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    【考研类试卷】考研数学二(高等数学)模拟试卷57及答案解析.doc

    • 资源ID:1396456       资源大小:232KB        全文页数:8页
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    【考研类试卷】考研数学二(高等数学)模拟试卷57及答案解析.doc

    1、考研数学二(高等数学)模拟试卷 57 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 (xa),则 (分数:2.00)A.eB.e 2C.1D.3.设 f(x)为二阶可导的奇函数,且 x0 时有 f(x)0,f(x)0,则当 x0 时有 ( )(分数:2.00)A.f(x)0,f(x)0B.f(x)0,f(x)0C.f(x)0,f(x)0D.f(x)0,f(x)04.设 f(x)在a,+)上二阶可导,f(a)0,f(a)=0,且 f(x)k(k0),则 f(x)

    2、在(a,+)内的零点个数为( )(分数:2.00)A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个二、填空题(总题数:10,分数:20.00)5.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_6.设 f(x)连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_7.设 f(x)=x 2 (分数:2.00)填空项 1:_8.设函数 y=y(x)由 (分数:2.00)填空项 1:_9.求 (分数:2.00)填空项 1:_10.设函数 y=y(x)满足y= (分数:2.00)填空项 1:_11.上的平均值为 1 (分数:2.00)填空项 1:_12.设 z=xf(x+y)+g(x y ,x 2 +y 2 ),其中 f,g

    3、分别二阶连续可导和二阶连续可偏导,则 (分数:2.00)填空项 1:_13.设 f(x)= D 为 xOy 面,则 (分数:2.00)填空项 1:_14.设 y(x)为微分方程 y-4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1,y(0)=2 的特解,则 0 1 y(x)dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:13,分数:26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_16.设 f(x)连续,f(0)=0,f(0)0,F(x)= 0 x tf(t 2 -x 2 )dt,且当 x0 时,F(x)x n ,求 n及 f(0)(分数:2.00)_

    4、17.证明: (分数:2.00)_18.设 f(x)在0,1上可导,f(0)=0,f(x) (分数:2.00)_19.设 f(x)在a,b上连续,且 f(x)0,对任意的 x 1 ,x 2 a,b及 01,证明:fx 1 +(1-)x 2 (分数:2.00)_20.就 k 的不同取值情况,确定方程 x 3 -3x+k=0 根的个数(分数:2.00)_21.设 f(x)二阶连续可导,且 f(x)0,又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(01)证明: (分数:2.00)_22. (分数:2.00)_23.设 a n = tan n xdx(n2),证明: (分数:2.00)_24.设 f(x

    5、)在区间a,b上二阶可导且 f(x)0证明: (分数:2.00)_25.设 ,其中 f(s,t)二阶连续可偏导,求 du 及 (分数:2.00)_26.计算 (x 2 +y 2 )dy+ 0 2 dx (分数:2.00)_27.设函数 f(x)满足 xf(x)-2f(x)=-x,且由曲线 y=f(x),x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小,求:(1)曲线 y=f(x);(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1所围成的平面图形的面积(分数:2.00)_考研数学二(高等数学)模拟试卷 57 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)

    6、一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 (xa),则 (分数:2.00)A.eB.e 2C.1D. 解析:解析:因为 ,所以 =0 于是3.设 f(x)为二阶可导的奇函数,且 x0 时有 f(x)0,f(x)0,则当 x0 时有 ( )(分数:2.00)A.f(x)0,f(x)0 B.f(x)0,f(x)0C.f(x)0,f(x)0D.f(x)0,f(x)0解析:解析:因为 f(x)为二阶可导的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),即f(x)为偶函数,f

    7、(x)为奇函数,故由 x0 时有 f(x)0,f(x)0,得当 x0 时有 f(x)0,f(x)0,选(A)4.设 f(x)在a,+)上二阶可导,f(a)0,f(a)=0,且 f(x)k(k0),则 f(x)在(a,+)内的零点个数为( )(分数:2.00)A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析:解析:因为 f(a)=0,且 f(x)k(k0),所以 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ (x-a) 2 ,其中 介于 a 与 x 之间而 (x-a) 2 =+,故 二、填空题(总题数:10,分数:20.00)5.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解

    8、析:解析:因为 所以6.设 f(x)连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析: 0 x tf(x-t)dt x 0 (x-u)f(u)(-du)=x 0 x f(u)du- 0 x uf(u)du, 0 2 arctan(x-t) 2 dt x 0 arctanu 2 (-du)= 0 x arctanu 2 du, 则 7.设 f(x)=x 2 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2x(1+4x)e 8x)解析:解析:由 f(x)=x 2 =x 2 8.设函数 y=y(x)由 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:

    9、*)解析:解析:当 x=ln2 时,t=1;当 t=1 时,y=0 (1)当 t=-1 时,由 =-1, 0 x e u2 du+ t2 1 arcsinudu=0 两边对 t 求导数得 e y2 -2tarcsint 2 =0, 则 ,则法线方程为 y= (x-ln2); (2)当 t=1 时,由 =1 0 y e u2 du+ t2 1 arcsinudu=0 两边对 t 求导得 e y2 2tarcsint 2 =0 则 ,法线方程为 y= (x-ln2), 即法线方程为 y= 9.求 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:10.设函数 y=y(x)满足

    10、y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 ,于是 由 y(1)=1 得 C=0,故 y(x)= 0 1 y(x)dx= 0 1 (x-1) 11.上的平均值为 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:12.设 z=xf(x+y)+g(x y ,x 2 +y 2 ),其中 f,g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:f+xf+x y-1 g 1 +yx y-1 lnxg 1 +yx 2y-1 lnxg 11 +2y 2 x y-1 g 12 +2x y+1 ln

    11、xg 21 +4xyg 22)解析:解析:由 x=xf(x+y)+g(x y ,x 2 +y 2 ),得 =f(x+y)+xf(x+y)+yx y-1 g 1 (x y ,x 2 +y 2 )+2xg 2 (x y ,x 2 +y 2 ) 13.设 f(x)= D 为 xOy 面,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:在 D 1 =(x,y)x+,0y1上,f(y)=y; 在 D 0 :0x+y1 上,f(x+y)=x+y, 则在 D 0 =D 1 D 0 =(x,y)-yx1-y,0y1上,f(y)f(x+y)=y(x+y), 所以 f(y)f(x+y)

    12、dxdy= 0 1 dy -y 1-y y(x+y)dx= 14.设 y(x)为微分方程 y-4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1,y(0)=2 的特解,则 0 1 y(x)dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:y-4y+4y=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x , 由初始条件 y(0)=1,y(0)=2 得 C 1 =1,C 2 =0,则 y=e 2x , 于是 0 1 f(x)dx= 0 2 e x dx= e 2 0 2 = 三、解答题(总题数:13,分数:26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(

    13、分数:2.00)_解析:16.设 f(x)连续,f(0)=0,f(0)0,F(x)= 0 x tf(t 2 -x 2 )dt,且当 x0 时,F(x)x n ,求 n及 f(0)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:F(x)= 0 x tf(t 2 -x 2 )dt= 0 x f(t 2 -x 2 )d(t 2 -x 2 ) = -x2 2 f(u)du = 0 -x2 f(u)du, )解析:17.证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x1,2时有 1 ,则 1 1 2 dx, 当 x2,3时有 当 xn,n+1时有 从而有 =ln(n+1) 又当 x1,2时, 当 x2

    14、,3时, 当 xn-1,n时, 从而有 =1+lnn, 故 由迫敛定理得 )解析:18.设 f(x)在0,1上可导,f(0)=0,f(x) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在0,1上可导,所以 f(x)在0,1上连续,从而f(x)在0,1上连续,故f(x)在0,1上取到最大值 M,即存在 x 0 ,1,使得f(x 0 )=M 当 x 0 =0 时,则 M=0,所以 f(x)0,x0,1; 当 x 0 0 时,M=f(x 0 )=f(x 0 )-f(0)=f()x 0 f() f() )解析:19.设 f(x)在a,b上连续,且 f(x)0,对任意的 x 1 ,x 2 a

    15、,b及 01,证明:fx 1 +(1-)x 2 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:不妨设 ab,由微分中值定理,存在 1 (0,a), 2 (b,a+b),使得 )解析:20.就 k 的不同取值情况,确定方程 x 3 -3x+k=0 根的个数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)=x 3 -3x+k, )解析:21.设 f(x)二阶连续可导,且 f(x)0,又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(01)证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由泰勒公式得 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ h 2 其中 介于 x 与 x+h 之间 由已知条件得 f(x+

    16、h)h=f(x)h+ h 2 ,或 f(x+h)-f(x)= , 两边同除以 h,得 而 两边取极限得 f(x) )解析:22. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.设 a n = tan n xdx(n2),证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:a n +a n+2 = (1+tan 2 x)tan n xdx= tan n xd(tanx)= ,同理a n +a n-2 = ,因为 tan n x,tan n+2 x 在 上连续,tan n xtan n+2 x,且 tan n x,tan n+2 x 不恒等,所以 tan n xdx tan n+2 xd

    17、x,即 a n a n+2 , 于是 =a n +a n+2 2a n ,即以 a n ,同理可证 a n )解析:24.设 f(x)在区间a,b上二阶可导且 f(x)0证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由泰勒公式得 ,其中 介于 x 与 之间,因为 f(x)0,所以有f(x) ,两边积分得 a b f(x)dx(b-a) 令 (x)= f(x)+f(a)- a x f(t)dt,且 (a)=0, (x)= f(x)+f(a)+ f(x)-f(x)= f(x)-f(a) = (x-a)f(x)-f(),其中 ax, 因为 f(x)0,所以 f(x)单调不减,于是 (x)0(ax

    18、b), 由 得 (b)0,于是 a b f(x)dx f(a)+f(b), 故(b-a) a b f(x)dx )解析:25.设 ,其中 f(s,t)二阶连续可偏导,求 du 及 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.计算 (x 2 +y 2 )dy+ 0 2 dx (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 )解析:27.设函数 f(x)满足 xf(x)-2f(x)=-x,且由曲线 y=f(x),x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小,求:(1)曲线 y=f(x);(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1所围成的平面图形的面积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由 xf(x)-2f(x)=-x f(x)- f(x)=-1 f(x)=x+cx 2 设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V,则 V(c)= 0 1 (x+cx 2 ) 2 dx 因为 V(c)= 0,所以 c= 为 V(c)的最小值点,且曲线方程为 f(x)=x- x 2 . (2)f(x)=1- ,f(0)=1,曲线 f(x)=x- x 2 在原点处的切线方程为 y=x, 则 A= 0 1 x-(x- x 2 )dx= )解析:


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