1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 65 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.-f(a)B.f(a)C.2f(a)D.f(a)3.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 -，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x
2、0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值4.若由曲线 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.(1)设 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.求 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)= 0 x e
3、 cost dt，求 0 f(x)cosxdx= 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 f(x)可导且 f(0)=6，且 （分数：2.00）_13.设 f(x)= （分数：2.00）_14.已知 （分数：2.00）_15.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)-2e x (x-1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.0
4、0）_17.求由方程 x 2 +y 2 -xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_18.设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数求 (y)（分数：2.00）_19. 0 2 （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 f(x)=M证明： 0 a f(x)dx （分数：2.00）_21.证明： 0 xa sinx dx. （分数：2.00）_22.没 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz = xy z h(xy+z-t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，
5、求 （分数：2.00）_23.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_26.设二阶常系数线性微分方程 y+ay+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x 确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_27.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长到 400，求前 12h 后的细菌总数（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 65 答案解析(总分：54.00，做题
6、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.-f(a)B.f(a)C.2f(a)D.f(a) 解析：解析：3.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 -，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)
7、为偶函数，f(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析：解析： 当 (n)时，f(x)= 0，则 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少，(A)不对； f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，(B)不对；4.若由曲线 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：曲线 y= 在点 处的切线方程为 由于切线位于曲线 的上方，所以由曲线，切线及 x=1，x=3 围成的面积为 当 t(0，2)时，S(t)0；当 t(2，3)时，S(t)0，则当 t=2 时，S(t)
8、取最小值， 此时切线方程为二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.(1)设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2； ；3， ）解析：解析：(1) =e 3a ，由 e 3a =8，得 a=ln2 (2)x-(a+bcosx)sinx =x-asinx- sin2x =x-a(x- +o(x 5 )- +o(x 5 ) =(1-a-b)x+ x 5 +o(x 5 )， 则 解得 a= ，b= (3)由 再由 g(x)=x a (e bx -1)bx a+1 得 a=3，b= 6.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）填空项 1:_ （正
9、确答案：1）解析：解析： =a+4b， f(0)=3，7.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x)= 0 x e cost dt，求 0 f(x)cosxdx= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1 -e）解析：解析： 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)d(sinx)=f(x)sinx
10、 0 - 0 f(x)sinxdx =- 0 e cosx sinxdx=e 0 =e -1 -e.三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 f(x)可导且 f(0)=6，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0 得 f(0)=0，f(0)=0， )解析：13.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)及 x=k+ (k=0，1，) 因为，所以 x=0 为 f(x)的可去间断点； 因为 ，所以 x=k(k=1，2，)为 f(x)的第二
11、类间断点； 因为 )解析：14.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ln(1+ax)=ax- +o(x 2 )，e bx =1+bx+ +o(x 2 )， cosx=1- +o(x 2 )得 ln(1+ax)-e bx +cos=(a-b)x- x 2 +o(x 2 )， 于是由 解得 )解析：15.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)-2e x (x-1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e 当 x1 时，不等式两边同除以z-1，得)解析：16.设 f(x
12、)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 其中 1 ， 2 两式相加得 f(a)+f(b)- f( 1 )+f( 2 ) 因为 f(x)在(a，b)内连续，所以f(x)在 1 ， 2 上连续，从而 f(x)在 1 ， 2 上取到 最小值 m 和最大值 M，故 m M， 由介值定理，存在 1 ， 2 故 f(a)+f(b)- f( 1 )+f( 2 )= )解析：17.求由方程 x 2 +y 2 -xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00
13、）_正确答案：(正确答案：根据隐函数求导数法，得 y= 令 y= =0，得 y=2x，再将 y=2x 代入原方程得 x= ，函数值为 y= y= ，y=0 代入 y得 为函数的极大值点，且极大值为 y=)解析：18.设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数求 (y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 (y)= 于是)解析：19. 0 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= ，当 1x2 时， =x 2 ，则 0 2 = 0 1 xdx+ 1 2 xdx= )解析：20.设 f(x)在0
14、，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 f(x)=M证明： 0 a f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f()x，其中 介于 0 与 x 之间， 因为 f(0)=0，所以f(x)=f()xMx，x0，a， 从而 0 a f(x)dx 0 a f(x)dx 0 a Mxdx )解析：21.证明： 0 xa sinx dx. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 xa sinx dx= 0 a sinx dx= a cosx dx 所以 0 xa sinx dx. a -cosx dx= a cosx dx. a -cosx d
15、x )解析：22.没 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz = xy z h(xy+z-t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： zy z h(xy+z-t)dt z xy h(u)(-du)= xy z f(u)du， 解得 =f 1 +yz+xy. f 3 ， 由对称性得 =f 2 +xz+xy. f 3 ， =f 1 +xyz+x 2 y 2 . f 3 =yf 2 -xyz+x 2 y 2 . )解析：23.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：2.00）_正确答案：(
16、正确答案： =(av 2 -bu 2 ) +(au 2 -by 2 ) =u 2 +v 2 ， 又 =4，所以有 (a+b)(v 2 -u 2 ) +4(au 2 -bv 2 )=u 2 +v 2 ， 于是 )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (x 2 +y 2 )dxdy= (x 2 +y 2 )dxdy- (x 2 +y 2 )dxdy 令 (02，0r2)， 而 (x 2 +y 2 )dxdy= 0 2 d 0 2 r 3 dr=8， (x 2 +y 2 )dxdy= d 0 2cos r 3 dr= cos 4 d= 所以 (x 2 +y 2 )dxdy=
17、)解析：25.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 xf 2 (x)dx， 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 yf(y)dy 0 1 f(x)dx 0 1 yf 2 (y)dy，或者 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)-f(y)ay0 令 I= 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)-f(y)dy， 根据对称性，I= 0 1 dx 0 1 xf(x)f(y)f(y)-f(x)dy， 2I= 0 1 dx 0
18、 1 f(x)f(y)(y-x)f(x)-f(y)dy， 因为 f(x)0 且单调减少，所以(y-x)f(x)-f(y)0，于是 2I0，或 I0， 所以 )解析：26.设二阶常系数线性微分方程 y+ay+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x 确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=e 2x +(1+x)e x 代入原方程得 (4+2a+b)e 2x +(3+2a+b)e x +(1+a+b)xe x =ce x ，则有 )解析：27.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长到 400，求前 12h 后的细菌总数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻细菌总数为 S，则有 =kS，S(0)=100，S(24)=400， S=Ce kt ，C=100，k= 所以 S= )解析：
