， 又 =f(0)=2， 则 y=f(x)在点(0，f(0)处的曲率为 K= )解析：17.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点(1)写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；(2)证明：f(c)2a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+ (x-c) 2 ，其中 介于 c 与 x 之间 (2)分别令 x=0，x=1，得
14、 f(0)=f(c)-f(c)c+ c 2 ， 1 (0，c)， f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+ (1-c) 2 ， 2 (c，1)， 两式相减，得 f(c)=f(1)-f(0)+ (1-c) 2 ，利用已知条件，得 f(c)2a+ c 2 +(1-c) 2 ， 因为 c 2 +(1-c) 2 1，所以f(c)2a+ )解析：18.设 f(x)在01上二阶可导且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f(x)-f(x)=0 在(01)内有根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -x f(x)+f(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在
15、c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=e -x f(x)-f(x)且 e -x 0，所以方程 f(c)-f(c)=0 在(0，1)内有根)解析：19.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)-f(x 0 )=f()(x-x 0 )，其中 介于 x 0 与 x 之间，则 )解析：20.设 f(x)= 1 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 xf(x)dx= 0 1 (x)d(x 3 )= x 3 f(x) 0 1 - 0 1 x 3 f(x)dx )解析：21.设
16、 f(x)连续， 0 x xf(x-t)dt=1-cosx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x tf(x-t)dt x 0 (x-u)f(u)(-du)= 0 x (x-u)f(u)du =x 0 x f(u)du- 0 x uf(u)du， 得 x 0 x f(u)du- 0 x uf(u)du=1-cosx， 两边求导得 0 x f(u)du=sinx，令 x= )解析：22.设 f(x)在0，1上连续，且 f(1)-f(0)=1证明： 0 1 f 2 (x)dx1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1=f(1)-f(0)= 0 1 f(x)dx， 得 1
17、2 =1=( 0 1 f(x)dx) 2 0 1 1 2 dx 0 1 f 2 (x)dx= 0 1 f 2 (x)dx，即 0 1 f 2 (x)dx1)解析：23.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (t-t 2 )sin 2n tdf 的最大值不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，令 f(x)=(x-x 2 )sin 2n x=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)，当0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0(除 x=k(k=1，2，)外 f(x)0)，于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所
18、以当 x0，1时，(x-x 2 )sin 2n x(x-x 2 )x 2n =x 2n+1 -x 2n+2 ，于是 f(x)f(1)= 0 1 (x-x 2 )sin 2n xdx 0 1 (x 2n+1 -x 2n+2 )dx= )解析：24.设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若 ，证明：u 仅为 与 的函数(2)若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 所以 u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数 (2)因为 从而 )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D：x 2 +y 2 2x+2y-1 可化为 D：(x-1) 2 +(y-1
19、) 2 1， 令 0t2，0r1， 则 (x+y 2 )dxdy= 0 2 dt 0 1 (1+rcost+1+2rsint+r 2 sin 2 t)rdr = 0 2 (1+ sin 2 t)dt=2+ sin 2 tdt=2+ )解析：26.设 且二阶连续可导，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =2 得 f(1)=0，f(1)=2，令 =r，则 由对称性得 由 f(r)=0 或 rf(r)+f(r)=0， 解得 rf(r)=C 1 ，由 f(1)=2 得 C 1 =2，于是 f(r)= )解析：27.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不
20、含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A 的含量为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 又由 m(0)=5m 0 ，得 C= ，于是 )解析：28.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 0 x f(t)dt= 0 x 所以 ，积分得 由 y(0)=1，得 C=1，所以 )解析：
